La delta di Dirac

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Partiamo dalla funzione vettoriale:
  
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<math display="block"> \mathbf{v} = \frac{1}{r^2} \hat{\mathbf{r}}</math>
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Il vettore è scritto in coordinate sferiche; questo è un campo ''radiale'' che decresce come <math>\frac{1}{r^2}</math>; da come abbiamo parlato della divergenza, un campo simile ''deve'' avere divergenza positiva. Tuttavia, se andiamo a calcolarla ne otteniamo un risultato non proprio aspettato (la divergenza è calcolata in coordinate sferiche):
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{r^2}  \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{1}{r^2} \right)= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (1)=0</math>
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Insomma, che fosse nulla non era così scontato. Il problema sorge quando applichiamo il teorema di Gauss; consideriamo una sfera centrata nell'origine di raggio <math>R</math>, il flusso del vettore attraverso questa sarà:
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<math display="block">
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\begin{align}
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\Phi_{\text{sfera}}(\mathbf{v}) = &\int_{\text{sfera}} \mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS= \int \left( \frac{1}{R^2} \hat{\mathbf{r}} \right) \cdot (R^2 \sin \theta \, d\theta d \phi \, \hat{\mathbf{r}} ) = \\
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=& \left( \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d \theta \right) \left( \int_{0}^{2 \pi} d \phi \right)= 4 \pi
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\end{align}
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</math>
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Tuttavia, applicando il teorema di Gauss, l'integrale sul volume della divergenza <math>\int_{\tau} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} d\tau = 0</math> è nullo in quanto è nulla la divergenza. Sbam, cervello spappolato sul muro.
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In realtà, il teorema della divergenza è sempre valido. Il calcolo del valore della divergenza anche lo è. Ma, nel calcolare la divergenza, ''abbiamo supposto di non trovarci nell'origine'', perché non ha senso dividere per lo <math>0</math>. Questo vuol dire che proprio nell'origine accadono cose strane, e ciò che accade permette al flusso di assumere valore <math>4 \pi</math>; il campo vettoriale <math>\mathbf{v}</math> con il quale ci stiamo muovendo, allora, presenta divergenza nulla in tutto lo spazio, tranne che nell'origine, dove esplode a un valore tale che il flusso dia risultato <math>4 \pi</math>. Ci troviamo a che fare con una funzione nota come '''delta di Dirac''', che si presenta in molte teorie fisiche e, anche, nell'elettromagnetismo, in quanto i campi vettoriali che andremo a studiare, il campo elettrico in particolare, ''diverge'' proprio come <math>\frac{1}{r^2}</math> in direzione radiale.
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La '''delta di Dirac''' è definita come:
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<math display="block"> \delta (x)= \begin{cases}
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&0 \quad \text{se } x \neq 0 \\
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&\infty \quad \text{se } x = 0
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\end{cases}
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</math>
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In realtà, non è propriamente una funzione, in quanto il valore che assume nell'origine non è finito; si parla quindi di ''distribuzione''. La particolarità di questa funzione è che l'integrale su tutto lo spazio è unitario:
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<math display="block"> \int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1</math>
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Caratteristica delle distribuzioni di probabilità, in cui rientra anche questa funzione. Inoltre, potremmo anche dire che, essendo la probabilità una misura, la delta di Dirac è anch'essa una misura, se vogliamo essere pignoli.
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Andiamo adesso a studiare il comportamento della delta di Dirac. Presa una qualsiasi funzione <math>f(x)</math>arbitraria, per comodità che sia ''continua'', il prodotto tra la funzione e la delta di Dirac è nullo ovunque eccetto che nell'origine; se ciò è vero, possiamo scrivere senza ambiguità:
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<math display="block"> f(x) \delta(x)= f(0) \delta (x)</math>
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Considerato questo, segue immediatamente, dalla definizione della delta:
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<math display="block"> \int_{- \infty}^{\infty} f(x) \delta (x) \, dx = f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \, dx= f(0)</math>
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Osserviamo che l'integrale non deve necessariamente coprire tutto lo spazio, anche se fosse limitato a un intervallo piccolo a piacere <math>(- \varepsilon; \varepsilon)</math>, l'integrale avrebbe avuto lo stesso risultato.
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Così come è definita, la funzione può essere "shiftata" a un valore <math>a</math> come:
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<math display="block"> \delta(x-a)= \begin{cases}
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&0 \quad \text{se } x \neq a \\
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&\infty \quad \text{se } x= a
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\end{cases}
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</math>
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E valgono le considerazioni già fatte nel punto origine, quindi <math>f(x) \delta (x-a) = f(a) \delta (x-a)</math>, e l'integrale del prodotto <math>f(x) \delta(x-a)</math> risulta essere <math>f(a)</math>. Sebbene la delta di Dirac non è una funzione nel senso stretto del termine, gli integrali in cui compare ''sono vere e proprie funzioni'' che riportano valori finiti; vedere la delta di Dirac come qualcosa da utilizzare sotto il segno di integrale è un buon modo per capire al meglio come questa funziona.
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Questo è il caso della delta in una sola dimensione; allo stesso modo possiamo parlare della '''delta di Dirac in tre dimensioni''', ovvero:
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<math display="block"> \delta^3 (\mathbf{r} ) = \delta(x) \delta (y) \delta (z)</math>
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Questa funzione ha valore nullo ovunque tranne che nell'origine dove esplode all'infinito. L'integrale su tutto lo spazio, come ci aspetta, è unitario:
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<math display="block"> \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \delta(y) \delta(z) \, dx dy dz = 1</math>
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Parlando allora di campi scalari <math>f( \mathbf{r})</math>, se consideriamo la delta di Dirac tridimensionale trasposta al punto <math>\mathbf{a}=(x_a, y_a, z_a)</math> sempre scrivibile come <math>\delta^3 (\mathbf{r} - \mathbf{a})</math> vale ancora ciò che abbiamo detto nel caso unidimensionale:
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<math display="block"> \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{r}) \, \delta^3 (\mathbf{r} - \mathbf{a} ) d \tau = f(\mathbf{a})</math>
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Possiamo adesso riprendere l'esempio iniziale; la divergenza di <math>\frac{1}{r^2} \hat{\mathbf{r}}</math> risulta, come abbiamo discusso, zero ovunque tranne che nell'origine, e l'integrale su ogni volume che contiene l'origine (abbiamo preso come caso particolare la sfera per comodità di calcolo, ma è generalizzabile a qualsiasi volume nello spazio) è costante pari a <math>4 \pi</math>. Allora possiamo comodamente sfruttare la delta di Dirac e quindi esprimere in funzione di questa la divergenza di <math>\frac{1}{r^2} \hat{\mathbf{r}}</math>:
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \right)= 4 \pi \delta^3 (\mathbf{r} )</math>
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Generalizzata a qualsiasi punto nello spazio, possiamo scriverla come:
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \frac{ \mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \right)= 4 \pi \delta^3 (\mathbf{r} - \mathbf{r}')</math>
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In seguito vedremo le applicazioni della delta di Dirac nel caso dell'elettromagnetismo.

Versione attuale delle 20:59, 25 dic 2017

Partiamo dalla funzione vettoriale:

Il vettore è scritto in coordinate sferiche; questo è un campo radiale che decresce come ; da come abbiamo parlato della divergenza, un campo simile deve avere divergenza positiva. Tuttavia, se andiamo a calcolarla ne otteniamo un risultato non proprio aspettato (la divergenza è calcolata in coordinate sferiche):

Insomma, che fosse nulla non era così scontato. Il problema sorge quando applichiamo il teorema di Gauss; consideriamo una sfera centrata nell'origine di raggio , il flusso del vettore attraverso questa sarà:

Tuttavia, applicando il teorema di Gauss, l'integrale sul volume della divergenza è nullo in quanto è nulla la divergenza. Sbam, cervello spappolato sul muro.

In realtà, il teorema della divergenza è sempre valido. Il calcolo del valore della divergenza anche lo è. Ma, nel calcolare la divergenza, abbiamo supposto di non trovarci nell'origine, perché non ha senso dividere per lo . Questo vuol dire che proprio nell'origine accadono cose strane, e ciò che accade permette al flusso di assumere valore ; il campo vettoriale con il quale ci stiamo muovendo, allora, presenta divergenza nulla in tutto lo spazio, tranne che nell'origine, dove esplode a un valore tale che il flusso dia risultato . Ci troviamo a che fare con una funzione nota come delta di Dirac, che si presenta in molte teorie fisiche e, anche, nell'elettromagnetismo, in quanto i campi vettoriali che andremo a studiare, il campo elettrico in particolare, diverge proprio come in direzione radiale.

La delta di Dirac è definita come:

In realtà, non è propriamente una funzione, in quanto il valore che assume nell'origine non è finito; si parla quindi di distribuzione. La particolarità di questa funzione è che l'integrale su tutto lo spazio è unitario:

Caratteristica delle distribuzioni di probabilità, in cui rientra anche questa funzione. Inoltre, potremmo anche dire che, essendo la probabilità una misura, la delta di Dirac è anch'essa una misura, se vogliamo essere pignoli.

Andiamo adesso a studiare il comportamento della delta di Dirac. Presa una qualsiasi funzione arbitraria, per comodità che sia continua, il prodotto tra la funzione e la delta di Dirac è nullo ovunque eccetto che nell'origine; se ciò è vero, possiamo scrivere senza ambiguità:

Considerato questo, segue immediatamente, dalla definizione della delta:

Osserviamo che l'integrale non deve necessariamente coprire tutto lo spazio, anche se fosse limitato a un intervallo piccolo a piacere , l'integrale avrebbe avuto lo stesso risultato.

Così come è definita, la funzione può essere "shiftata" a un valore come:

E valgono le considerazioni già fatte nel punto origine, quindi , e l'integrale del prodotto risulta essere . Sebbene la delta di Dirac non è una funzione nel senso stretto del termine, gli integrali in cui compare sono vere e proprie funzioni che riportano valori finiti; vedere la delta di Dirac come qualcosa da utilizzare sotto il segno di integrale è un buon modo per capire al meglio come questa funziona.

Questo è il caso della delta in una sola dimensione; allo stesso modo possiamo parlare della delta di Dirac in tre dimensioni, ovvero:

Questa funzione ha valore nullo ovunque tranne che nell'origine dove esplode all'infinito. L'integrale su tutto lo spazio, come ci aspetta, è unitario:

Parlando allora di campi scalari , se consideriamo la delta di Dirac tridimensionale trasposta al punto sempre scrivibile come vale ancora ciò che abbiamo detto nel caso unidimensionale:

Possiamo adesso riprendere l'esempio iniziale; la divergenza di risulta, come abbiamo discusso, zero ovunque tranne che nell'origine, e l'integrale su ogni volume che contiene l'origine (abbiamo preso come caso particolare la sfera per comodità di calcolo, ma è generalizzabile a qualsiasi volume nello spazio) è costante pari a . Allora possiamo comodamente sfruttare la delta di Dirac e quindi esprimere in funzione di questa la divergenza di :

Generalizzata a qualsiasi punto nello spazio, possiamo scriverla come:

In seguito vedremo le applicazioni della delta di Dirac nel caso dell'elettromagnetismo.

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