Teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson

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Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.
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La soluzione all'equazione di Poisson è unica.
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Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come <math> \nabla^2 f = \rho</math>; la condizione al contorno che poniamo che la funzione vale <math>f = f_S</math> su una superficie <math>S</math>. Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&f_1 \rightarrow \nabla^2 f_1 = \rho \quad \text{con } f_1 = f_S \text{ su } S \\
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&f_2  \rightarrow \nabla^2 f_2 = \rho \quad \text{con } f_2 = f_S \text{ su } S \\
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\end{align}
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Chiamiamo <math>g = f_1 - f_2</math>; in questo modo, la funzione <math>g</math> soddisfa l'equazione di Laplace <math>\nabla^2 g =0</math>, e vale <math>g_S= f_s - f_S = 0</math> sulla superficie <math>S</math>. Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione <math>g \vec{\nabla}(g)</math>, e vogliamo calcolare l'integrale sul volume <math>\tau</math> circondato dalla superficie <math>S</math>; questo varrà:
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<math display="block"> \int_{\tau} \vec{\nabla} \cdot (g \vec{\nabla} g ) d \tau = \int_S g \vec{\nabla} g \, dS </math>
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Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a sinistra è sempre nullo, in quanto la funzione <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>. Il membro a destra può essere esplicitato:
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<math display="block">\int_{\tau} \vec{\nabla} \cdot (g \vec{\nabla} g ) d \tau = \int_{\tau} (\vec{\nabla} g)^2 d \tau + \int_{\tau} g \vec{\nabla}^2 g d \tau = \int_{\tau} (\vec{\nabla} g)^2 d \tau = 0</math>
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Poiché <math>(\vec{\nabla} g)^2</math> è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero <math>g= \text{cost}</math>. Tuttavia <math>g</math> assume valore <math>0</math> sulla superficie <math>S</math>, poiché è costante in tutto lo spazio concludiamo che <math>g=0</math> ovunque. Da come è definita <math>g=f_1 - f_2 = 0</math>, ne concludiamo che <math>f_1=f_2</math>, ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.
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Versione delle 21:28, 21 mar 2017

Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.

Teorema (di unicità della soluzione)

La soluzione all'equazione di Poisson è unica.

 
Dimostrazione

Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come ; la condizione al contorno che poniamo che la funzione vale su una superficie . Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:

Chiamiamo ; in questo modo, la funzione soddisfa l'equazione di Laplace , e vale sulla superficie . Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione , e vogliamo calcolare l'integrale sul volume circondato dalla superficie ; questo varrà:

Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a sinistra è sempre nullo, in quanto la funzione assume valore sulla superficie . Il membro a destra può essere esplicitato:

Poiché è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero . Tuttavia assume valore sulla superficie , poiché è costante in tutto lo spazio concludiamo che ovunque. Da come è definita , ne concludiamo che , ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.

 
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