Gli operatori gradino L+ e L-

Si seguira' ora un percorso analogo a quanto fatto per l'oscillatore armonico per definire precisamente lo spettro degli operatori momento angolare. Si considerino quindi gli operatori:

Entrambi questi operatori commutano con , infatti commuta con ciascuna componente. Quindi se agiscono su una autofunzione non ne cambiano l'autovalore:
in termini formali, appartiene allo stesso sottospazio di di . invece non commuta con :
Quindi risulta:

Quello che e' interessante e' il comportamento di questi operatori su un'autofunzione di :

cioel'operatore agendo su un autostato di di autovalore restituisce l'autostato di di autovalore . Ne consegue anche che se e' autovalore, anche e' autovalore.

In maniera del tutto analoga si trova:

e quindi l'operatore agendo su un autostato di di autovalore restituisce l'autostato di di autovalore . Ne consegue anche che se e' autovalore, anche e' autovalore.

Questo particolare comportamento degli operatori e giustifica il loro nome di operatori gradino. Come anticipato all'inizio di questo paragrafo, e' facile verificare guardando direttamente la forma di questi operatori che questi non sono hermitiani ma che l'uno e' l'aggiunto dell'altro. La loro combinazione e' invece autoaggiunta, infatti:

Siccome queste due combinazioni sono autoaggiunte, e supponendo di lavorare con autofunzioni normalizzate, deve risultare:
ma e per cui, tenendo conto che , si arriva alle importanti relazioni:
ora, nel caso di negativo, risulta , per cui le relazioni precedenti si possono riassumere nell'unica:
Di conseguenza, il valore di deve essere limitato in alto e in basso. In altri termini, il processo di innalzamento e abbassamento dell'autovalore non puo' continuare indefinitamente e devono esistere due particolari valori e per i quali risulta:

Essendo possibile agire con l'operatore sullo stato fino a raggiungere lo stato sul quale fornisce zero, si ricava banalmente che:

Dalle posizioni si ricava anche banalmente:

applicando quindi la prima di queste all'autostato del momento angolare relativo all'autovalore si ottiene:
e la seconda all'autostato relativo all'autovalore :
siccome l'autovalore di e', dalle relazioni precedenti si ricavano le condizioni:
e siccome per definizione , l'unica scelta consistente con le due condizioni e' porre:

questa relazione unita alla precedente su permette di ricavare l'altra relazione fondamentale:

e siccome ogni valore di differisce per un intero da , si ricava anche che:
Infine, siccome si e' visto che vale:
risulta anche che il momento angolare puo' assumere valori interi o seminteri e la degenerazione della componente del momento angolare rispetto a vale .

In realta', i valori seminteri del momento angolare sono esclusi da considerazioni di carattere fisico-matematico. Se il valore fosse possibile, allora si avrebbe:

Dalla forma di in coordinate sferiche:
si ricava che:
che non e' proporzionale a , che invece e' dato da:
la funzione cos\i' ricavata inoltre non appartiene a secondo la misura , ne consegue che i valori seminteri di non sono accettabili.

La questione puo' essere vista sotto un altro aspetto notando che l'operatore differenziale che agisce sulle funzioni deve essere ad un solo valore ed hermitiano: e questo esclude appunto la possibilita' di valori di seminteri. D'altronde, una volta effettuata una rotazione di intorno all'asse la funzione d'onda deve raccordarsi in fase e pertanto puo' variare solo per numeri interi.

L'utilita' degli operatori gradino si rivela in pieno nel calcolare determinate quantita'. Ad esempio, in termini di questi operatori il valore medio di e' dato da:

data l'ortogonalita' delle autofunzioni del momento angolare. In maniera perfettamente analoga si dimostra che . Per quanto riguarda invece i valori medi di e , ricordando la definizione di operatorio gradino , si ricava:
tenendo conto che , si ricava:
A partire da questi risultati, si ricava che:
da cui discende immediatamente che:
e risulta sempre diverso da zero tranne che nel caso .

Gli operatori gradino permettono anche di ricavare esplicitamente gli autostati relativi agli autovalori in maniera semplice. In base alle leggi di trasformazione delle coordinate polari:

ed alla regola di trasformazione:
si ricava la forma esplicita degli operatori componenti del momento angolare:
in particolare, dalla forma di e e ricordando la formula di Eulero si ricava:
e per l'autostato della parte angolare vale:
ovvero:
che ha per soluzione , quindi:
e in maniera del tutto analoga:

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