Introduzione

Versione attuale delle 14:50, 13 ago 2019

Consideriamo una situazione fisica molto chiarificatrice per quanto riguarda la risoluzione dell'equazione agli autovalori della funzione d'onda.

Abbiamo un sistema formato da due pareti: una a $x=0$ $x=0$ e una a $x=a$ $x=a$ . Il potenziale del sistema è:

{\begin{cases}V=+\infty &x\leq 0;\;x\geq a\\V=0&0<x<a\end{cases}}

Il significato di un potenziale infinito sulle parete è che l'urto della particella è perfettamente elastico. L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo, che riportiamo

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right]u(x)=Eu(x)

sotto la condizione

0<x<a

diventa

{\frac {\partial ^{2}{u(x)}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}u(x)=0

Vediamo che è l'equazione di un oscillatore armonico, che è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea. Per risolverla distinguiamo due casi: quello in cui

E>0

e quello in cui

E<0

.

Se $E<0$ $E<0$ l'equazione avrà forma

{\frac {\partial ^{2}{u(x)}}{\partial {x}^{2}}}-k^{2}u(x)=0\qquad k^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}

La soluzione più generica possibile avrà forma

{\begin{cases}u(x)=C_{1}e^{kx}+C_{2}e^{-kx}\\u(0)=0\\u(a)=0\end{cases}}

Il sistema non si può risolvere perché una soluzione di questo tipo non si può raccordare con lo 0 ai bordi.

Se $E>0$ $E>0$ l'equazione avrà forma

{\frac {\partial ^{2}{u(x)}}{\partial {x}^{2}}}+k^{2}u(x)=0

La soluzione più generale è del tipo

u(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)

Ai bordi avremo

{\begin{aligned}u(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=0\quad &\leftrightarrow \quad B=0\\u(a)=A\sin(ka)+B\cos(ka)=0\quad &\leftrightarrow \quad ka=n\pi \end{aligned}}

Le condizioni al contorno determinano quindi la quantizzazione dell'energia, lo spettro discreto di autovalori per

H

.

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}

Essendo $n$ $n$ un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste un'energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale.

Per calcolare il valore di $A$ $A$ è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione:

\int _{-\infty }^{+\infty }u^{*}(x)u(x)dx=1

Si può calcolare facilmente l'integrale:

{\begin{aligned}1&=\int _{0}^{a}u^{*}u\\&=\int _{0}^{a}|A|^{2}\sin ^{2}(kx)dx\\&=|A|^{2}\int _{0}^{a}{\frac {1-\cos(2kx)}{2}}\\&={\frac {A^{2}}{2}}x{\bigg |}_{0}^{a}-{\frac {A^{2}}{4k}}\sin(2kx){\bigg |}_{0}^{a}\\&=|A|^{2}{\frac {a}{2}}-0\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}1&=\int _{0}^{a}u^{*}u\\&=\int _{0}^{a}|A|^{2}\sin ^{2}(kx)dx\\&=|A|^{2}\int _{0}^{a}{\frac {1-\cos(2kx)}{2}}\\&={\frac {A^{2}}{2}}x{\bigg |}_{0}^{a}-{\frac {A^{2}}{4k}}\sin(2kx){\bigg |}_{0}^{a}\\&=|A|^{2}{\frac {a}{2}}-0\\\end{aligned}}

Da cui segue:

A={\sqrt {\frac {2}{a}}}

Riassumendo, le autofunzioni del problema della particella della scatola sono:

u_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {n\pi x}{a}}

Le

u_n

sono dunque le autofunzioni dell'hamiltoniana del sistema con autovalori

E_n

Nota bene:[modifica | modifica wikitesto]

La funzione d'onda dev'essere continua e abbiamo appena dimostrato la sua continuità, anche sui bordi della buca di potenziale. La derivata però non lo è. Questo non è un problema, il punto è che la derivata della funzione d'onda non può essere continua su un gradino di potenziale infinito. Vedremo che invece sarà continua su gradini finiti.

Questo concetto rimane valido anche in meccanica classica. Un corpo che impatta su una parete perfettamente riflettente subirà un cambiamento istantaneo della propria quantità di moto, che passa da $+p$ $+p$ quando il corpo sta per toccare la parete a $-p$ $-p$ appena è avvenuto l'urto. La transizione è istantanea dunque $\Delta t\to 0$ $\Delta t\to 0$ . Per il teorema dell'impulso

\Delta p=F\Delta t

Da cui

{\frac {\Delta p}{\Delta t}}=F

E dunque

F\to \infty

Che è impossibile da ottenere.

@@ Riga 11: / Riga 11: @@
 u(0) = 0 \\
 u(a) = 0
-\end{cases}</math>Il sistema non si può risolvere perchè una soluzione di questo tipo non si può raccordare con lo 0 ai bordi.
+\end{cases}</math>Il sistema non si può risolvere perché una soluzione di questo tipo non si può raccordare con lo 0 ai bordi.
 Se <math>E>0</math> l'equazione avrà forma<math display="block">\frac{\partial^{ 2 } { u(x) }}{\partial { x }^{ 2 }} + k^2 u(x)=0</math>La soluzione più generale è del tipo<math display="block">u(x)= A \sin (kx) + B \cos (kx)</math>Ai bordi avremo<math display="block">\begin{align}
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 \end{align}</math>Le condizioni al contorno determinano quindi la quantizzazione dell'energia, lo spettro discreto di autovalori per <math>H</math>.<math display="block">E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2ma^2}</math>
-Essendo <math>n</math> un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale.
+Essendo <math>n</math> un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste un'energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale.
 Per calcolare il valore di <math>A</math> è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione:
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 <math display="block">\begin{align}
 &= \int_{0}^{a} u^* u \\
-&= \int_{o}^{a} |A|^2 sin^2(kx) dx  \\
+&= \int_{0}^{a} |A|^2 \sin^2(kx) dx  \\
-&= |A|^2 \int_{0}^{a} \frac{1 - cos(2kx)}{2}  \\
+&= |A|^2 \int_{0}^{a} \frac{1 - \cos(2kx)}{2}  \\
 &= \frac{A^2}{2} x\bigg|^a_0 - \frac{A^2}{4k}\sin(2kx)\bigg|^a_0  \\
 &= |A|^2\frac{a}{2} - 0 \\