L'equazione del calore

Vogliamo trovare le funzioni <math>u(t,x):[0,T]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> che risolvono:
<math display="block">\begin{cases}
	u_t=\nu u_{xx}\\
	u(t,-\pi)=u(t,\pi)\\
	u_x(t,-\pi)=u_x(t,\pi)\\
	u(0,x)=u_0(x)
\end{cases}</math>
(<math>\nu>0</math>). Tale equazione descrive lo spostamento di calore dentro un segmento in cui la temperatura al tempo <math>t=0</math>e' descritta dalla funzione <math>u_0(x)</math>.
Supponiamo innanzitutto che la soluzione <math>u(t,x)</math> sia esprimibile come serie di Fourier:
<math display="block">u(t,x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}{c_n(t)e^{inx}}.</math>
Denotiamo con <math>u^m(t,x)</math> la somma troncata dal termine <math>-m</math>-esimo al termine <math>m</math>-esimo di <math>u(t,x)</math>; anche queste funzioni risolvono il sistema e dunque sostituendo nell'equazione:
<math display="block">u_t^m(t,x)=\sum_{|n|\le m}{c_n'(t)e^{inx}}=\nu \sum_{|n|\le m}{(-n^2)c_n(t)e^{inx}}=\nu u_{xx}^m,</math>
da cui:
<math display="block">\sum_{|n|\le m}{(c_n'(t)+\nu n^2 c_n(t))e^{inx}}=0 \quad \forall x, \forall t,</math>
che per quanto visto implica che <math>c_n'(t)+\nu n^2 c_n(t)=0</math><math>\forall t</math>.
Se scriviamo inoltre il dato iniziale:
<math display="block">u^m(0,x)=\sum_{|n|\le m}{u_ne^{inx}}</math>
tramite la somma associata di Fourier, viene fuori che:
<math display="block">\sum_{|n|\le m}{c_n(t)e^{inx}} \stackrel{t\rightarrow 0}{\longrightarrow}\sum_{|n|\le m}{c_n(0)e^{inx}}=\sum_{|n|\le m}{u_n e^{inx}},</math>
cioe'<math>c_n(0)=u_n</math><math>\forall n</math>.
Ci siamo quindi ricondotti a studiare <math>2m+1</math> equazioni ordinarie definite da:
<math display="block">\begin{cases}
	c_n'(t)+\nu n^2 c_n(t)=0\\
	c_n(0)=u_n
\end{cases}</math>
che hanno le soluzioni <math>c_n(t)=u_n e^{-\nu n^2 t}</math>. Quindi possiamo scrivere:
<math display="block">u^m(t,x)=\sum_{|n|\le m}{u_ne^{-\nu n^2 t}e^{inx}}.</math>
Ci chiediamo ora se e' possibile fare il limite <math>m\rightarrow \infty</math>; se il dato iniziale <math>u(0,x)=u_0(x)</math>e' continuo e <math>\delta>0</math>, si ha:
<math display="block">\sum_{n\in \mathbb{Z}}{|u_n|e^{-\nu n^2 \delta}}\le \left( \sum_{n\in \mathbb{Z}}{|u_n|^2} \right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{n\in \mathbb{Z}}{(e^{-\nu n^2 \delta})^2} \right)^{\frac{1}{2}}<+\infty,</math>
in quanto <math>u_n \in \ell^2(\mathbb{Z})</math>; pero' se <math>\delta=0</math> la somma diverge.
Se invece <math>u_0(x)\in \mathcal{L}^1</math>, si ha <math>|u_n|\le c</math><math>\forall n</math>, dunque:
<math display="block">\sum_{n\in \mathbb{Z}}{|u_n|e^{-\nu n^2 \delta}}\le c\sum_{n\in \mathbb{Z}}{e^{-\nu n^2 \delta}}<+\infty,</math>
ma sempre per <math>\delta>0</math>.
In conclusione, se <math>u_0(x)\in \mathcal{L}^1</math>, la soluzione dell'equazione del calore esiste ed e':
<math display="block">u(t,x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}{u_n e^{-\nu n^2 t}e^{inx}}\in C^0([\delta,T]\times \mathbb{R}),</math>
per ogni fissato <math>\delta>0</math>. Vediamo pero' che la soluzione <math>u(t,x)</math>e' molto piu' regolare; infatti la sua derivata (formale) esiste in quanto:
<math display="block">\sum_{n\in \mathbb{Z}}{|n||u_n|e^{-\nu n^2 t}}<+\infty</math>
poiche' l'esponenziale va a <math>\infty</math> piu' veloce di qualsiasi <math>n^d</math>; dunque anche la derivata di <math>u</math>e' continua, e con un ragionamento del tutto analogo sulle derivate successive otteniamo che <math>u(t,x)\in C^\infty([\delta,T]\times\mathbb{R})</math><math>\forall \delta>0</math>.
L'osservazione che <math>u(t,x)</math> potrebbe anche non essere definita in <math>0</math> ci suggerisce che lo spostamento di calore e' un processo irreversibile; conoscendo le temperature a un istante <math>t>0</math> non possiamo risalire alle temperature iniziali.


{{InizioProposizione|title=17}}
Se <math>u_0\in C^0(\mathbb{T})</math>, l'equazione del calore e' unica.
{{FineProposizione}}


{{InizioDimostrazione}}
Siano <math>u,v</math> due soluzioni e sia <math>U=u-v</math>; <math>U</math> risolve:
<math display="block">\begin{cases}
	U_t=\nu U_{xx}\\
	U(0,x)=0\\
	U(-\pi,x)=U(\pi,x)\\
	U_x(-\pi,x)=U_x(\pi,x)
\end{cases}</math>
Allora:
<math display="block">U_t-\nu U_{xx}=0 \Rightarrow \int_{-\pi}^\pi{(U_t-\nu U_{xx})Udx}=0 \Rightarrow \int_{-\pi}^\pi{U_tUdx}-\nu \int_{-\pi}^\pi{U_{xx}Udx}=0.</math>
Integrando per parti:
<math display="block">\int_{-\pi}^\pi{\frac{\partial}{\partial t}\frac{|U|^2}{2}dx}-\nu \underbrace{[U_xU]_{-\pi}^\pi}_{=0}+\nu \int_{-\pi}^\pi{|U_x|^2dx}=0 \Rightarrow \frac{1}{2} \frac{d}{dt}\int_{-\pi}^\pi{|U|^2dx}+\nu \int_{-\pi}^\pi{|U_x|^2dx}=0.</math>
Otteniamo quindi che la funzione <math>\int_{-\pi}^\pi{|U|^2dx}</math>e' decrescente e positiva, ma valendo <math>0</math> al tempo <math>t=0</math>e' obbligata a valere <math>0</math> a tappeto, cioe'<math>U\equiv 0</math>.
{{FineDimostrazione}}




{{InizioTeorema|title=13}}
<math>u_0\in C^0(\mathbb{T})</math>. Se <math>\{u_n\}\in \ell^1(\mathbb{Z})</math>, allora <math>u(t,x)\rightarrow u_0(x)</math><math>\forall x\in [-\pi,\pi]</math> quando <math>t\rightarrow 0^+</math>.
{{FineTeorema}}


{{InizioDimostrazione}}
Come al solito, l'idea e' quella di spezzare le frequenze. Si ha:
<math display="block">\begin{align}
|u(t,x)-u_0(x)| &=\left| \sum_{n\in \mathbb{Z}}{(u_ne^{-\nu n^2t}-u_n)e^{inx}} \right|\le \sum_{n\in \mathbb{Z}}{|u_n(1-e^{-\nu n^2t})|} =\sum_{n\in \mathbb{Z}}{|u_n|(1-e^{-\nu n^2t})} =\\
&=\underbrace{\sum_{|n|\le N}{|u_n|(1-e^{-\nu n^2t})}}_{=I_1} + \underbrace{\sum_{|n|>N}{|u_n|(1-e^{-\nu n^2t})}}_{=I_2}.
\end{align}</math>
Ma ora:
<math display="block">I_2 \le \sum_{|n|>N}{|u_n|}<\varepsilon,</math>
in quanto <math>u_n\in \ell^1(\mathbb{Z})</math>, mentre:
<math display="block">I_1 \le \max_{|n|\le N}{u_n} \sum_{|n|\le N}{(1-e^{-\nu n^2 t})} <\varepsilon,</math>
scegliendo <math>t</math> abbastanza piccolo affinche'<math>1-e^{-\nu n^2 t} < \frac{\varepsilon}{M(2N+1)}</math>, dove <math>M=\max_{|n|\le N}{u_n}</math>.
{{FineDimostrazione}}



Proviamo ad indebolire l'ipotesi sulla successione <math>\{u_n\}</math> e vediamo quali dei precedenti risultati continuano a valere.


{{InizioOsservazione|title=}}
Con conti gia' fatti, abbiamo ottenuto (moltiplicando l'equazione del calore per <math>u</math> e integrando):
<math display="block">\frac{1}{2} \frac{d}{dt}\int_{-\pi}^\pi{|u(t,x)|^2dx}+\nu \int_{-\pi}^\pi{|u_x(t,x)|^2dx}=0,</math>
quindi integrando rispetto a <math>t</math> si ha:
<math display="block">\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi{|u(t,x)|^2dx}+\nu \int_0^t{\int_{-\pi}^\pi{|u_x(t,x)|^2dx}ds}=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi{|u_0(x)|^2dx},</math>
in quanto l'ultimo membro e' il valore dell'integrale al tempo <math>t=0</math>.
Supponiamo di poter scrivere:
<math display="block">u(t,x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}{u_k(t)e^{ikx}};</math>
e supponendo di poter usare l'identita' di Parseval si ha:
<math display="block">\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k(t)|^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{|u(t,x)|^2dx}.</math>
Inoltre, supponendo di poter applicare Parseval anche alla derivata, possiamo scrivere:
<math display="block">u_x(t,x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}{u_k(t)ike^{ikx}} \quad \text{e} \quad \sum_{k\in \mathbb{Z}}{|k|^2|u_k(t)|^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{|u_x(t,x)|^2dx}.</math>
Sostituendo a questo punto nella prima equazione ottenuta, ricaviamo:
<math display="block">\frac{1}{2}\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k(t)|^2}+\nu \int_0^t{\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|k|^2|u_k(s)|^2}ds}=\frac{1}{2}\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k(0)|^2}.</math>
Ma allora, se chiediamo per ipotesi che <math>u_k(0)\in \ell^2(\mathbb{Z})</math>, grazie a questa uguaglianza segue che <math>u_k(t)\in \ell^2(\mathbb{Z})</math> e che:
<math display="block">\int_0^t{\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|k|^2|u_k(s)|^2}ds}<+\infty,</math>
cioe' la serie <math>\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|k|^2|u_k(s)|^2}</math>e' finita per quasi tutti gli <math>s\in [0,T]</math>.
Quindi la mappa lineare <math>u_k(0)\mapsto u_k(t)</math>e' limitata <math>\forall t>0</math>, mentre la mappa lineare <math>u_k(0)\mapsto iku_k(t)</math>e' limitata per quasi tutti i <math>t>0</math>, ma per alcuni <math>t</math> puo' essere illimitata.
{{FineOsservazione}}



{{InizioTeorema|title=14}}
Se <math>u_k(0)\in \ell^2(\mathbb{Z})</math> e <math>u(t,x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}{u_k(t)e^{ikx}}=\sum_{k\in \mathbb{Z}}{u_k(0)e^{-\nu k^2 t}e^{ikx}}</math>e' la soluzione dell'equazione del calore, allora <math>u(t,x)\rightarrow u_0(x)</math> in <math>\mathcal{L}^2(\mathbb{T})</math> quando <math>t\rightarrow 0^+</math>, cioe':
<math display="block">\int_{-\pi}^\pi{|u(t,x)-u_0(x)|^2dx}\stackrel{t\rightarrow 0^+}{\longrightarrow} 0.</math>
{{FineTeorema}}


{{InizioDimostrazione}}
Per Parseval, <math>\int_{-\pi}^\pi{|u(t,x)-u_0(x)|^2dx}=2\pi \sum_{k\in \mathbb{Z}}{|\widehat{u}_k(t)-\widehat{u}_k(0)|^2}= 2\pi \sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k e^{-\nu k^2 t}-u_k|^2}</math>; inoltre <math>u_0\in \ell^2(\mathbb{Z})</math>, dunque <math>\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k|^2}<+\infty</math>.
Notiamo anche che <math>|u_ke^{-\nu k^2 t}-u_k| \le |u_k|e^{-\nu k^2 t}+|u_k|\le 2|u_k|</math>, quindi, spezzando le frequenze:
<math display="block">\sum_{k\in \mathbb{Z}}{|u_k e^{-\nu k^2 t}-u_k|^2}=\underbrace{\sum_{|k| < N}{|u_k e^{-\nu k^2 t}-u_k|^2}}_{<\varepsilon} + \underbrace{\sum_{|k|\ge N}{|u_k e^{-\nu k^2 t}-u_k|^2}}_{<\varepsilon}<2\varepsilon,</math>
scegliendo <math>t</math> abbastanza piccolo affinche'<math>|u_ke^{-\nu k^2 t}-u_k| < \frac{\varepsilon}{2N+1}</math>.
{{FineDimostrazione}}




{{InizioOsservazione|title=}}
Definiamo '''funzione di Green''':
<math display="block">G(x,t)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}{\frac{e^{-\nu n^2 t}e^{inx}}{2\pi}},</math>
per <math>t>0</math> e <math>x\in [-\pi,\pi]</math> (la serie converge assolutamente). Supponiamo inoltre che la condizione iniziale dell'equazione del calore sia come sempre <math>u_0(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}{u_n e^{inx}}</math>; allora notiamo che:
<math display="block">\begin{align}
\int_{-\pi}^\pi{u_0(x-y)G(y,t)dy} &=\int_{-\pi}^\pi{\sum_{n\in \mathbb{Z}}{u_ne^{in(x-y)}}\sum_{k\in \mathbb{Z}}{e^{-\nu k^2 t}e^{ikx}}dy}=e^{ikx}\int_{-\pi}^\pi{\sum_{n,k\in \mathbb{Z}}{u_n e^{-\nu k^2t}e^{-iny}e^{iky}}dy}=\\
&=\sum_{n\in \mathbb{Z}}{u_ne^{-\nu n^2 t}e^{ikx}}=u(t,x),
\end{align}</math>
cioe'<math>u(t,x)=(u_0*G)(x)</math>.
{{FineOsservazione}}




{{InizioOsservazione|title=}}
Supponiamo di voler risolvere la stessa equazione del calore ma con condizioni iniziali diverse; ad esempio risolviamo il problema di Dirichlet:
<math display="block">\begin{cases}
	u_t=\nu u_{xx}\\
	u(-\pi,x)=u(\pi,x)=0
\end{cases}</math>
A differenza del problema gia' risolto, notiamo che qua non ci sono soluzioni costanti non banali.
Separando le variabili, si ottiene che la soluzione deve essere scritta in somma di seni (infatti la soluzione di
<math display="block">\begin{cases}
	X''(x)+\lambda X(x)=0\\
	X(0)=X(\pi)=0
\end{cases}</math>e'<math>X(x)=c_n \sin(nx)</math>, con <math>\lambda=n^2</math>); ma allora, se il dato iniziali e':
<math display="block">u_0(x)=\sum_{n=1}^\infty{u_n\sin(nx)},</math>
allora in maniera analoga a come gia' fatto, si ottiene:
<math display="block">u(t,x)=\sum_{n=1}^\infty{u_n e^{-\nu n^2 t}\sin(nx)}</math>
e tale soluzione e' unica (si dimostra con gli stessi calcoli fatti per l'altro problema).
A questo punto, risolvere il problema di Von Neumann:
<math display="block">\begin{cases}
	u_t =\nu u_{xx}\\
	u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)=0
\end{cases}</math>e' del tutto analogo.
{{FineOsservazione}}



Consideriamo adesso l'equazione del calore in piu' dimensioni; sia dunque <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^d</math> un chiuso limitato con parte interna non vuota e cerchiamo <math>u(t,x):[0,T]\times \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> tale che:
<math display="block">\begin{cases}
	u_t=\nu \Delta u\\
	u(0,x)=u_0(x) &\text{per } x\in \Omega\\
	u(t,x)=0 &\text{per } (t,x)\in [0,T]\times \partial \Omega
\end{cases}</math>
Separiamo le variabili: <math>u(t,x)=T(t)X(x)</math>. Allora sostituendo nell'equazione:
<math display="block">T'(t)X(x)=\nu T(t)\Delta X(x) \Rightarrow \frac{T'(t)X(x)}{\nu T(t)X(x)}=\frac{\nu T(t) \Delta X(x)}{\nu T(t) X(x)} \Rightarrow \frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{\Delta X(x)}{X(x)}=-\lambda.</math>
Dunque ci siamo ricondotti a studiare:
<math display="block">\begin{cases}
	\Delta X+\lambda X=0\\
	X(x)=0 &\text{per } x\in \partial \Omega
\end{cases}</math>
Anche in questo caso, vogliamo vedere che <math>\lambda>0</math>. Per le formule di Gauss-Green:
<math display="block">-\int_\Omega{\Delta X \cdot X}=\lambda \int_\Omega{X\cdot X} \Rightarrow -\underbrace{\int_{\partial\Omega}{\frac{\partial X}{\partial n}X dS}}_{=0}+\int_\Omega{|\nabla X|^2dx}=\lambda \int_{\Omega}{|X|^2dx},</math>
e ancora concludiamo che <math>\lambda>0</math>.
A questo punto dobbiamo trovare una successione <math>\{\lambda_n\}\in \mathbb{R}^+</math> crescente e una successione <math>\{X_n\}\in C^\infty(\Omega^o)\cap C_0^0(\overline{\Omega})</math> tale che <math>-\Delta X_n =\lambda_n X_n</math> e abbastanza densa da permettere di scrivere:
<math display="block">u_0(x)=\sum_{n=1}^\infty{c_nX_n};</math>
infatti in questo modo potrei scrivere (in analogia al caso <math>1</math>-dimensionale):
<math display="block">u(t,x)=\sum_{n=1}^\infty{c_n e^{-\nu n^2 t}X_n(x)}.</math>
Purtroppo in generale queste <math>X_n</math> sono molto difficili da trovare e spesso non scrivibili esplicitamente; un caso abbastanza fortunato e' quello di <math>\Omega=B(0,1)</math>, in quanto in questa situazione le <math>X_n</math> sono le cosiddette funzioni di Bessel.


{{InizioProposizione|title=18 Disuguaglianza di Poincar\'e}}
Sia <math>f\in C^1(a,b)</math> tale che <math>\int_a^b{f(x)dx}=0</math>. Allora <math>\exists c_P</math> costante universale tale che:
<math display="block">\int_a^b{|f|^2dx}\le c_P \int_a^b{|f'|^2dx}.</math>
{{FineProposizione}}


{{InizioDimostrazione}}
Per le disuguaglianze della media integrale, <math>m(b-a) \le \int_a^b{f} \le M(b-a)</math> ed <math>\exists \overline{x}\in (a,b)</math> tale che <math>f(\overline{x})=\int_a^b{f dx}</math>.
Abbiamo che <math>f(x)-\int_a^b{f(x)dx}=f(x)-f(\overline{x})=\int_{\overline{x}}^x{f'(t)dt}</math>, dunque:
<math display="block">\left| f(x)-\int_a^b{f(x)dx} \right|^2\le \left| \int_{\overline{x}}^x{1\cdot f'(t)dt} \right|^2\le \left| \int_{\overline{x}}^x{1} \right|\cdot \int_{\overline{x}}^x{|f'(t)|^2dt}\le (b-a)\int_a^b{|f'(t)|^2dt},</math>
che e' la tesi, in quanto <math>\int_a^b{f}=0</math>.
{{FineDimostrazione}}



Riprendiamo l'equazione del calore <math>u_t=u_{xx}</math> con periodicita' e con <math>u(0,x)\in u_0(x)</math> tale che <math>\int_{-\pi}^\pi{u_0(x)dx}=0</math>. Allora osserviamo che il valor medio di <math>u(t,x)</math>e'<math>0</math> in ogni momento, in quanto:
<math display="block">\frac{d}{dt}\int_{-\pi}^\pi{u dx}=\int_{-\pi}^\pi{u_t dx}=\int_{-\pi}^\pi{u_{xx}dx}=[u_x]_{-\pi}^\pi=0,</math>
dunque <math>\int_{-\pi}^\pi{u dx}</math>e' costantemente <math>0</math>.
Moltiplicando l'equazione del calore per <math>u</math> e integrando per parti si ha:
<math display="block">\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2+\|u_x(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2=0;</math>
applicando la disuguaglianza di Poincare' si ricava:
<math display="block">\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2+\frac{1}{c_P}\|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le 0,</math>
quindi:
<math display="block">\frac{d}{dt}\left( \|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 e^{\frac{2}{c_P} t} \right) \le 0,</math>
cioe'<math>\|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le C e^{-\alpha t}</math>, per certi <math>C,\alpha</math>; ricaviamo che, se il valor medio di <math>u</math> all'istante <math>t=0</math>e'<math>0</math>, allora la soluzione dell'equazione del calore decade esponenzialmente in norma <math>\mathcal{L}^2</math>.


Possiamo fare lo stesso ragionamento anche nel caso del problema di Dirichlet, usando:


{{InizioProposizione|title=19 Disuguaglianza di Poincar\'e - variante}}
<math>f\in C_0^1(a,b)</math>, <math>f(a)=f(b)=0</math>. Allora <math>\exists c_P</math> costante universale tale che:
<math display="block">\int_a^b{|f|^2dx}\le c_P \int_a^b{|f'|^2dx}.</math>
{{FineProposizione}}


{{InizioDimostrazione}}
<math>f(x)=f(a)+\int_a^x{f'(t)dt}=\int_a^x{f'(t)dt}</math> e si conclude come nella dimostrazione dell'altra disuguaglianza di Poincare'.
{{FineDimostrazione}}



Vogliamo ora estendere questo ragionamento all'equazione del calore in piu' dimensioni; innanzitutto dimostriamo la seguente:


{{InizioProposizione|title=20 Disuguaglianza di Poincar\'e - caso multidimensionale}}
Sia <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^d</math>, <math>\Omega\subseteq L_a=\left\{|x_d|<\frac{a}{2}\right\}</math> e sia <math>f\in C_0^1(\Omega)</math>. Allora:
<math display="block">\int_\Omega{|f|^2}\le \left(\frac{a}{2}\right)^2 \int_{\Omega}{|\nabla f|^2 dx}.</math>
{{FineProposizione}}


{{InizioDimostrazione}}
Sia <math>-\frac{a}{2}<x_d <0</math>. <math>f(x_1,\ldots,x_d)=\int_{-\frac{a}{2}}^{x_d}{\frac{\partial f(x_1,\ldots,x_d,\xi)}{\partial \xi}d\xi}</math>, dunque:
<math display="block">|f(x_1,\ldots,x_d)|^2 = \left| \int_{-\frac{a}{2}}^{x_d}{\frac{\partial f(x_1,\ldots,x_d,\xi)}{\partial \xi}d\xi} \right|^2 \le \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{x_d}{1} \right) \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{x_d}{\left| \frac{\partial f}{\partial\xi} \right|^2d\xi} \right) \le \frac{a}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^0{|\nabla f|^2d\xi}.</math>
Ma allora:
<math display="block">\int_\Omega{|f(x)|^2dx} \le \frac{a}{2}\int_\Omega{dx\int_{-\frac{a}{2}}^0{|\nabla f|^2d\xi}}=\frac{a}{2} \underbrace{\int_{-\frac{a}{2}}^0{dx_d}}_{=\frac{a}{2}} \int{dx_1\ldots dx_d \int_{-\frac{a}{2}}^0{|\nabla f|^2 d\xi}}=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \int_\Omega{|\nabla f|^2}.</math>
Ripetendo lo stesso argomento per <math>0<x_d<\frac{a}{2}</math> si ottiene la tesi.
{{FineDimostrazione}}




{{InizioProposizione|title=21 Integrazione per parti}}
Siano <math>u,v\in C^2(\Omega)</math>, <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^d</math> limitato con bordo regolare. Allora:
<math display="block">\int_{\Omega}{\nabla u \cdot v dx} = \int_{\partial\Omega}{u v\cdot n dS} - \int_\Omega{u \nabla\cdot v dx},</math>
dove <math>n</math>e' il vettore normale alla superficie.
{{FineProposizione}}


{{InizioDimostrazione}}
Basta applicare il teorema della divergenza all'uguaglianza (integrata):
<math display="block">\nabla \cdot (uv)=\nabla u \cdot v + u \nabla \cdot v.</math>
{{FineDimostrazione}}




{{InizioCorollario|title=22}}
Siano <math>u,v\in C^2(\Omega)</math>, <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^d</math> limitato con bordo regolare. Allora:
<math display="block">\int_{\Omega}{\nabla u \cdot \nabla v dx} = \int_{\partial\Omega}{u \nabla v\cdot n dS} - \int_\Omega{u \Delta v dx}.</math>
{{FineCorollario}}



A questo punto, prendiamo l'equazione del calore in piu' variabili:
<math display="block">\begin{cases}
u_t=\Delta u &\text{per } (t,x)\in [0,T]\times \Omega\\
u(t,x)=0 &\text{per } (t,x)\in [0,T]\times \partial\Omega\\
u(0,x)=u_0(x) &\text{per } x\in \Omega
\end{cases}</math>
con <math>\Omega\subseteq \mathbb{R}^d</math> limitato <math>\partial\Omega</math> regolare.
Procedendo come al solito, si ricava:
<math display="block">\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u\|_{\mathcal{L}^2}^2=\int_\Omega{\Delta u  u dx}.</math>
Applicando la seconda formula di integrazione per parti in piu' variabili, si ottiene:
<math display="block">-\int_\Omega{\Delta u  u dx}=\int_\Omega{|\nabla u|^2dx},</math>
quindi usando la disuguaglianza di Poincare' si conclude:
<math display="block">\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u\|_{\mathcal{L}^2}^2+\|\nabla u\|_{\mathcal{L}^2}^2=0,</math>
che comporta che <math>\|u(t)\|_{\mathcal{L}^2}^2 \le C e^{-\alpha t}</math> per certi <math>C,\alpha</math>, cioe' anche in questo caso la soluzione dell'equazione del calore decade esponenzialmente in norma <math>\mathcal{L}^2</math>.