Operatori differenziali

Trattiamo meglio, in questa sezione, degli operatori differenziali principali.

Gradiente

Il gradiente di un campo scalare è definito a partire dalla minima variazione del campo. Preso un punto dello spazio, si compie un spostamento infinitesimo dove ; la funzione varierà di un fattore , e vogliamo rendere esplicito questo aumento. L'infinitesimo di funzione vale e, per il teorema del differenziale totale, è anche scrivibile come:

Si introduce quindi il concetto di gradiente, ovvero quel vettore tale che , da cui si ottiene:

L'operatore differenziale gradiente ha quindi come componenti le derivate parziali del campo:

Sotto opportuni cambi di variabile, è possibile esprimere questo operatore in un differente set di coordinate. Pensiamo di voler passare alle coordinate sferiche:

Come esprimiamo il gradiente in coordinate sferiche? Scriviamo lo spostamento infinitesimo lungo la sfera; lo jacobiano della trasformazione è :

Applicando la definizione di gradiente, abbiamo che:

Otteniamo il gradiente in coordinate sferiche:

Lo stesso discorso può essere utilizzato per le coordinate cilindriche o un qualsiasi altro tipo di coordinate.

Gradiente per campi radiali

È utile, in vista dello studio del campo elettrico, trattare qui i campi radiali, in particolare le operazioni differenziali con questi. Da un rapido calcolo (valido sia in coordinate euclidee che sferiche) si ottiene:

Ricordando che , è altrettanto veloce verificare che

Da questa otteniamo l'importante relazione riguardo un qualsiasi campo scalare che ha dipendenza radiale . In generale, vale:

Divergenza

La divergenza è definita come il prodotto scalare tra operatore gradiente e campo vettoriale; la divergenza di un campo vettoriale è un campo scalare:

Per la divergenza valgono semplici regole:

Se la divergenza è non nulla, le linee di campo convergono o divergono; non deve trarre in inganno in quanto la divergenza è legata alla disuniformità con cui le linee divergono: se le linee di campo sono parallele ma aumentano o diminuiscono di intensità, la divergenza è non nulla. Ovviamente, se sono costanti in tutto lo spazio, la divergenza è nulla.

I campi interessanti sono quelli a divergenza nulla, chiamati campi solenoidali. Per questi campi, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa orientata è sempre nullo; questa è una conseguenza del teorema di Gauss-Green:

Anche la divergenza può essere calcolata in coordinate sferiche; in questo caso assume la seguente forma:

Rotore

Il rotore è definito come il prodotto vettoriale tra l'operatore gradiente e il campo vettoriale; risulterà quidi essere un campo vettoriale a sua volta.

Il rotore indica la tendenza delle linee di campo a ruotare attorno a una direzione; anche stavolta questa affermazione non deve trarre in inganno: un campo vettoriale le cui linee di campo sono parallele, ma hanno versi opposti nello spazio, ha un rotore non nullo.

Il campo vettoriale è sempre un campo solenoidale: infatti la divergenza di un rotore risulta sempre nulla, . Per il rotore vale il teorema di Stokes:

I campi per i quali il rotore è sempre nullo si dicono conservativi; questi possono essere scritti, proprio applicando il teorema di Stokes, come il gradiente di un campo scalare chiamato potenziale:

Anche il rotore possiamo scriverlo in coordinate sferiche:

Lo studio della divergenza e del rotore di un campo non è fatto a caso. Esiste infatti un teorema che afferma che, se sono noti la divergenza e il rotore di un campo vettoriale, sotto opportune condizioni, è determinato il campo stesso. Questo è il succo del teorema di Helmholtz che dimostriamo nelle appendici.

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