Teoria delle perturbazioni al primo ordine

Supponiamo di avere un'hamiltoniana imperturbata che soddisfa l'equazione e di conoscerne le soluzioni; supponiamo inoltre che sia hermitiana e che quindi le soluzioni formino un set completo di autofuznioni ortogonali . Affrontiamo allora il caso in cui sia presente una perturbazione nell'hamiltoniana del sistema tale che , dove è un numero piccolo rispetto al termine imperturbato. A questo corrisponderà quindi una perturbazione nei livelli energetici, che potremo esprimere come e, di conseguenza, anche sugli stati che verranno leggermente modificati da a . Come possiamo trattare le correzioni che otteniamo?

Per poterle studiare riscriviamo l'equazione alle autofunzioni con i termini corretti e consideriamo di questa solo i termini al primo ordine nella teoria delle perturbazioni:

Moltiplichiamo ora scalarmente a sinistra (ovvero moltiplichiamo per ) per ; nel secondo passaggio sfruttiamo l'hermitianità di , portandola a sinistra nel prodotto scalare e sostituendola con il suo autovalore:

Da questa otteniamo quindi la correzione ai livelli energetici al primo ordine:

Esempio (10.1)

Vediamo con un esempio come applicare questo studio. Consideriamo una correzione al potenziale coulombiano dell'atomo di idrogeno pari a:

Con dove è il raggio di Bohr, mentre è la variabile radiale. Vogliamo vedere come variano i livelli degli stati legati al primo ordine nella teoria delle perturbazioni. Le funzioni dei due livelli imperturbati sono e , dove la parte radiale è in generale esprimibile come:

Con i polinomi di Laguerre. Avremo e . Con le giuste normalizzazioni le due funzioni cercate sono:

Possiamo quindi applicare la regola che ci fornisce la perturbazione sui livelli energetici, ricordando che nell'hamiltoniana compare l'energia potenziale (quindi e non solo il potenziale coulombiano):

 

Caso degenere

Cosa succede se al livello sono associate due o più stati/funzioni d'onda? Ripartendo dall'espressione , moltiplichiamo scalarmente a sinistra per :

Abbiamo supposto che sia cosicché ; se ora consideriamo un caso degenere, quindi, avremo che ; questo ci dice che deve avere elementi di matrice fuori dalla diagonale non nulli. Questa matrice fa riferimento a tutti gli stati degeneri, che possiamo esprimere come . Supposto sia hermitiana, avrà un set completo di autovettori, possiamo allora scrivere l'equazione secolare:

Scriviamo allora degli autostati come ; questi sono tanti quanti gli stati degeneri , mentre è l'indice del vettore che va da 1 alla dimensione della matrice, che dipende proprio dalla degenerazione.

Caso non degenere

Supponendo invece che non ci sia degenerazione energetica per gli stati , dall'ultima espressione del caso degenere possiamo scrivere:

Andiamo adesso a cercare un'espressione per poter ricavare la correzione sugli stati perturbati ; quando questa sarà presente, otterremo lo stato <mathZ\boldsymbol{\Psi}_a+\delta \boldsymbol{\Psi}_a</math>; possiamo supporre che sia normalizzato, ottenendo una condizione su di esso:

(si ottiene osservando che i due termini rimanenti sono uno il coniugato dell'altro). La parte immaginaria di questo prodotto scalare è allora totalmente arbitraria, e possiamo scegliere una fase qualsiasi come , basta che sia di ordine . A questo punto, possiamo espandere la correzione allo stato sul set di stati non degeneri, ovvero ; ricordando l'espressione già ottenuta per otteniamo la perturbazione sugli stati:

 PrecedenteSuccessivo