Introduzione
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u(0) = 0 \\ | u(0) = 0 \\ | ||
u(a) = 0 | u(a) = 0 | ||
− | \end{cases}</math>Il sistema non si può risolvere | + | \end{cases}</math>Il sistema non si può risolvere perché una soluzione di questo tipo non si può raccordare con lo 0 ai bordi. |
Se <math>E>0</math> l'equazione avrà forma<math display="block">\frac{\partial^{ 2 } { u(x) }}{\partial { x }^{ 2 }} + k^2 u(x)=0</math>La soluzione più generale è del tipo<math display="block">u(x)= A \sin (kx) + B \cos (kx)</math>Ai bordi avremo<math display="block">\begin{align} | Se <math>E>0</math> l'equazione avrà forma<math display="block">\frac{\partial^{ 2 } { u(x) }}{\partial { x }^{ 2 }} + k^2 u(x)=0</math>La soluzione più generale è del tipo<math display="block">u(x)= A \sin (kx) + B \cos (kx)</math>Ai bordi avremo<math display="block">\begin{align} | ||
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\end{align}</math>Le condizioni al contorno determinano quindi la quantizzazione dell'energia, lo spettro discreto di autovalori per <math>H</math>.<math display="block">E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2ma^2}</math> | \end{align}</math>Le condizioni al contorno determinano quindi la quantizzazione dell'energia, lo spettro discreto di autovalori per <math>H</math>.<math display="block">E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2ma^2}</math> | ||
− | Essendo <math>n</math> un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale. | + | Essendo <math>n</math> un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste un'energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale. |
Per calcolare il valore di <math>A</math> è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione: | Per calcolare il valore di <math>A</math> è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione: | ||
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<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
1 &= \int_{0}^{a} u^* u \\ | 1 &= \int_{0}^{a} u^* u \\ | ||
− | &= \int_{ | + | &= \int_{0}^{a} |A|^2 \sin^2(kx) dx \\ |
− | &= |A|^2 \int_{0}^{a} \frac{1 - cos(2kx)}{2} \\ | + | &= |A|^2 \int_{0}^{a} \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \\ |
&= \frac{A^2}{2} x\bigg|^a_0 - \frac{A^2}{4k}\sin(2kx)\bigg|^a_0 \\ | &= \frac{A^2}{2} x\bigg|^a_0 - \frac{A^2}{4k}\sin(2kx)\bigg|^a_0 \\ | ||
&= |A|^2\frac{a}{2} - 0 \\ | &= |A|^2\frac{a}{2} - 0 \\ |
Versione attuale delle 14:50, 13 ago 2019
Consideriamo una situazione fisica molto chiarificatrice per quanto riguarda la risoluzione dell'equazione agli autovalori della funzione d'onda.
Abbiamo un sistema formato da due pareti: una a e una a . Il potenziale del sistema è:
Se l'equazione avrà forma
Se l'equazione avrà forma
Essendo un valore discreto, vediamo che l'energia ha un valore minimo. L'energia è quantizzata, non assume valori continui, esiste un'energia minima di punto zero che discende dal fatto che la particella è confinata in una buca di potenziale.
Per calcolare il valore di è necessario sfruttare la condizione di normalizzazione dell'autofunzione:
Nota bene:[modifica | modifica wikitesto]
La funzione d'onda dev'essere continua e abbiamo appena dimostrato la sua continuità, anche sui bordi della buca di potenziale. La derivata però non lo è. Questo non è un problema, il punto è che la derivata della funzione d'onda non può essere continua su un gradino di potenziale infinito. Vedremo che invece sarà continua su gradini finiti.
Questo concetto rimane valido anche in meccanica classica. Un corpo che impatta su una parete perfettamente riflettente subirà un cambiamento istantaneo della propria quantità di moto, che passa da quando il corpo sta per toccare la parete a appena è avvenuto l'urto. La transizione è istantanea dunque . Per il teorema dell'impulso
Che è impossibile da ottenere.