Funzioni di ripartizione

Consideriamo una misura di probabilità <math>\mu</math> su <math>\mathcal B(\mathbb R)</math>. La sua funzione di ripartizione è <math>F:  \mathcal R \rightarrow [0,1]</math> definita come
<math display="block">F(x)= \mu(]- \infty, x])\;\;\;\forall x \in \mathbb R</math>

Si verifica facilmente che

#<math>F</math> individua univocamente <math>\mu</math>
#<math>F</math> è continua a destra
#se indichiamo con <math>F_-</math> ed <math>F_+</math> rispettivamente il limite sinistro ed il limite destro di <math>F</math>,<math display="block">F_+(x) = F(x) \geq F_-(x)= \mu(]- \infty, x[)</math><math display="block">\Delta F(x) \stackrel{def}{=}F(x) - F_-(x) = \mu(x)</math>
#<math>F</math> è continua <math>\iff \mu</math> è diffusa

Inoltre:

{{InizioTeorema|title=|number=6.8|anchor=Teorema6_8}}
Sia <math>\lambda</math> la misura di Borel-Lebesgue su <math>\mathbb R</math> e sia <math>\mu</math> un'altra misura con funzione di ripartizione <math>F</math> derivabile in quasi (secondo <math>\lambda</math>) ogni punto di <math>\mathbb R</math>. Allora:

#l'insieme <math>B</math> dei punti dove <math>F</math> non è derivabile è boreliano e <math>\lambda(B)=0</math>.
#Posta<math display="block">f(x)=\begin{cases}        F'(x) &\text{ se } x \not \in B\\        0 &\text{ se } x \in B       \end{cases}</math><math>f</math> è sempre positiva, è boreliana e, <math>\forall A \in \mathcal B(\mathbb R)</math>,<math display="block">\mu(A) = \int_A f(x) dx + \mu(A \cap B)</math>ovvero <math>\mu = f \cdot \lambda + I_B \cdot \mu</math>.
{{FineTeorema}}

Quella data si può giustamente chiamare "decomposizione" perché <math>f\cdot \lambda</math> e <math>I_B \cdot \mu</math> sono due misure "estranee": la massa della prima è concentrata su <math>B</math> (perché <math>f \cdot \lambda \ll \lambda</math>), quella della seconda su <math>B^C</math>.


Il termine <math>I_B \cdot \mu</math> si dice "singolare".


{{InizioCorollario|title=|number=6.2|anchor=Corollario6_2}}
Nelle ipotesi del teorema precedente, sono equivalenti:

#<math>\mu \ll \lambda</math>
#<math>\mu(B) = 0</math>
#<math>\mu = f \cdot \lambda</math>
{{FineCorollario}}



{{InizioDimostrazione}}
"(a) <math>\Rightarrow</math> (b)": per ipotesi, <math>\lambda(B)=0</math>; dall'assoluta continuità di <math>\mu</math> rispetto a <math>\lambda</math> segue che <math>\mu(B)=0</math>.
Le implicazioni "(b) <math>\Rightarrow</math> (c)" e "(c) <math>\Rightarrow</math> (a)" sono ovvie.
{{FineDimostrazione}}



{{InizioOsservazione|title=|number=6.9|anchor=Osservazione6_9}}
Se <math>B</math> è numerabile<ref>Ci ho pensato e ripensato, ma un esempio di funzione crescente con una quantità più che numerabile di punti di non derivabilità non l'ho proprio trovato.</ref> sono equivalenti:

#<math>\mu \ll \lambda</math>
#<math>\mu</math> è diffusa (<math>F</math> è continua)
{{FineOsservazione}}


Possiamo ora provare a giustificare intuitivamente l'utilizzo che facciamo della parola "densità".


Sia <math>\mu \ll \lambda</math>: una possibile <math>f</math> tale che <math>\mu = f \cdot \lambda</math> è proprio:
<math display="block">f(x)=\begin{cases}                        F'(x) & \text{ se }x \not \in B\\                        0 & \text{ se }x \in B                       \end{cases}</math>

Osserviamo quindi che
<math display="block">\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{\mu([x, x+h])}{\lambda([x, x+h])} \stackrel{h \rightarrow 0,x \not \in B}{\rightarrow} f(x)</math>
ovvero <math>f(x)</math> è il limite puntuale di una densità media, ovvero del rapporto tra una "quantità" (<math>\mu</math>) contenuta in uno "spazio" e la "dimensione" (<math>\lambda</math>) dello "spazio" stesso.
{{Notes}}