Introduzione

Consideriamo una situazione fisica molto chiarificatrice per quanto riguarda la risoluzione dell'equazione agli autovalori della funzione d'onda.

Abbiamo un sistema formato da due pareti: una a e una a . Il potenziale del sistema è:

Il significato di un potenziale infinito sulle parete è che l'urto della particella è perfettamente elastico. L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo, che riportiamo
sotto la condizione diventa
Vediamo che è l'equazione di un oscillatore armonico, che è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea. Per risolverla distinguiamo due casi: quello in cui e quello in cui .

Se l'equazione avrà forma

La soluzione più generica possibile avrà forma
Il sistema non si può risolvere perché una soluzione di questo tipo non si può raccordare con lo 0 ai bordi.

Se l'equazione avrà forma

La soluzione più generale è del tipo
Ai bordi avremo
Le condizioni al contorno determinano quindi la quantizzazione dell'energia, lo spettro discreto di autovalori per .

Essendo un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste un'energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale.

Per calcolare il valore di è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione:

Si può calcolare facilmente l'integrale:

Da cui segue:

Riassumendo, le autofunzioni del problema della particella della scatola sono:
Le sono dunque le autofunzioni dell'hamiltoniana del sistema con autovalori

Nota bene:

La funzione d'onda dev'essere continua e abbiamo appena dimostrato la sua continuità, anche sui bordi della buca di potenziale. La derivata però non lo è. Questo non è un problema, il punto è che la derivata della funzione d'onda non può essere continua su un gradino di potenziale infinito. Vedremo che invece sarà continua su gradini finiti.

Questo concetto rimane valido anche in meccanica classica. Un corpo che impatta su una parete perfettamente riflettente subirà un cambiamento istantaneo della propria quantità di moto, che passa da quando il corpo sta per toccare la parete a appena è avvenuto l'urto. La transizione è istantanea dunque . Per il teorema dell'impulso

Da cui
E dunque

Che è impossibile da ottenere.

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