Rottura spontanea della simmetria

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Riprendendo proprio il caso della doppia buca, supponiamo che a <math>t=0</math> si rompa la simmetria, ottenendo quindi le funzioni d'onda già note <math>\psi(x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_1(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_2(x)</math>. Consideriamo un'evoluzione temporale del sistema, <math>e^{-i \frac{H}{\hbar}t} \psi(x,0) = \psi(x,t)</math>: questa agirà diversamente sulle due componenti della funzione d'onda, infatti a <math>\psi_1</math> è associato un livello energetico <math>E_1<E_0</math>, mentre a <math>\psi_2</math> è associato un livello <math>E_2 >E_0</math>. Posta <math>\delta E= E_2 - E_1</math>, avremo <math>E_1 = E_0 - \frac{\delta E}{2}</math> e <math>E_2 = E_ 0 + \frac{\delta E}{2}</math>. La funzione d'onda al tempo generico sarà quindi:
 
Riprendendo proprio il caso della doppia buca, supponiamo che a <math>t=0</math> si rompa la simmetria, ottenendo quindi le funzioni d'onda già note <math>\psi(x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_1(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_2(x)</math>. Consideriamo un'evoluzione temporale del sistema, <math>e^{-i \frac{H}{\hbar}t} \psi(x,0) = \psi(x,t)</math>: questa agirà diversamente sulle due componenti della funzione d'onda, infatti a <math>\psi_1</math> è associato un livello energetico <math>E_1<E_0</math>, mentre a <math>\psi_2</math> è associato un livello <math>E_2 >E_0</math>. Posta <math>\delta E= E_2 - E_1</math>, avremo <math>E_1 = E_0 - \frac{\delta E}{2}</math> e <math>E_2 = E_ 0 + \frac{\delta E}{2}</math>. La funzione d'onda al tempo generico sarà quindi:
  
<math display="block">\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} \left(E_0 - \frac{\delta E}{2} \right) t} \frac{\psi_1}{\sqrt{2}} + e^{-\frac{i}{\hbar} \left(E_0 + \frac{\delta E}{2}\right) t} \frac{\psi}{\sqrt{2}} = e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t} \Big[ \psi_0(x) \cos \left(\frac{\delta E}{\hbar }t \right) + \psi_0(-x) \sin\left(\frac{\delta{E}{2} t \right) \Big]</math>
+
<math display="block">\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} \left(E_0 - \frac{\delta E}{2} \right) t} \frac{\psi_1}{\sqrt{2}} + e^{-\frac{i}{\hbar} \left(E_0 + \frac{\delta E}{2}\right) t} \frac{\psi_2}{\sqrt{2}} = e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t} \left[ \psi_0(x) \cos \left(\frac{\delta E}{\hbar }t \right) + \psi_0(-x) \sin\left(\frac{\delta E}{2} t \right) \right]</math>
  
 
Osserviamo a questo punto che la stabilità della rottura della simmetria non è infinita: infatti, se fosse <math>\delta E=0</math> si resterebbe in una delle due buche indefinitamente, ma abbiamo <math>\delta E\neq 0</math> proprio perché la barriera di potenziale non è finita. Allora si potrà tornare nell'altra buca, esattamente a un tempo tale che <math> t \approx \frac{\hbar }{\delta E}</math>.
 
Osserviamo a questo punto che la stabilità della rottura della simmetria non è infinita: infatti, se fosse <math>\delta E=0</math> si resterebbe in una delle due buche indefinitamente, ma abbiamo <math>\delta E\neq 0</math> proprio perché la barriera di potenziale non è finita. Allora si potrà tornare nell'altra buca, esattamente a un tempo tale che <math> t \approx \frac{\hbar }{\delta E}</math>.

Versione delle 15:31, 23 feb 2018

Abbiamo visto il caso particolare della doppia buca di potenziale e abbiamo descritto come, quando il massimo locale è finito, si presenti una rottura spontanea della simmetria. Una cosa simile non accade solo nella nostra immaginazione ma anche nella realtà: un esempio è la molecola di ammoniaca NH3, dove l'atomo di azoto si posiziona sulla verticale rispetto al piano formato dai tre atomi di idrogeno, e può mettersi a destra o a sinistra di questo; questo significa che anche in quel caso ci sono due minimi locali del potenziale e la scelta di quale dei due minimi assumere comporta la chiralità della molecola, corrispondente a una risposta ottica ben precisa (assorbiranno fotoni con polarizzazione orientata a destra o a sinistra).

Riprendendo proprio il caso della doppia buca, supponiamo che a si rompa la simmetria, ottenendo quindi le funzioni d'onda già note . Consideriamo un'evoluzione temporale del sistema, : questa agirà diversamente sulle due componenti della funzione d'onda, infatti a è associato un livello energetico , mentre a è associato un livello . Posta , avremo e . La funzione d'onda al tempo generico sarà quindi:

Osserviamo a questo punto che la stabilità della rottura della simmetria non è infinita: infatti, se fosse si resterebbe in una delle due buche indefinitamente, ma abbiamo proprio perché la barriera di potenziale non è finita. Allora si potrà tornare nell'altra buca, esattamente a un tempo tale che .

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