Il campo di polarizzazione e il campo locale

La polarizzazione di un dielettrico può quindi essere descritta dal vettore di polarizzazione ; da questo momento in poi, non ci interessa minimamente di come si è polarizzato il dielettrico (se per deformazione, orientamento o cose strane): sappiamo che è polarizzato e tanto ci basta. Per quel che riguarda il campo che lo ha polarizzato, ne riparleremo a fine sezione, perché la questione è un poco spinosa.

Ci chiediamo, a questo punto, quale sia il campo elettrico generato dal dielettrico polarizzato. Scordiamoci del campo esterno e facciamo finta di avere solo il nostro materiale nello spazio vuoto; il suo volume può essere suddiviso in piccoli volumi (identificati dal vettore ), ognuno dei quali è polarizzato (e il vettore di polarizzazione è uniforme all'interno del volumetto: ci interessa una trattazione continua), e vale . Per questo, possiamo calcolare il potenziale generato dal volumetto usando l'approssimazione di dipolo vista nella sezione 3.1, e possiamo quindi scrivere:

Integrando su tutto il volume otteniamo il potenziale totale; ricordando che :

Possiamo integrare per parti l'integrando: ricordando la formula di integrazione per parti in più variabili, otteniamo

Infine, sfruttando il teorema della divergenza, l'integrale di volume della divergenza lo trasformiamo nell'integrale di superficie del campo:

Ricorda niente? Insomma, è un po' sottile l'analogia, quindi ci arriviamo subito. Se abbiamo un corpo carico, con densità di carica volumica e densità di carica superficiale, il potenziale generato da questa distribuzione è ; anche in questo caso abbiamo un integrale di superficie e un integrale di volume, quindi è come se si fossero formate delle densità di carica nel dielettrico, pari a:

Fig. 4.4: Immaginiamo il dielettrico con tanti dipolini dentro. Osserviamo come si formano densità di carica superficiali in qualsiasi caso, mentre la carica volumica dipende dalla polarizzazione totale.

In realtà, si sono formate davvero delle cariche all'interno del dielettrico; immaginiamo una schematizzazione come in figura 4.4: su una faccia della superficie si è formata una , mentre su quella opposta una ; quindi, si forma sempre una carica superficiale nella materia. Per quanto riguarda la carica all'interno del volume, questa dipende dalla variazione della polarizzazione: se , allora , altrimenti avrà un valore non nullo.

Da questo potenziale, quindi, possiamo ricavare il campo elettrico generato nello spazio dal materiale polarizzato. Poiché abbiamo utilizzato l'approssimazione di dipolo, questo potenziale e il rispettivo campo sono validi se siamo lontani dal dielettrico. In realtà, si può dimostrare, questo potenziale descrive il potenziale in tutto lo spazio, anche nel dielettrico stesso, a patto che siamo interessati a studiare il campo elettrico macroscopico; poiché non siamo interessati al campo microscopico, ma vogliamo una trattazione continua, globale e macroscopica della materia, possiamo quindi dire che questo potenziale fa al caso nostro.

Per quanto riguarda, invece, il campo che polarizza il dielettrico, cosa possiamo dire? Questo campo, presente nell'espressione , è il campo elettrico locale, che è diverso dal campo medio. Prendiamo un volumetto nel materiale: il campo locale è la somma del campo già presente nello spazio prima che il dielettrico si polarizzasse più il campo generato dalle altre cariche del dielettrico escluse quelle nel volumetto, che chiameremo . Il campo medio, invece, è la somma di quest'ultimo più il campo generato dalle cariche interne al volumetto. Possiamo dimostrare che, per dielettrici omogenei e isotropi, questi due campi coincidono.

Prendiamo il nostro dielettrico fuori dal campo , di cui quindi non dovremo preoccuparci. Consideriamo un volumetto , identificato dal raggio , a forma di sferetta di raggio con la precisazione che è un volume abbastanza grande da contenere un gran numero di cariche, che possono essere approssimate continue, ma che sia tanto piccolo che la polarizzazione all'interno di questo sia costante. Il campo medio di questo volumetto, per quanto abbiamo detto, sarà ; dimostriamo che sono uguali indipendentemente da come sono disposte le cariche. La loro somma sarà il campo elettrico generato dal potenziale precedentemente trovato. Per poter schematizzare le cariche all'esterno della sfera, consideriamo una sola carica puntiforme posta a distanza dall'origine del nostro sistema di riferimento, e il campo esterno sarà generato solo da questa; per principio di sovrapposizione, poi basta sommarli.

Il campo medio generato da sulla sferetta vale:

Dove abbiamo identificato con . Consideriamo adesso la sfera a ; vogliamo il campo di questa sfera nel punto della carica . Per una sfera carica conosciamo il campo elettrico:

Nel caso attuale il punto è all'esterno, quindi è il secono a interessarci. Questo sarà uguale a quello generato dalla carica sulla sfera solo se , quindi sarà questo il valore che prenderemo come riferimento. Poiché, come abbiamo detto, vale il principio di sovrapposizione, questo sarà il campo esterno alla sfera. E se invece prendessimo un punto interno alla sfera? In questo caso, avremo che ; se consideriamo , otteniamo (fare anche riferimento all'esempio 2.13, in cui le due sfere presenti formano un dipolo):

Se moltiplichiamo e dividiamo questo per il volume della sferetta , otteniamo:

Questo risultato è esattamente uguale al campo generato all'esterno da una sfera uniformemente polarizzata. Quindi, campo interno ed esterno coincidono nel caso di una sferetta.

Quindi, alla fine di tutto, qual è l'espressione del campo locale, ovvero del campo che polarizza il volumetto? Ricordando tutto quello che abbiamo detto finora, possiamo scrivere il campo totale percepito dal volumetto come ; ma, per quanto abbiamo detto, vale che il campo locale è , quindi possiamo scrivere l'espressione del campo locale come ; da ciò che abbiamo calcolato, otteniamo la relazione di Lorentz per il campo locale che è:

Questo vale solo per materiale omogenei e isotropi. Inoltre, se il materiale è un gas molto rarefatto, il campo interno si può trascurare, e il campo locale è esattamente uguale al campo totale; in altre circostanze, invece, non possiamo trascurare il campo interno.

Una piccola precisazione: abbiamo preso un volumetto sferico e abbiamo ottenuto che il suo campo interno è ; questo, per i calcoli e i passaggi compiuti, è vero solo se il volumetto è sferico, quindi varia e dipende dalla geometria del volumetto e del sistema che consideriamo. La cosa non è molto pratica, tutt'altro; tuttavia, per materiali omogenei e isotropi che trattiamo (per fortuna), questo valore va bene per qualsiasi configurazione.

Un riassunto per riordinare le idee

Riassumiamo un po' tutto quello che abbiamo visto finora, per chiarire le idee. Nel nostro spazio infinito sono presenti cariche libere, che generano un campo elettrico ; immergiamo in questo campo elettrico un materiale dielettrico, che viene polarizzato in piccolo dipolo corrispondente ai suoi atomi o molecolee. Questa polarizzazione microscopica è descritta macroscopicamente tramite il campo vettoriale polarizzazione , che vale zero fuori dal materiale ma assume valori non negativi nei punti interni del dielettrico. Inoltre, questa polarizzazione complessiva genera un ulteriore campo elettrico nello spazio.

Sui singoli dipolini microscopici agisce un campo elettrico locale pari a ,dove è il campo generato dagli altri dipolini del materiale escluso quello che prendiamo in considerazione; questo campo polarizza il piccolo volumetto considerato, che comunque interagisce con i dipoli attorno a lui, variandoli e variando il loro campo: questo processo, quindi, varia nel tempo, fino all'equilibrio elettrostatico, quando i dipoli hanno una polarizzazione media . Quindi, il campo locale è il campo che, all'equilibrio, agisce sui singoli dipoli della materia. La sua importanza e utilità sta nel fatto che possiamo calcolare la polarizzazione attraverso questo.

Detto questo, abbiamo precisato come siamo interessati a studiare il campo macroscopico e non il campo microscopico. Dato quindi un punto nello spazio, il campo macroscopico sarà il campo rilevabile (tramite carica test), e varrà , ovvero il campo generato dalle cariche singole più il campo generato dal dielettrico. A questo punto, siamo passati a calcolare il campo locale e il campo totale, partendo dalla polarizzazione: dividendo il materiale in piccoli volumetti con polarizzazione , abbiamo potuto studiare il potenziale e il campo elettrico totale; nel nostro caso, quindi, i dipoletti, con i loro momenti di dipolo, hanno giocato lo stesso ruolo che gioca la densità nell'elettrostatica. Abbiamo quindi ottenuto il potenziale nello spazio generato dal dielettrico come:

L'approssimazione di dipolo che abbiamo usato funzione in punti lontani dal dielettrico, ma non vicino. Però, come abbiamo visto, se siamo interessati solo al campo macroscopico, allora l'approssimazione di dipolo funziona in tutti i punti dello spazio, anche all'interno del dielettrico stesso. Il campo macroscopico corrisponderà quindi a ; il campo microscopico, invece, risulta essere incalcolabile analiticamente.

Il trucco che abbiamo sfruttato è stato quello di prendere una sferetta e calcolare il campo medio sul volume della sferetta; il campo interno è uguale a quello generato da una sfera con polarizzazione costante. Poi, da questo, siamo passati a calcolare il campo locale. Abbiamo che il campo generato dal dielettrico vale dove è il campo generato dalle cariche di polarizzazione nel volumetto, che avevamo prima escluso, ovviamente, dal campo (è logico, quindi, che la loro somma dia il campo totale del dielettrico); da questa otteniamo l'immediata relazione .

Abbiamo detto poi che, per un dielettrico poco denso, come un gas o particolari liquidi, il campo interno è trascurabile (abbiamo una particella ogni morte di papa, quindi il campo esterno è quasi completamente il campo totale del dielettrico), quindi ; il campo totale, quindi, risulta essere : nei dielettrici rarefatti il campo locale è il campo totale dello spazio.

Se invece il materiale non è rarefatto, come sono tutti i liquidi e i solidi, allora non possiamo più trascurare il campo interno, che vale (lo abbiamo calcolato): ; quindi, il campo esterno risulta essere , e andandolo a sostituire nell'espressione del campo locale abbiamo ottenuto la relazione di Lorentz:

In tutto questo, abbiamo considerato i volumetti sferici, osservando come il campo interno variasse con la geometria del volumetto. Per materiali omogenei e isotropi (che quindi non hanno singolarità o variazioni nella loro composizione e rispettano le simmetrie), il campo interno è esattamente uguale a quello generato da un volumetto sferico: il nostro calcolo, quindi, si confà a tutti i dielettrici appartenenti a questa categoria.

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