Radiazione monocromatica e regola d'oro di Fermi

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<math display="block"> \mathcal{U}_{n1} = \left( e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \, \hat{\mathbf{z}} \psi_1 \right)</math>
 
<math display="block"> \mathcal{U}_{n1} = \left( e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \, \hat{\mathbf{z}} \psi_1 \right)</math>
  
Dove abbiamo considerato le onde piane polarizzate lungo <math>\hat{\mathbf{z}}</math>
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Dove abbiamo considerato le onde piane polarizzate lungo <math>\hat{\mathbf{z}}</math>. Gli elettroni ionizzati si diffondono in <math>4 \pi \hat{\mathbf{n}}</math> direzioni. Come si effettua la somma su tutte le direzioni? Questo si può fare con un trucco largamente usato in meccanica statistica: immaginiamo di chiudere il sistema in un volume finito (ovvero in una buca di potenziale tridimensionale): facendo così passeremo dallo spettro continuo a quello discreto e avremo delle '''condizioni al contorno periodiche'''; lavorando con onde piane normalizzate:
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<math display="block"> e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} \to \frac{e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}{\sqrt{L_1L_2L_3}} = \frac{e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}{\sqrt{V}} = \frac{e^{i \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}}{\sqrt{V}}</math>
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L'elemento di matrice considerato sarà <math>\mathcal{U}_{n1} = \left(\psi_{\mathbf{p}}, \mathcal{U} e^{-\frac{r}{a_B}} \frac{1}{\sqrt{aB^3}} \right)</math>, applicando le condizioni al contorno periodiche che vedono <math>\mathbf{k} = \frac{2 \pi \hat{\mathbf{n}}}{L}</math> ricaviamo che <math>\hat{\mathbf{n}} = \frac{L}{2 \pi} \mathbf{k}</math>. Ora, quante triplette di interi <math>\hat{\mathbf{n}}</math> ci sono in un infinitesimo <math>d \mathbf{p} = d^3p</math>? Questo può essere calcolato al volo:
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<math display="block"> dn_x dn_y dn_z = \left(\frac{L}{2 \pi} \right)^3 dk_x dk_y dk_z = \frac{V}{(2 \pi \hbar)^3}d^3 p</math>
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Questo ci dice che la somma si trasforma in integrale secondo la formula <math>\sum_{\mathbf{p}} \to \frac{V}{h^3} \int d^3p</math>. Questo semplice trucchetto, ideato da Fermi, è alla base di tutta la teoria della diffusione (o scattering). La regola d'oro sarà quindi:
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<math display="block"> \Gamma (1 \to \mathbf{p}) = \frac{V}{h^3} \int d^3 p \frac{2 \pi}{\hbar} |\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}|^2 \delta(E_{\mathbf{p}} -E_1 - \hbar \omega)</math>
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A questo punto portiamo il volume della buca di potenziale all'infinito. La funzione d'onda per onde piane è normalizzata, e compare un termine <math>\frac{1}{\sqrt{V}}</math> in ogni elemento <math>\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}</math> di ogni particella libera. Il volume davanti l'integrale è quindi semplificato da <math>|\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}|^2</math>. Per il fattore <math>\frac{1}{(2 \pu \hbar)^3}</math> si usa un'altra convenzione: si scrive la funzione d'onda di particella libera normalizzata come:
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<math display="block"> \psi_{\mathbf{p}} = \frac{e^{i \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}}{(2 \pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}</math>
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In questo modo si porta il termine sotto il segno di integrale e la regola d'oro di Fermi è:
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<math display="block"> \Gamma (1 \to \mathbf{p} ) = \frac{2 \pi}{\hbar} \int d^3 p \, |\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}|^2 \delta (E_{\mathbf{p} - E_1 - \hbar \omega)</math>
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In tutto il nostro ragionamento abbiamo dato per scontate due ipotesi: la prima è che, quando l'atomo viene colpito dal fotone,il nucleo ''non rinculi'' e resti fermo dov'è, approssimando la massa del nucleo molto più grande di quella dell'elettrone (cosa tra l'altro vera); l'altra ipotesi considerata è che, quando abbiamo dei fotoni con energia dell'ordine del <math>\text{MeV}</math> approssimiamo che l'elettrone scatterato abbia tutta e solo l'energia del fotone incidente.

Versione delle 11:30, 25 feb 2018

Applichiamo quello che abbiamo imparato a un caso pratico. Consideriamo una perturbazione dipendente dal tempo del tipo . Supponiamo sia l'hamiltoniana hermitiana e una frequenza fissata, questa perturbazione rappresenta dunque una radiazione elettromagnetica monocromatica che perturba il nostro sistema (per esempio un fascio di fotoni su un atomo). Cosa succede all'atomo in questione? Prendiamo per esempio l'idrogeno, che conosciamo e possiamo risolvere, ci chiediamo se lo stato fondamentale si eccita o meno. I coefficienti di espansione saranno quindi:

Abbiamo semplicemente risolto gli integrali che compaiono nella formula esplicitandoli. A seconda della condizione iniziale, possiamo semplificare questa espressione. Se consideriamo , vorrà dire che a il nostro atomo si trova nello stato fondamentale, infatti la sua funzione d'onda è:

Se infatti tutti gli altri devono essere per forza nulli, considerato che le funzioni d'onda sono normalizzate e, di conseguenza, anche i coefficienti di espansione. Se invece ad essere non nullo è un con , avremo:

Dipende tutto da e , ovvero dall'energia fornita dalla radiazione a da quale livello eccitato stiamo guardando. Per piccoli, espandendo l'esponenziale, ritroviamo un comportamento oscillante, per cui va escluso questo caso. Allora ci sono due casi validi: il primo è , che ci dice che finiamo su alla fine del processo (è quindi un'eccitazione stimolata) partendo dallo stato fondamentale, mentre il secondo è , che ci dice il contrario, ovvero finiamo sullo stato fondamentale partendo dallo stato eccitato (diseccitazione stimolata). Se consideriamo il primo caso, quello dell'assorbimento di un fotone, il tempo caratteristico sarà:

Quindi è una scala molto lunga dei tempi, e l'espansione dell'esponenziale è valida solo se consideriamo tempi dallo stesso ordine di grandezza. Questo ci dice allora che il termine cresce nel tempo fino a , mentre resta oscillante tutta la durata del processo e, quindi, trascurabile. I coefficienti di espansione dipendono quindi solo da . La probabilità di essere finiti su uno stato eccitato ci è data ovviamente da , che sarà:

Poiché vale il limite

Otteniamo

Ovvero si finisce sul livello eccitato solo se è l'energia giusta per farci finire lì. Si definisce rate, o tasso, di probabilità di finire su un determinato stato eccitato la quantità , ottenendo così quella che è nota come regola d'oro di Fermi (o anche Fermi's golden rule):

Se la frequenza è tale da ionizzare l'atomo, ovvero la probabilità dipenderà dal termine

Dove abbiamo considerato le onde piane polarizzate lungo . Gli elettroni ionizzati si diffondono in direzioni. Come si effettua la somma su tutte le direzioni? Questo si può fare con un trucco largamente usato in meccanica statistica: immaginiamo di chiudere il sistema in un volume finito (ovvero in una buca di potenziale tridimensionale): facendo così passeremo dallo spettro continuo a quello discreto e avremo delle condizioni al contorno periodiche; lavorando con onde piane normalizzate:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} \to \frac{e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}{\sqrt{L_1L_2L_3}} = \frac{e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}{\sqrt{V}} = \frac{e^{i \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}}{\sqrt{V}}}

L'elemento di matrice considerato sarà , applicando le condizioni al contorno periodiche che vedono ricaviamo che . Ora, quante triplette di interi ci sono in un infinitesimo ? Questo può essere calcolato al volo:

Questo ci dice che la somma si trasforma in integrale secondo la formula . Questo semplice trucchetto, ideato da Fermi, è alla base di tutta la teoria della diffusione (o scattering). La regola d'oro sarà quindi:

A questo punto portiamo il volume della buca di potenziale all'infinito. La funzione d'onda per onde piane è normalizzata, e compare un termine in ogni elemento di ogni particella libera. Il volume davanti l'integrale è quindi semplificato da . Per il fattore Errore del parser (funzione sconosciuta '\pu'): {\displaystyle \frac{1}{(2 \pu \hbar)^3}} si usa un'altra convenzione: si scrive la funzione d'onda di particella libera normalizzata come:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \psi_{\mathbf{p}} = \frac{e^{i \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}}{(2 \pi \hbar)^{\frac{3}{2}}}}

In questo modo si porta il termine sotto il segno di integrale e la regola d'oro di Fermi è:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \Gamma (1 \to \mathbf{p} ) = \frac{2 \pi}{\hbar} \int d^3 p \, |\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}|^2 \delta (E_{\mathbf{p} - E_1 - \hbar \omega)}

In tutto il nostro ragionamento abbiamo dato per scontate due ipotesi: la prima è che, quando l'atomo viene colpito dal fotone,il nucleo non rinculi e resti fermo dov'è, approssimando la massa del nucleo molto più grande di quella dell'elettrone (cosa tra l'altro vera); l'altra ipotesi considerata è che, quando abbiamo dei fotoni con energia dell'ordine del approssimiamo che l'elettrone scatterato abbia tutta e solo l'energia del fotone incidente.

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