Analisi di un Ensemble Grancanonico

(Corretto formula Stirling (giusto per evitare che qualcuno che non la conosce creda davvero che si tratti di un'uguaglianza))
 
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=== Calcolo del potenziale chimico per un gas classico ===
 
=== Calcolo del potenziale chimico per un gas classico ===
Se avessimo delle particelle in una scatola e valesse <math>n << n_Q</math>a temperatura <math>T</math> possiamo calcolare il potenziale chimico tramite <math>\mu = \frac{\partial F}{\partial N}</math>. Ricordando la formula per l'energia libera di Helmoltz<math display="block">F= - k_B TN  ln\ V n_Q + k_B T ln\ N!</math>E la formula di Stirling <math>ln N! =Nln\ N - N</math>, possiamo procedere con la derivata:<math display="block">\frac{\partial F}{\partial N}= -k_B T ln\ Vn_q + k_BT ln\ N = k_B T ln \frac{n}{n_Q}</math>Vediamo che
+
Se avessimo delle particelle in una scatola e valesse <math>n << n_Q</math>a temperatura <math>T</math> possiamo calcolare il potenziale chimico tramite <math>\mu = \frac{\partial F}{\partial N}</math>. Ricordando la formula per l'energia libera di Helmoltz<math display="block">F= - k_B TN  ln\ V n_Q + k_B T ln\ N!</math>E la formula di Stirling <math>ln N! \approx Nln\ N - N</math>, possiamo procedere con la derivata:<math display="block">\frac{\partial F}{\partial N}= -k_B T ln\ Vn_q + k_BT ln\ N = k_B T ln \frac{n}{n_Q}</math>Vediamo che
  
 
<math display="block">\frac{\mu}{k_B T} = \ln \frac{n}{n_Q} << -1</math>
 
<math display="block">\frac{\mu}{k_B T} = \ln \frac{n}{n_Q} << -1</math>

Versione attuale delle 17:09, 13 lug 2019

Distribuzione di probabilità e funzione di partizione[modifica | modifica wikitesto]

Ora, abbiamo un sistema S in equlibrio con l'ambiente R. Finora abbiamo supposto che potesse scambiare energia, ora può scambiare sia energia che particelle. Qual è la probabilità che il sistema abbia energia e numero di particelle ? Naturalmente vale che:

Per il sistema complessivo quindi possiamo usare ciò che abbiamo imparato per un sistema microcanonico. La probabilità che il sistema abbia particolari valori di energia e particelle sarà proporzionale alle molteplicità di ambiente e sistema

Ora, sabbiamo che
Scriviamo dunque come abbiamo fatto per la distribuzione di Boltzmann
Ora, l'energia e il numero di particelle del sistema S sono piccole rispetto a quelle dell'ambiente circostante, quindi possiamo sviluppare in serie

Sostituiamo nell'esponente, inglobando il termine nella costante di proporzionalità

dove abbiamo sostituito con i risultati trovati prima. da cui
Abbiamo aggiunto la costante di normalizzazione a denominatore, chiamandola , dove il pedice sta per gran canonico. Tale oggetto è la funzione di partizione per l'ansemble gran canonico che è quello in cui stiamo lavorando. Ora , siccome deve valere la relazione di normalizzazione
Tralasciamo adesso i pedici e otteniamo
Tramite la distribuzione di probabilità possiamo calcolare diverse cose

Numero medio particelle[modifica | modifica wikitesto]

Cominciamo come sempre dalla definizione statistica

Consideriamo l'oggetto
E torniamo nell'equazione precedente
Ora , la funzione di partizione grancanonica dipende da temperatura e potenziale chimico, quindi possiamo scrivere
Quest'equazione definisce implicitamente il potenziale chimico.

Calcolo del potenziale chimico per un gas classico[modifica | modifica wikitesto]

Se avessimo delle particelle in una scatola e valesse a temperatura possiamo calcolare il potenziale chimico tramite . Ricordando la formula per l'energia libera di Helmoltz

E la formula di Stirling , possiamo procedere con la derivata:
Vediamo che

Potenziale termodinamico dell'ansemble Gran Canonico[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un ansemble gran canonico, nel quale il potenziale termodinamico è rappresentato dal potenziale di Landau, trasformata dell'energia libera di Helmoltz rispetto al numero di particelle

Ricordando l'espressione per l'energia libera di Gibbs
Possiamo riscrivere il potenziale di Landau come
Come abbiamo fatto altre volte, scriviamo la derivata totale di :
O equivalentemente
Per il primo principio della termodinamica vale che
E inserendola nell'equazione precedente si ottiene
Da cui deduciamo che

Relazione con la funzione di partizione[modifica | modifica wikitesto]

Vogliamo dimostrare che il potenziale termodinamico del sistema gran canonico equivale a

Cominciamo considerando
Che può essere inserito nella definizione del potenziale di Landau:
Che ha la stessa forma di altre equazioni viste in precedenza. La soluzione che si trova è quella desiderata

Gas debolmente degenere[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gas in cui . Analizziamo la funzione di partizione per questo sistema:

Se passiamo alle somme sulle singole occupazioni possibili tralasciamo la molteplicità di stati:
Se il gas è composto da bosoni avremo ed ogni sommatoria è una serie geometrica convergente
Se il gas è composto da fermioni avremo e dunque ogni sommatoria contiene due soli termini:
Possiamo inserire questi risultati nella formula del potenziale di Landau e ottenere
Oppure in forma più compatta

Il simbolo di produttoria è diventato un simbolo di sommatoria prima del logaritmo per le proprietà dei logaritmi.

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