Calcolo del tensore degli sforzi di Maxwell

 
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\begin{align}
 
\begin{align}
\Big( \mathbf{E} ( \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - &\mathbf{E} \times( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_x =  \\
+
&\Big( \mathbf{E} ( \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - \mathbf{E} \times( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_x =  \\
&E_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) - E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) = \\
+
=&E_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) - E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) = \\
& \frac{\partial E_x^2}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}(E_xE_y) + \frac{\partial }{\partial z} (E_xE_z) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (E_x^2 + E_y^2+ E_z^2 )  
+
=& \frac{\partial E_x^2}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}(E_xE_y) + \frac{\partial }{\partial z} (E_xE_z) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (E_x^2 + E_y^2+ E_z^2 )  
 
\end{align}
 
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Versione attuale delle 00:24, 31 lug 2018

Riprendiamo l'espressione che avevamo lasciato:

Procediamo passo passo: calcoliamo prima il termine elettrico. Il rotore del campo elettrico sarà:

Bene, primo punto fatto. Ora, dobbiamo calcolare il prodotto vettoriale tra il campo elettrico e il suo rotore. Per evitare di costruire una matrice grande come tutta la pagina, trascriviamo direttamente le componenti, confidando nell'abilità del lettore di saper calcolare un prodotto vettoriale:

L'espressione è più semplice, e avremo:

Ora, non vogliamo scrivere per lungo tutta la componente elettrica; basterà scrivere per esteso la prima componente e osservare che le altre sono simmetriche, per cui avremo:

Posti gli indici che scorrono sulla terna , possiamo scrivere l'i-esima componente del termine elettrico come:

Dove indica la delta di Kronecker. Per il termine magnetico è tutto uguale, a meno di un fattore davanti. In sintesi, il tensore degli sforzi di Maxwell ha componenti:

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