Teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson

m (Dan ha spostato la pagina Utente:Dan/Elettromagnetismo/AppendiceB: riferimenti matematici/Teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson a [[Utente:Dan/Elettromagnetismo/Appendice B: riferimenti matematici/Teorema di unicità della s...)
 
(Una versione intermedia di uno stesso utente non è mostrata)
Riga 5: Riga 5:
  
 
{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come <math> \nabla^2 f = \rho</math>; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale <math>f = f_S</math> su una superficie <math>S</math>. Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:
+
Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come <math> \boldsymbol{\nabla}^2 f = \rho</math>; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale <math>f = f_S</math> su una superficie <math>S</math>. Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:
  
 
<math display="block">
 
<math display="block">
 
\begin{align}
 
\begin{align}
&f_1 \rightarrow \nabla^2 f_1 = \rho \quad \text{con } f_1 = f_S \text{ su } S \\
+
&f_1 \rightarrow \boldsymbol{\nabla}^2 f_1 = \rho \quad \text{con } f_1 = f_S \text{ su } S \\
&f_2  \rightarrow \nabla^2 f_2 = \rho \quad \text{con } f_2 = f_S \text{ su } S \\
+
&f_2  \rightarrow \boldsymbol{\nabla}^2 f_2 = \rho \quad \text{con } f_2 = f_S \text{ su } S \\
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
Chiamiamo <math>g = f_1 - f_2</math>; in questo modo, la funzione <math>g</math> soddisfa l'equazione di Laplace <math>\nabla^2 g =0</math>, e vale <math>g_S= f_S - f_S = 0</math> sulla superficie <math>S</math>. Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione <math>g \vec{\nabla}(g)</math>, e vogliamo calcolare l'integrale sul volume <math>\tau</math> circondato dalla superficie <math>S</math>; questo varrà:
+
Chiamiamo <math>g = f_1 - f_2</math>; in questo modo, la funzione <math>g</math> soddisfa l'equazione di Laplace <math>\boldsymbol{\nabla}^2 g =0</math>, e vale <math>g_S= f_S - f_S = 0</math> sulla superficie <math>S</math>. Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione <math>g \boldsymbol{\nabla}(g)</math>, e vogliamo calcolare l'integrale sul volume <math>\tau</math> circondato dalla superficie <math>S</math>; questo varrà:
  
<math display="block"> \int_{\tau} \vec{\nabla} \cdot (g \vec{\nabla} g ) d \tau = \int_S g \vec{\nabla} g \, dS </math>
+
<math display="block"> \int_{\tau} \boldsymbol{\nabla} \cdot (g \boldsymbol{\nabla} g ) d \tau = \int_S g \boldsymbol{\nabla} g \, dS </math>
  
 
Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>. Il membro a sinistra può essere esplicitato:
 
Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>. Il membro a sinistra può essere esplicitato:
  
<math display="block">\int_{\tau} \vec{\nabla} \cdot (g \vec{\nabla} g ) d \tau = \int_{\tau} (\vec{\nabla} g)^2 d \tau + \int_{\tau} g (\nabla^2 g) d \tau = \int_{\tau} (\vec{\nabla} g)^2 d \tau = 0</math>
+
<math display="block">\int_{\tau} \boldsymbol{\nabla}\cdot (g \boldsymbol{\nabla} g ) d \tau = \int_{\tau} (\boldsymbol{\nabla} g)^2 d \tau + \int_{\tau} g (\boldsymbol{\nabla}^2 g) d \tau = \int_{\tau} (\boldsymbol{\nabla} g)^2 d \tau = 0</math>
  
Poiché <math>(\vec{\nabla} g)^2</math> è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero <math>g= \text{cost}</math>. Tuttavia <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>, e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che <math>g=0</math> ovunque. Da come è definita <math>g=f_1 - f_2 = 0</math>, ne concludiamo che <math>f_1=f_2</math>, ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.
+
Poiché <math>(\boldsymbol{\nabla} g)^2</math> è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero <math>g= \text{cost}</math>. Tuttavia <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>, e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che <math>g=0</math> ovunque. Da come è definita <math>g=f_1 - f_2 = 0</math>, ne concludiamo che <math>f_1=f_2</math>, ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}

Versione attuale delle 13:59, 26 dic 2017

Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.

Teorema (di unicità della soluzione)

La soluzione all'equazione di Poisson è unica.

 
Dimostrazione

Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come ; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale su una superficie . Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:

Chiamiamo ; in questo modo, la funzione soddisfa l'equazione di Laplace , e vale sulla superficie . Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione , e vogliamo calcolare l'integrale sul volume circondato dalla superficie ; questo varrà:

Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione assume valore sulla superficie . Il membro a sinistra può essere esplicitato:

Poiché è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero . Tuttavia assume valore sulla superficie , e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che ovunque. Da come è definita , ne concludiamo che , ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.

 
Successivo