Teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo

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Normalmente si ha un'hamiltoniana non dipendente dal tempo, che descrive quindi un sistema isolato, ma in alcuni non succede e abbiamo una <math>H(t)</math> che varia nel tempo, descrivendo un sistema più o meno complesso che scambia energia con l'ambiente. Consideriamo un caso simile con una perturbazione <math>\delta H(t)=H'(t)</math> dipendente da un parametro piccolo <math>\epsilon</math> come nei casi precedenti; <math>H_0</math> sarà l'hamiltoniana imperturbata del problema e avremo quindi <math>H(t) =H_0 + H'(t)</math> da inserire nell'equazione di Schrödinger <math>i \hbar \partial_t \psi(t) = H(t) \psi(t)</math>. Supponiamo anche questa volta di conoscere le soluzioni di <math>H_o \boldsymbol{\Psi}_n = E_n\boldsymbol{\Psi}_n</math>, anche qui con <math>(\boldsymbol{\Psi}_n, \boldsymbol{\Psi}_m)= \delta_{nm}</math> set completo. Scriviamo allora lo stato generico dipendente dal tempo in funzione di questa base come:
  
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<math display="block"> \sum_n c_n e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} \boldsymbol{\Psi}_n</math>
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Dove <math>e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} =e ^{-i frac{H_0}{\hbar}t}</math> è l'evoluzione temporale già nota. I coefficienti di espansione <math>c_n(t)</math> dipendono anch'essi dal tempo. Andiamo a sostituire questi stati nell'equazione di Schrödinger; il membro di sinistra è:
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<math display="block"> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}_n(t) = i \hbar \sum_n \dot{c}_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} \boldsymbol{\Psi}_n+ i \hbar \sum_n c_n(t) \left(-i \frac{E_n}{\hbar} \right) e^{- i frac{E_n}{\hbar} t} \boldsymbol{\Psi}_n</math>
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Il termine a destra è invece:
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<math display="block">
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H(t) \boldsymbol{\Psi}_n (t) = (H_0 + H'(t) )\boldsymbol{\Psi}_n(t) = \sum_n c_n(t) E_n \boldsymbol{\Psi}_n e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} + \sum_n c_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} H'(t) \boldsymbol{\Psi}_n</math>
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Uguagliando le due espressioni otteniamo:
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<math display="block"> i \hbar \sum_n \dot{c}_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} \boldsymbol{\Psi}_n = \sum_n c_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} H'(t)\boldsymbol{\Psi}_n</math>
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Moltiplichiamo a sinistra per <math>\boldsymbol{\Psi}_m</math> e, saltando un passaggio, otteniamo:
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<math display="block"> i \hbar \dot{c}_m(t) e^{-i \frac{E_m}{\hbar} t} = \sum_n c_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} H'_{mn}</math>
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Abbiamo ottenuto '''un'equazione esatta''' per i coefficienti di espansione in serie; possiamo considerare, al primo ordine nella teoria delle perturbazioni, <math>c_n(t) \approx c_n(0)</math>: questa può essere una condizione che viene esplicitamente data dal problema a cui si fa riferimento. In questo caso, allora, avremo:
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<math display="block"> C_m(t) = c_n(0) - \frac{i}{\hbar} \sum_n c_n(0) \int_0^t dt' \, e^{i \frac{(E_m-E_n)}{\hbar} t} H'_{mn}(t)</math>
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Osserviamo che l'elemento di matrice <math>H'_{mn}</math> è ''fondamentale'' per poter ottenere efficacemente i coefficienti di espansione e, di conseguenza, gli stati che andiamo a cercare.

Versione delle 16:12, 24 feb 2018

Normalmente si ha un'hamiltoniana non dipendente dal tempo, che descrive quindi un sistema isolato, ma in alcuni non succede e abbiamo una che varia nel tempo, descrivendo un sistema più o meno complesso che scambia energia con l'ambiente. Consideriamo un caso simile con una perturbazione dipendente da un parametro piccolo come nei casi precedenti; sarà l'hamiltoniana imperturbata del problema e avremo quindi da inserire nell'equazione di Schrödinger . Supponiamo anche questa volta di conoscere le soluzioni di , anche qui con set completo. Scriviamo allora lo stato generico dipendente dal tempo in funzione di questa base come:

Dove è l'evoluzione temporale già nota. I coefficienti di espansione dipendono anch'essi dal tempo. Andiamo a sostituire questi stati nell'equazione di Schrödinger; il membro di sinistra è:

Il termine a destra è invece:

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

Moltiplichiamo a sinistra per e, saltando un passaggio, otteniamo:

Abbiamo ottenuto un'equazione esatta per i coefficienti di espansione in serie; possiamo considerare, al primo ordine nella teoria delle perturbazioni, : questa può essere una condizione che viene esplicitamente data dal problema a cui si fa riferimento. In questo caso, allora, avremo:

Osserviamo che l'elemento di matrice è fondamentale per poter ottenere efficacemente i coefficienti di espansione e, di conseguenza, gli stati che andiamo a cercare.

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