Spazi di Hilbert

Definizione
spazio vettoriale su (risp. su ) si dice spazio euclideo se esiste un prodotto interno simmetrico (risp. hermitiano) che induce una norma .
Esempio:

  • , con
  • , con ;
  • , con


Proposizione (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz):
<dmath>\forall x,y\in X,


Dimostrazione:
Se é uno spazio vettoriale complesso, si usa il trucco solito applicato a , con .


Proposizione (Identità del parallelogramma):
,


Osservazione: é euclideo , infatti, se i vettori della base canonica non soddisfano l'identitá del parallelogramma.


Definizione
Uno spazio euclideo si dice spazio di Hilbert se è completo.


Proposizione
é uno spazio di Hilbert.


Dimostrazione:
Sia una successione di Cauchy, cioé tale che quando (cioé ).

Ora, fissato , la successione é di Cauchy, quindi ha limite .

, si ha , quindi prendendo il limite per otteniamo: <dmath> \lim _{m\rightarrow \infty }{\sum _{
=\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n-c_ k|^2}\le \varepsilon ^2 </dmath> , dunque: <dmath> \limsup _{M\rightarrow \infty }{\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n-c_ k|^2}}=\sum _{k\in \mathbb {Z}}{|c_ k^ n-c_ k|^2}\le \varepsilon ^2. </dmath> Ci resta da vedere che ; ma per quanto visto: <dmath> \sum _{|k|\le M}{|c_ k|^2}\le \underbrace{\sum _{|k|\le M}{|c_ k-c_ k^ n|^2}}_{\le \varepsilon ^2}+\underbrace{\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n|^2}}_{<C}<C+\varepsilon ^2, </dmath> da cui la tesi.

}}


Definizione
Definiamo cubo di Hilbert .


Proposizione
Data una successione , esiste una sottosuccessione che converge a un .


Dimostrazione:
c_ h^{n^*(k)}-c_ h
_{<\varepsilon \text { per } k \text { grande}} + \underbrace{\sum _{h=M+1}^\infty {|c_ h^{n^*(k)}-c_ h|^2}}_{\le \sum _{M+1}^\infty {\frac{4}{h^2}}<\varepsilon }, </dmath> cioé la tesi.}}


Allo stesso modo si dimostra:

Teorema (di compattezza relativa):
Sia tale che , con . Allora che converge a un elemento .
Definizione
Una successione di vettori indipendenti di uno spazio di Hilbert si dice base hilbertiana se e tale che: <dmath> \left\

Osservazione: é una base hilbertiana, detta base canonica.


Nel seguito sia un generico spazio euclideo.

Definizione
si dice sistema completo per se la chiusura delle combinazioni lineari di elementi di é tutto .
Esempio:

Se , l'insieme é un sistema completo per il teorema di approssimazione di Weierstrass.
Definizione

sistema completo, . Allora si dice base ortogonale.

Se vale anche che , allora il sistema si dice base ortonormale.
Definizione
si dice separabile se esiste un sottoinsieme denso al piú numerabile.
Esempio:

é separabile, in quanto il sottoinsieme costituito dalle successioni finite di razionali é denso e numerabile.
Teorema
separabile, ortonormale. Allora é al piú numerabile.
Dimostrazione:
Si ha che , dunque . Sia il sottoinsieme denso numerabile; in ogni palla c'é un elemento per densitá, dunque le palle distinte sono in numero al piú numerabile. Segue che anche gli sono al piú numerabili.
Teorema (Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt):
linearmente indipendenti. Allora ortonormale con .


Corollario
separabile una base ortonormale numerabile.


Nel seguito sará sempre separabile.

Teorema

ortonormale (non necessariamente base), . Allora: #, dove sono i coefficienti di Fourier.

  1. .
Dimostrazione:
Si calcola: <dmath> \begin{align} \left\


Osservazione: {{{content}}} \le \| f\| ^2, \quad \text {ovvero} \quad \sum _{j=1}^\infty {c_ j^2}\le \| f\| ^2, </dmath> che non é altro che la disuguaglianza di Bessel. Ci chiediamo se vale anche l'uguaglianza, cioé l'identità di Parseval. }}

Definizione
f\
Teorema
Dimostrazione:
Deriva dalla relazione , dove é la serie di Fourier troncata.


Osservazione: In uno spazio euclideo, scrivere deve essere inteso come: <dmath> \left\


Esempio:

Se vediamo che é chiuso, allora avremmo che: <dmath> \frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {
{c_ k^2}, </dmath> o equivalentemente: <dmath> \frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {|f|^2}=\frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^\infty {(a_ k^2+b_ k^2)}. </dmath>

}}

Osservazione: {{{content}}} =\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {x^2 dx}, </dmath> cioé: <dmath> \sum _{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi ^2}{6}. </dmath>

}}

Osservazione: {{{content}}}


Teorema
é di Hilbert ogni sistema ortonormale é chiuso.

Consideriamo il sottospazio proprio di :

<dmath> h^1=\left\{ \{ c_ k\} \in \ell ^2 \ \biggl | \ \sum _{k=1}^\infty {k^2c_ k^2}<+\infty \right\} </dmath>

con la norma:

<dmath> \| c\| _{h^1}=\left( \sum _{k=1}^\infty {(c_ k^2+k^2c_ k^2)} \right)^{\frac{1}{2}}. </dmath>

La palla é relativamente compatta in , in quanto se , allora e dunque per una certa costante . Sia ora e denotiamo con la sua serie di Fourier troncata:

<dmath> f_ n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{n}{(a_ k \cos (kx)+b_ k\sin (kx))}, </dmath>

con . Sappiamo che in norma per ; scriviamo inoltre:

<dmath> f_ n'(x)=\sum _{k=1}^{n}{(-ka_ k \sin (kx)+kb_ k\cos (kx))}. </dmath>

Ora, se , cioé , allora tale che in norma quando ; chiamiamo tale derivata in senso debole di e notiamo che se , non é altro che . Definiamo anche . In generale:

Definizione
c\
. </dmath> Inoltre si definisce: <dmath> \mathcal{H}^ n(-\pi ,\pi )=\{ f\in \mathcal{L}^2(-\pi ,\pi ) \mid \{ c_ k\} \in h^ n\} . </dmath>

}}

Quindi, se ad esempio , si ha che esistono tali che , , in norma quando . Deduciamo quindi che é relativamente compatto in .

Osservazione: {{{content}}} , </dmath> che risulta convergente in per definizione di .

}}

Richiamiamo adesso il teorema di rappresentazione di Riesz: in , esso assicura che, data , esiste un unico vettore tale che . Vediamo che in (e piú precisamente in ) vale la stessa cosa.


Proposizione
lineare e continua, . Allora esiste , con , tale che (e dunque se ).


Dimostrazione:
y_ i


In maniera simile, si puó mostrare:


Proposizione
, . Allora esiste , con , tale che .


Proposizione
spazio di Hilbert, limitato e continuo non nullo. Allora .


Dimostrazione:
Sia tale che . Se , allora ; sia . Dato , si ha , con , e tale decomposizione é unica, in quanto se con , e dunque . Concludiamo che , cioé la tesi.


Teorema
spazio di Hilbert, convesso chiuso. Allora tale che .
Dimostrazione:
, dunque tale che . Se vedo che é di Cauchy, avrebbe limite per completezza di . Per l'identitá del parallelogramma, se : <dmath> \left\
_{\in K} \biggr \| ^2+\left\| \frac{y_ n-y_ m}{2} \right\| ^2=\frac{1}{2}(d_ n^2+d_ m^2), </dmath> ma per definizione di estremo inferiore, dunque: <dmath> \left\| \frac{y_ n-y_ m}{2} \right\| \le \frac{1}{2}(d_ n^2+d_ m^2)-d^2<\varepsilon , </dmath> in quanto e .

Quindi, a meno di estrarre una sottosuccessione, , poiché é chiuso. Se per assurdo esistono due punti che realizzano il minimo, siano essi e , sempre per l'identitá del parallelogramma si ha: <dmath> \biggl \| x-\underbrace{\frac{P_1(x)+P_2(x)}{2}}_{\in K} \biggr \| ^2+\left\| \frac{P_1(x)-P_2(x)}{2} \right\| ^2=\frac{1}{2}\left( \| x-P_1(x)\| ^2+\| x-P_2(x)\| ^2 \right) =d^2 , </dmath> dunque , cioé .}}


Corollario
sottospazio chiuso. tale che


Definizione
La mappa tale che é il punto definito nel teorema si chiama proiezione.

Osservazione: Se é derivabile e in c'é un minimo, allora . Dunque, se é , e , per , allora .


Proposizione
, convesso chiuso, .


Dimostrazione:
x-P(x)+t(P(x)-w)\


Osservazione: Si puó vedere che in realtá vale anche il viceversa, cioé se il punto ha quella proprietá, allora é il punto di che minimizza la distanza con .


Osservazione: Se é un sottospazio chiuso, sostituendo nella disuguaglianza precedente e , si ottiene che . Ma allora, visto che la stessa disuguaglianza vale per e per , segue che per ogni .


Corollario
Se é di Hilbert e é un sottospazio chiuso, allora .


Dimostrazione:
Dato , se é la proiezione su allora ; basta notare che e .


Proposizione
La proiezione su un sottospazio chiuso é lineare e .


Dimostrazione:


Quindi, definendo , si ha:

<dmath> x=P(x)+Q(x), \quad \langle P(x),Q(x)\rangle =0, \quad \| x\| ^2=\| P(x)\| ^2+\| Q(x)\| ^2, </dmath>

.

Teorema
é uno spazio di Hilbert.
Dimostrazione:
Sia una successione di Cauchy; a meno di estrarre una sottosuccessione, posso supporre . Sia ; sicuramente quasi ovunque . Visto che: <dmath> \
\le 1, </dmath> allora per Beppo-Levi in norma quadra, .

Vediamo che la successione é di Cauchy nella norma ; se : <dmath> |f_ m(x)-f_ n(x)| \le \sum _{k=n}^{m-1}{|f_{k+1}-f_ k|} < \varepsilon , </dmath> in quanto é la coda di una serie convergente. Ma allora e , quindi . Visto che , per il teorema di convergenza dominata anche in .}}


Teorema 18 (Riesz-Fisher):
continuo e limitato, spazio di Hilbert. Allora tale che .
Dimostrazione:
Se l'enunciato é banale; quindi supponiamo .

Sia ; é un sottospazio chiuso di codimensione , e sia la proiezione su . Visto che e , con , allora dato si puó scomporre , dove . e , dunque dá l'esistenza.

Se poi esistessero due elementi che rappresentano , allora , dunque in particolare .


Corollario
Se in , allora tale che quasi ovunque.


Discende dal teorema di Riesz-Fisher:

Teorema 19 (di isomorfismo):
spazi di Hilbert. Allora .
Dimostrazione:
Per il teorema di Riesz-Fisher, la funzione che manda un elemento di (o di ) nella successione dei propri coefficienti di Fourier é un isomorfismo.


Quindi possiamo considerare come lo spazio di Hilbert universale.

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