Criterio per l'indipendenza da un blocco

Consideriamo $(\Omega ,{\mathcal {A}},P),X=[X_{i}]_{i\in I},Y$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P),X=[X_{i}]_{i\in I},Y$ variabile aleatoria a valori in $(F,{\mathcal {F}})$$(F,{\mathcal {F}})$. Sono risultati equivalenti:

1. $Y$$Y$ è indipendente da $X$$X$
2. $Y$$Y$ è indipendente da ogni blocco della forma $[X_{i}]_{i\in H}$$[X_{i}]_{i\in H}$ con $H\subset I$$H\subset I$ finito

Dimostrazione

È un caso particolare del criterio di indipendenza fondato su una base: $X$$X$ assume valori in

$$\left(\prod _{i\in I}E_{i},\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {E}}_{i}\right)$$

$$\left(\prod _{i\in I}E_{i},\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {E}}_{i}\right)$$

e una base di questo spazio consiste nell'insieme dei rettangoli con lati misurabili e quasi tutti banali. $\Rightarrow$$\Rightarrow$ (b): ovvio $\Rightarrow$$\Rightarrow$ (a): è sufficiente dimostrare che $\forall H$$\forall H$ della forma $\{X\in A_{i}\}$$\{X\in A_{i}\}$,

$$P(H)\not =0\Rightarrow Y(P_{H})=Y(P)$$

$$P(H)\not =0\Rightarrow Y(P_{H})=Y(P)$$

Ma sappiamo che $J=\{i\in I\mid A_{i}\not =E_{i}\}$$J=\{i\in I\mid A_{i}\not =E_{i}\}$ è finito. Quindi

$$H=\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in A_{i}\}=\bigcap _{i\in J}\{X_{i}\in A_{i}\}\in \tau ([X_{i}]_{i\in J})$$

$$H=\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in A_{i}\}=\bigcap _{i\in J}\{X_{i}\in A_{i}\}\in \tau ([X_{i}]_{i\in J})$$