Radiazione monocromatica e regola d'oro di Fermi

(Creata pagina vuota)
 
Riga 1: Riga 1:
 +
Applichiamo quello che abbiamo imparato a un caso pratico. Consideriamo una perturbazione dipendente dal tempo del tipo <math>H'(t) = \mathcal{U}e^{-i \omega t} + \mathcal{U}^{\dagger} e^{i \omega t}</math>. Supponiamo sia l'hamiltoniana hermitiana e <math>\omega</math> una frequenza fissata, questa perturbazione rappresenta dunque '''una radiazione elettromagnetica monocromatica''' che perturba il nostro sistema (per esempio un fascio di fotoni su un atomo). Cosa succede all'atomo in questione? Prendiamo per esempio l'idrogeno, che conosciamo e possiamo risolvere, ci chiediamo se lo stato fondamentale si eccita o meno. I coefficienti di espansione saranno quindi:
  
 +
<math display="block">c_n(t) \approx c_n(0) + \sum_m \mathcal{U}_{mn} c_m(0) \frac{e^{i \frac{(E_n - E_m - \hbar \omega)}{\hbar} t} -1 }{E_n-E_m -\hbar \omega} + \sum_m \mathcal{U}_{mn}^{*} c_m(0) \frac{e^{i \frac{(E_n-E_m + \hbar \omega)}{\hbar}t}-1}{E_n-E_m+\hbar \omega}</math>
 +
 +
Abbiamo semplicemente risolto gli integrali che compaiono nella formula esplicitandoli. A seconda della condizione iniziale, possiamo semplificare questa espressione. Se consideriamo <math>c_1(0)=1</math>, vorrà dire che a <math>t=0</math> il nostro atomo si trova nello stato fondamentale, infatti la sua funzione d'onda è:
 +
 +
<math display="block"> \psi(t) = \sum_n c_n(t) e^{-i \frac{E_n}{\hbar}t} \psi_n \xrightarrow{t=0} c_1(0)e^{-i 0}\psi_1 = \psi_1</math>
 +
 +
Se infatti <math>c_1=0</math> tutti gli altri devono essere per forza nulli, considerato che le funzioni d'onda sono normalizzate e, di conseguenza, anche i coefficienti di espansione. Se invece ad essere non nullo è un <math>c_n</math> con <math>n\neq 1</math>, avremo:
 +
 +
<math display="block"> c_n(t) \approx \mathcal{U}_{n1} \frac{e^{i \frac{E_n-E_1-\hbar \omega}{\hbar} t} -1}{E_n-E_1 - \hbar \omega} + \mathcal{U}_{1n}^{*}\frac{e^{i \frac{E_n-E_1+\hbar \omega}{\hbar} t} -1}{E_n - E_1 + \hbar \omega}</math>
 +
 +
Dipende tutto da <math>\hbar \omega</math> e <math>E_n</math>, ovvero dall'energia fornita dalla radiazione a da quale livello eccitato stiamo guardando. Per <math>t </math> piccoli, espandendo l'esponenziale, ritroviamo un comportamento oscillante, per cui va escluso questo caso. Allora ci sono due casi validi: il primo è <math>E_n \approx E_1 + \hbar \omega</math>, che ci dice che finiamo su <math>E_n</math> alla fine del processo (è quindi un'eccitazione stimolata) partendo dallo stato fondamentale, mentre il secondo è <math> E_n \approx E_1- \hbar \omega</math>, che ci dice il contrario, ovvero finiamo sullo stato fondamentale partendo dallo stato eccitato (diseccitazione stimolata). Se consideriamo il primo caso, quello dell'assorbimento di un fotone, il tempo caratteristico sarà:
 +
 +
<math display="block"> \frac{1}{\tau} = E_n - E_1 - \hbar \omega \to \tau \sim + \infty</math>
 +
 +
Quindi <math>\tau</math> è una scala molto lunga dei tempi, e l'espansione dell'esponenziale <math>e^{i \frac{t}{\tau}} -1 \sim \frac{i t}{\tau}</math> è valida solo se consideriamo tempi <math>t \sim \tau</math> dallo stesso ordine di grandezza. Questo ci dice allora che il termine <math>\mathcal{U}_{n1}</math> cresce nel tempo fino a <math>t=\tau</math>, mentre <math>\mathcal{U}_{1n}^{*}</math>resta oscillante tutta la durata del processo e, quindi, trascurabile. I coefficienti di espansione dipendono quindi solo da <math>\mathcal{U}_{1n}</math>. La probabilità di essere finiti su uno stato eccitato ci è data ovviamente da <math>|c_n(t)|^2</math>, che sarà:
 +
 +
<math display="block">|c_n(t)|^2 = 4 |\mathcal{U}_{n1}|^2 \frac{ \sin^2 \left(\frac{E_n-E_1-\hbar \omega}{2 \hbar} t\right)}{(E_n-E_1-\hbar \omega)^2}</math>
 +
 +
Poiché vale il limite
 +
 +
<math display="block"> \frac{2 \hbar}{\pi}\frac{\sin^2 \left(\frac{\omega t}{2 \hbar} \right)}{\pi t \omega^2} \xrightarrow{t \to \infty} \delta (\omega)</math>
 +
 +
Otteniamo
 +
 +
<math display="block"> |c_n|^2 = 4 |\mathcal{U}_{n1}|^2 \frac{\pi t}{2 \hbar} \delta(E_1+\hbar \omega - E_n)</math>
 +
 +
Ovvero ''si finisce sul livello eccitato <math>E_n</math> solo se <math>\hbar \omega</math> è l'energia giusta per farci finire lì''. Si definisce '''rate''', o tasso, di probabilità di finire su un determinato stato eccitato la quantità <math>\Gamma = \frac{|c_n|^2}{t}</math>, ottenendo così quella che è nota come '''regola d'oro di Fermi''' (o anche ''Fermi's golden rule''):
 +
 +
<math display="block"> \Gamma =\frac{2 \pi}{\hbar} |\mathcal{U}_{n1}|^2 \delta (E_1+ \hbar \omega - E_n)</math>
 +
 +
Se la frequenza <math>\omega</math> è tale da ionizzare l'atomo, ovvero <math>\hbar \omega > 13.6 \text{ eV}</math> la probabilità dipenderà dal termine
 +
 +
<math display="block"> \mathcal{U}_{n1} = \left( e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \, \hat{\mathbf{z}} \psi_1 \right)</math>
 +
 +
Dove abbiamo considerato le onde piane polarizzate lungo <math>\hat{\mathbf{z}}</math>

Versione delle 11:02, 25 feb 2018

Applichiamo quello che abbiamo imparato a un caso pratico. Consideriamo una perturbazione dipendente dal tempo del tipo . Supponiamo sia l'hamiltoniana hermitiana e una frequenza fissata, questa perturbazione rappresenta dunque una radiazione elettromagnetica monocromatica che perturba il nostro sistema (per esempio un fascio di fotoni su un atomo). Cosa succede all'atomo in questione? Prendiamo per esempio l'idrogeno, che conosciamo e possiamo risolvere, ci chiediamo se lo stato fondamentale si eccita o meno. I coefficienti di espansione saranno quindi:

Abbiamo semplicemente risolto gli integrali che compaiono nella formula esplicitandoli. A seconda della condizione iniziale, possiamo semplificare questa espressione. Se consideriamo , vorrà dire che a il nostro atomo si trova nello stato fondamentale, infatti la sua funzione d'onda è:

Se infatti tutti gli altri devono essere per forza nulli, considerato che le funzioni d'onda sono normalizzate e, di conseguenza, anche i coefficienti di espansione. Se invece ad essere non nullo è un con , avremo:

Dipende tutto da e , ovvero dall'energia fornita dalla radiazione a da quale livello eccitato stiamo guardando. Per piccoli, espandendo l'esponenziale, ritroviamo un comportamento oscillante, per cui va escluso questo caso. Allora ci sono due casi validi: il primo è , che ci dice che finiamo su alla fine del processo (è quindi un'eccitazione stimolata) partendo dallo stato fondamentale, mentre il secondo è , che ci dice il contrario, ovvero finiamo sullo stato fondamentale partendo dallo stato eccitato (diseccitazione stimolata). Se consideriamo il primo caso, quello dell'assorbimento di un fotone, il tempo caratteristico sarà:

Quindi è una scala molto lunga dei tempi, e l'espansione dell'esponenziale è valida solo se consideriamo tempi dallo stesso ordine di grandezza. Questo ci dice allora che il termine cresce nel tempo fino a , mentre resta oscillante tutta la durata del processo e, quindi, trascurabile. I coefficienti di espansione dipendono quindi solo da . La probabilità di essere finiti su uno stato eccitato ci è data ovviamente da , che sarà:

Poiché vale il limite

Otteniamo

Ovvero si finisce sul livello eccitato solo se è l'energia giusta per farci finire lì. Si definisce rate, o tasso, di probabilità di finire su un determinato stato eccitato la quantità , ottenendo così quella che è nota come regola d'oro di Fermi (o anche Fermi's golden rule):

Se la frequenza è tale da ionizzare l'atomo, ovvero la probabilità dipenderà dal termine

Dove abbiamo considerato le onde piane polarizzate lungo

 Precedente