Funzioni di ripartizione

Consideriamo una misura di probabilità $\mu$$\mu$ su ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$. La sua funzione di ripartizione è $F:{\mathcal {R}}\rightarrow [0,1]$$F:{\mathcal {R}}\rightarrow [0,1]$ definita come

$$F(x)=\mu (]-\infty ,x])\;\;\;\forall x\in \mathbb {R}$$

$$F(x)=\mu (]-\infty ,x])\;\;\;\forall x\in \mathbb {R}$$

Si verifica facilmente che

1. $F$$F$ individua univocamente $\mu$$\mu$
2. $F$$F$ è continua a destra
3. se indichiamo con $F_{-}$$F_{-}$ ed $F_{+}$$F_{+}$ rispettivamente il limite sinistro ed il limite destro di $F$$F$,
   $$F_{+}(x)=F(x)\geq F_{-}(x)=\mu (]-\infty ,x[)$$

   $$F_{+}(x)=F(x)\geq F_{-}(x)=\mu (]-\infty ,x[)$$
   $$\Delta F(x){\stackrel {def}{=}}F(x)-F_{-}(x)=\mu (x)$$

   $$\Delta F(x){\stackrel {def}{=}}F(x)-F_{-}(x)=\mu (x)$$
4. $F$$F$ è continua $\iff \mu$$\iff \mu$ è diffusa

Inoltre:

Teorema 6.8

Sia $\lambda$$\lambda$ la misura di Borel-Lebesgue su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ e sia $\mu$$\mu$ un'altra misura con funzione di ripartizione $F$$F$ derivabile in quasi (secondo $\lambda$$\lambda$) ogni punto di $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$. Allora:

1. l'insieme $B$$B$ dei punti dove $F$$F$ non è derivabile è boreliano e $\lambda (B)=0$$\lambda (B)=0$.
2. Posta
   $$f(x)={\begin{cases}F'(x)&{\text{ se }}x\not \in B\\0&{\text{ se }}x\in B\end{cases}}$$

   $$f(x)={\begin{cases}F'(x)&{\text{ se }}x\not \in B\\0&{\text{ se }}x\in B\end{cases}}$$
   $f$$f$ è sempre positiva, è boreliana e, $\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$$\forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$,
   $$\mu (A)=\int _{A}f(x)dx+\mu (A\cap B)$$

   $$\mu (A)=\int _{A}f(x)dx+\mu (A\cap B)$$
   ovvero $\mu =f\cdot \lambda +I_{B}\cdot \mu$$\mu =f\cdot \lambda +I_{B}\cdot \mu$.

 

Quella data si può giustamente chiamare "decomposizione" perché $f\cdot \lambda$$f\cdot \lambda$ e $I_{B}\cdot \mu$$I_{B}\cdot \mu$ sono due misure "estranee": la massa della prima è concentrata su $B$$B$ (perché $f\cdot \lambda \ll \lambda$$f\cdot \lambda \ll \lambda$), quella della seconda su $B^{C}$$B^{C}$.

Il termine $I_{B}\cdot \mu$$I_{B}\cdot \mu$ si dice "singolare".

Corollario 6.2

Nelle ipotesi del teorema precedente, sono equivalenti:

1. $\mu \ll \lambda$$\mu \ll \lambda$
2. $\mu (B)=0$$\mu (B)=0$
3. $\mu =f\cdot \lambda$$\mu =f\cdot \lambda$

 

Dimostrazione

"(a) $\Rightarrow$$\Rightarrow$ (b)": per ipotesi, $\lambda (B)=0$$\lambda (B)=0$; dall'assoluta continuità di $\mu$$\mu$ rispetto a $\lambda$$\lambda$ segue che $\mu (B)=0$$\mu (B)=0$. Le implicazioni "(b) $\Rightarrow$$\Rightarrow$ (c)" e "(c) $\Rightarrow$$\Rightarrow$ (a)" sono ovvie.

 

Osservazione 6.9

Se $B$$B$ è numerabile sono equivalenti:

1. $\mu \ll \lambda$$\mu \ll \lambda$
2. $\mu$$\mu$ è diffusa ($F$$F$ è continua)

 

Possiamo ora provare a giustificare intuitivamente l'utilizzo che facciamo della parola "densità".

Sia $\mu \ll \lambda$$\mu \ll \lambda$: una possibile $f$$f$ tale che $\mu =f\cdot \lambda$$\mu =f\cdot \lambda$ è proprio:

$$f(x)={\begin{cases}F'(x)&{\text{ se }}x\not \in B\\0&{\text{ se }}x\in B\end{cases}}$$

$$f(x)={\begin{cases}F'(x)&{\text{ se }}x\not \in B\\0&{\text{ se }}x\in B\end{cases}}$$

Osserviamo quindi che

$${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {\mu ([x,x+h])}{\lambda ([x,x+h])}}{\stackrel {h\rightarrow 0,x\not \in B}{\rightarrow }}f(x)$$

$${\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {\mu ([x,x+h])}{\lambda ([x,x+h])}}{\stackrel {h\rightarrow 0,x\not \in B}{\rightarrow }}f(x)$$

ovvero $f(x)$$f(x)$ è il limite puntuale di una densità media, ovvero del rapporto tra una "quantità" ($\mu$$\mu$) contenuta in uno "spazio" e la "dimensione" ($\lambda$$\lambda$) dello "spazio" stesso.