Il dipolo elettrico

Fig. 3.1: Un dipolo elettrico.

Un dipolo è una coppia di cariche elettriche di uguale intensità ma di segno opposto, poste a distanza l'una dall'altra; le cariche sono rigide, ovvero mantengono sempre la stessa distanza tra loro (figura 3.1). Per identificare un dipolo, si definisce il momento di dipolo:

Nel Sistema Internazionale, l'unità di misura del momento di dipolo è il . Questa grandezza descrive perfettamente il sistema del dipolo, specialmente quando ci troviamo molto lontani da esso dove, come vedremo, il campo elettrico dipende direttamente da . Quando siamo vicino alle cariche, invecee, specialmente tra le cariche, entrano in gioco le interazioni tra cariche elettriche che prevalgono sul momento di dipolo. Andiamo allora a calcolare campo elettrico e potenziale del dipolo.

Potenziale di un dipolo

Fig. 3.2: Schema del dipolo come è trattato in questa sezione

Schematizziamo come in figura 3.2 il nostro dipolo: la carica si trova a distanza dall'origine sull'asse , mentre la carica si trova a distanza dall'origine sullo stesso asse. Preso un punto generico identificato dal vettore posizione , indichiamo con il vettore che va dalla carica positiva al punto in questione, mentre con il vettore che lo congiunge alla carica negativa. Calcoliamo il potenziale in : vale il principio di sovrapposizione, quindi sarà , andando a sostituire:

Questa espressione del potenziale vale ovunque nello spazio, sia che ci troviamo vicino alle cariche, sia che siamo lontani. Tuttavia, quando è abbastanza lontano dal dipolo, ci troveremo nella situazione in cui , e le cariche sembreranno coincidere nello spazio creando una carica totale neutra; inoltre, avremo che , a cui corrispondono gli angoli che questi formano con l'asse che diventano anch'essi quasi uguali, ; osservando che , se siamo molto lontani questo sarà uguale a . Tenendo conto di tutto ciò, il potenziale si approssima come:

Osserviamo che ; a questo punto, vale anche , e otteniamo il risultato finale:

Questa è l'espressione del potenziale elettrico di dipolo, con l'approssimazione di trovarci molto lontano dalle cariche. Osserviamo che questo va all'infinito come , più velocemente del potenziale della singola carica che ci va come ; questo è dovuto al fatto che, se siamo molto lontani, la carica che osserviamo è in buona approssimazione neutra.

Campo elettrico di un dipolo

Per calcolare il campo elettrico, dobbiamo calcolare il gradiente del potenziale. Il potenziale va come , e nel primo capitolo abbiamo visto la generica espressione del gradiente di campi , per cui non dobbiamo preoccuparci riguardo ciò. Dobbiamo fare più attenzione al prodotto : poiché il momento di dipolo è definito come , essendo posizionata tutta sull'asse , possiamo scriverla come . Il prodotto scalare del momento di dipolo per la distanza sarà quindi la proiezione di sull'asse , e quindi possiamo scrivere . Alla luce di ciò:

Portando dentro la parentesi, osserviamo che . Inoltre, poiché il momento di dipolo ha solo componente sull'asse , vale anche che . Allora l'espressione generale del campo elettrico generato da un dipolo è:

Per ricavare le componenti lungo gli assi cartesiani, si proietta il vettore sui tre assi; il secondo termine nella parentesi ha componente solo lungo , quindi non è presente nelle altre due coordinate.

Se ci posizioniamo proprio sull'asse , il campo vale , mentre se siamo posizionati sul piano , la componente vale ; questo ci dice che sull'asse del dipolo le linee di campo vanno all'infinito, mentre altrove compiono delle ellissi che vanno dalla carica positiva alla carica negativa. In tutto ciò, però, non possiamo dire con precisione quale sia il campo vicino al dipolo perché quello che abbiamo appena calcolato è il campo elettrico lontano dal dipolo.

Fig. 3.3: Andamento qualitativo del campo di un dipolo

Sviluppo in serie di un dipolo

Il potenziale di una qualsiasi distribuzione di carica può essere visto come una somma di termini, in teoria infiniti, che diventano sempre più piccoli, tutti dipendenti dalla distanza del tipo:

Di volta in volta, a seconda del problema che si presenta, ci si ferma al termine dominante nel caso. Per fare un esempio, i primi termini del potenziale sono del tipo:

Il primo termine, dipendente da , si riferisce al problema del monopolo, ovvero quando si calcola il potenziale di una carica di un solo tipo nello spazio; questo è proporzionale alla carica totale della distribuzione ed è il termine sempre dominante, a meno che la carica totale non sia neutra. In quel caso, domina il termine , che è, a tutti gli effetti, il termine fondamentale del potenziale, perché rappresenta il termine del dipolo e, in generale, tutta la materia può essere studiata come un enorme dipolo. Tuttavia, questo termine, per ragioni di simmetrie, può scomparire (quando scompare il momento di dipolo), ed entra in gioco il termine di quadrupolo che va come ; i termini successivi (sestupolo, ottupolo ecc.) sono rilevanti solo in particolari distribuzioni.

Fig. 3.4: I primi tre tipi di polo fondamentali

Vediamo come possiamo approssimare il potenziale, almeno fino al termine di dipolo. Prendiamo una distribuzione discreta di cariche identificate dalle posizioni ; un punto posto a distanza dall'origine percepisce un potenziale del tipo:

Se siamo sufficientemente lontani dalla distribuzione, con , possiamo approssimare , e il potenziale diventa del tipo:

Ovvero il potenziale che percepiamo al punto è lo stesso che percepiremmo se tutta la carica della distribuzione fosse nell'origine. Tuttavia, se la carica totale è nulla, risentiremmo un potenziale nullo; questo vuol dire che, in quel caso, non possiamo approssimare , e non dobbiamo trascurare le distanze. Allora sviluppiamo in serie il fattore . Ricordiamo che il modulo di un vettore è anche uguale a :

Nell'ultimo passaggio abbiamo applicato il teorema del coseno. Mettendo a fattor comune , che viene fuori dalla radice, abbiamo:

Il termine possiamo trascurarlo perché è il più piccolo che si presenta; chiamato , otteniamo:

Sviluppiamo in Taylor la radice:

Da cui otteniamo che il potenziale va come:

Notiamo che i primi due termini sono proprio quelli che abbiamo studiato finora, ovvero il termine di monopolo e il termine di dipolo.

Dipolo immerso in un campo esterno

E se il nostro dipolo si trovasse immerso in un campo esterno? Che affetti avrà questo sul dipolo? Essendo una coppia rigida di cariche opposte, queste subiranno una forza, ma, seppur si muoveranno nello spazio, resteranno vincolate alla distanza . Inoltre, il dipolo potrebbe anche ruotare, soggetto al momento della forza elettrica. Partiamo dal caso semplice.

Immaginiamo che nello spazio sia presente un campo uniforme. Entrambe le cariche del dipolo risentiranno di una forza , con . Poiché il campo è uniforme, sarà uguale in ogni punto dello spazio, quindi avremo che , e la risultante delle forze sul dipolo sarà , cioè il dipolo non si muoverà dalla sua posizione. Tuttavia, il momento totale non è nullo: scelto come polo il punto in cui si trova la carica negativa, infatti:

Ovvero il dipolo ruoterà fino a trovarsi parallelo al campo esterno, annullando il momento della forza elettrica.

Se invece il campo presente non è uniforme, le cose si complicano leggermente. La forza totale non sarà più nulla e il dipolo, oltre a ruotare, traslerà. Procediamo analizzando l'energia potenziale.

La carica negativa sentirà un potenziale , mentre la carica positiva percepirà ; poiché consideriamo molto minore delle variazioni del potenziale, possiamo approssimare ; l'energia potenziale totale del dipolo sarà allora . Poiché abbiamo posto , ritroviamo che , quindi:

Poiché l'energia potenziale tende a minimizzarsi se il sistema è lasciato libero di evolvere, i movimenti rotatori o traslatori del dipolo tenderanno a massimizzare , più precisamente nella direzione concorde al campo elettrico. Per ottenere però l'espressione della forza e del momento, dobbiamo immaginare di fare uno spostamento virtuale , in cui istante per istante la forza che impieghiamo per spostare il dipolo bilancia alla perfezione quella elettrica, ovvero facciamo uno spostamento virtuale che non perturbi l'equilibrio del dipolo; assieme allo spostamento compiamo una piccola rotazione . Il lavoro totale fatto sarà:

Poiché il campo è conservativo, il lavoro sarà uguale a ; esplicitando:

Osserviamo che, poiché , se abbiamo che , quindi otteniamo:

Allora uguagliamo le due espressioni del lavoro che abbiamo ricavato per ottenere la forza e il momento. Partiamo dalla forza:

Il prodotto scalare ; calcoliamo allora le tre componenti del gradiente, partendo dalla prima:

Adesso osserviamo che il campo elettrico è il gradiente del potenziale, ovvero , da cui . Se calcoliamo quindi , questo sarà uguale, per il teorema di Schwartz, a ; facendo lo stesso ragionamento per la componente , andando a sostituire:

Lo stesso ragionamento si fa anche per le componenti e , e otteniamo l'espressione della forza:

Per calcolare il momento, sfruttiamo l'altra relazione ; osservando che , quindi , concludiamo che il momento sarà pari a:

Nella prossima sezione vedremo qualche esempio di esercizi con dipoli.

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