Calcolo del tensore degli sforzi di Maxwell

Riga 1: Riga 1:
 
Riprendiamo l'espressione che avevamo lasciato:
 
Riprendiamo l'espressione che avevamo lasciato:
  
<math display="block"> \epsilon_0 \Big( \mathbf{E} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} ) - \mathbf{E} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} ) + \mathbf{B} ( \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) \Big)</math>
+
<math display="block"> \epsilon_0 \Big( \mathbf{E} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} ) - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} ) + \mathbf{B} ( \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \Big)</math>
  
 
Procediamo passo passo: calcoliamo prima il termine elettrico. Il rotore del campo elettrico sarà:
 
Procediamo passo passo: calcoliamo prima il termine elettrico. Il rotore del campo elettrico sarà:
  
<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} &\hat{\mathbf{z}} \\
+
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} &\hat{\mathbf{z}} \\
 
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 
E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \hat{\mathbf{x}} \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) +\hat{\mathbf{y}} \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right)  + \hat{\mathbf{z}} \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right)  </math>
 
E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \hat{\mathbf{x}} \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) +\hat{\mathbf{y}} \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right)  + \hat{\mathbf{z}} \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right)  </math>
Riga 12: Riga 12:
  
 
<math display="block"> \begin{align}
 
<math display="block"> \begin{align}
&\mathbf{E} \times ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} ) = \\
+
&\mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} ) = \\
 
&\hat{\mathbf{x}} \left( E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \right) +\\
 
&\hat{\mathbf{x}} \left( E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \right) +\\
 
+&\hat{\mathbf{y}} \left( E_z \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) - E_x \left( \frac{\partial E_y}{\partial E_x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \right) +\\
 
+&\hat{\mathbf{y}} \left( E_z \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) - E_x \left( \frac{\partial E_y}{\partial E_x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \right) +\\
Riga 18: Riga 18:
 
\end{align}</math>
 
\end{align}</math>
  
L'espressione <math>\mathbf{E}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E})</math> è più semplice, e avremo:
+
L'espressione <math>\mathbf{E}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})</math> è più semplice, e avremo:
  
 
<math display="block"> \begin{align}
 
<math display="block"> \begin{align}
&\mathbf{E} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} ) = \\
+
&\mathbf{E} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} ) = \\
 
&\hat{\mathbf{x}} \,E_x \left(\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) +\\
 
&\hat{\mathbf{x}} \,E_x \left(\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) +\\
 
+&\hat{\mathbf{y}} \, E_y \left(\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) +\\
 
+&\hat{\mathbf{y}} \, E_y \left(\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) +\\
Riga 32: Riga 32:
 
<math display="block">
 
<math display="block">
 
\begin{align}
 
\begin{align}
\Big( \mathbf{E} ( \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - &\mathbf{E} \times( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_x =  \\
+
\Big( \mathbf{E} ( \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - &\mathbf{E} \times( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_x =  \\
 
&E_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) - E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) = \\
 
&E_x \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) - E_y \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) - E_z \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) = \\
 
& \frac{\partial E_x^2}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}(E_xE_y) + \frac{\partial }{\partial z} (E_xE_z) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (E_x^2 + E_y^2+ E_z^2 )  
 
& \frac{\partial E_x^2}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}(E_xE_y) + \frac{\partial }{\partial z} (E_xE_z) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (E_x^2 + E_y^2+ E_z^2 )  
Riga 40: Riga 40:
 
Posti <math>i,j</math> gli indici che scorrono sulla terna <math>x,y,z</math>, possiamo scrivere l'i-esima componente del termine elettrico come:
 
Posti <math>i,j</math> gli indici che scorrono sulla terna <math>x,y,z</math>, possiamo scrivere l'i-esima componente del termine elettrico come:
  
<math display="block">\Big( \mathbf{E} ( \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - \mathbf{E} \times( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_i = \sum_j \frac{\partial}{\partial x_j} \Big(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\Big)</math>
+
<math display="block">\Big( \mathbf{E} ( \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E}) - \mathbf{E} \times( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} )\Big)_i = \sum_j \frac{\partial}{\partial x_j} \Big(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\Big)</math>
  
 
Dove <math>\delta_{ij}</math> indica la delta di Kronecker. Per il termine magnetico è ''tutto uguale'', a meno di un fattore <math>c^2</math> davanti. In sintesi, il tensore degli sforzi di Maxwell ha componenti:
 
Dove <math>\delta_{ij}</math> indica la delta di Kronecker. Per il termine magnetico è ''tutto uguale'', a meno di un fattore <math>c^2</math> davanti. In sintesi, il tensore degli sforzi di Maxwell ha componenti:
  
 
<math display="block"> T_{ij} = \epsilon_0 \left\{ E_iE_j + c^2 B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} (E^2 + c^2 B^2)\right\}</math>
 
<math display="block"> T_{ij} = \epsilon_0 \left\{ E_iE_j + c^2 B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} (E^2 + c^2 B^2)\right\}</math>

Versione delle 14:02, 26 dic 2017

Riprendiamo l'espressione che avevamo lasciato:

Procediamo passo passo: calcoliamo prima il termine elettrico. Il rotore del campo elettrico sarà:

Bene, primo punto fatto. Ora, dobbiamo calcolare il prodotto vettoriale tra il campo elettrico e il suo rotore. Per evitare di costruire una matrice grande come tutta la pagina, trascriviamo direttamente le componenti, confidando nell'abilità del lettore di saper calcolare un prodotto vettoriale:

L'espressione è più semplice, e avremo:

Ora, non vogliamo scrivere per lungo tutta la componente elettrica; basterà scrivere per esteso la prima componente e osservare che le altre sono simmetriche, per cui avremo:

Posti gli indici che scorrono sulla terna , possiamo scrivere l'i-esima componente del termine elettrico come:

Dove indica la delta di Kronecker. Per il termine magnetico è tutto uguale, a meno di un fattore davanti. In sintesi, il tensore degli sforzi di Maxwell ha componenti:

 PrecedenteSuccessivo