Momento angolare totale

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<math display="block"> \alpha_-(j,m) \alpha_+(j,m-1) = \hbar^2 (j(j+1) - m^2 +m)</math>
 
<math display="block"> \alpha_-(j,m) \alpha_+(j,m-1) = \hbar^2 (j(j+1) - m^2 +m)</math>
  
Dobbiamo cercare un'altra equazione per determinarli. Partiamo da <math>(J_{pm} \boldsymbol{\Psi}^m, J_{\pm}\boldsymbol{\Psi}^m) = \boldsymbol{\Psi}^m, J_{\mp} J_{pm}\boldsymbol{\Psi}^m)</math>. A questa uguaglianza sostituiamo la stessa in cui al posto degli operatori inseriamo i loro autovalori:
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Dobbiamo cercare un'altra equazione per determinarli. Partiamo da <math>(J_{\pm} \boldsymbol{\Psi}^m, J_{\pm}\boldsymbol{\Psi}^m) = \boldsymbol{\Psi}^m, J_{\mp} J_{\pm}\boldsymbol{\Psi}^m)</math>. A questa uguaglianza sostituiamo la stessa in cui al posto degli operatori inseriamo i loro autovalori:
  
 
<math display="block"> (\alpha_{\pm}(j,m) \boldsymbol{\Psi}_j^m, \alpha_{\pm}(j,m) \boldsymbol{\Psi}_j^m ) = |\alpha_{\pm} (j,m)|^2 ( \boldsymbol{\Psi}_j^m, \boldsymbol{\Psi}_j^m)</math>
 
<math display="block"> (\alpha_{\pm}(j,m) \boldsymbol{\Psi}_j^m, \alpha_{\pm}(j,m) \boldsymbol{\Psi}_j^m ) = |\alpha_{\pm} (j,m)|^2 ( \boldsymbol{\Psi}_j^m, \boldsymbol{\Psi}_j^m)</math>
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<math display="block"> \mathbf{J}_{\pm} \boldsymbol{\Psi}_j^m = \hbar \sqrt{j(j+1) - m^2 \mp m} \boldsymbol{\Psi}_j^{m \pm 1}</math>
 
<math display="block"> \mathbf{J}_{\pm} \boldsymbol{\Psi}_j^m = \hbar \sqrt{j(j+1) - m^2 \mp m} \boldsymbol{\Psi}_j^{m \pm 1}</math>
  
Questi autovalori sono ovviamente definiti a meno di una fase (siamo sempre nel campo dei numeri complessi). Se però consideriamo che gli stati non sono altro che raggi nello spazio di Hilbert, moltiplicati per un numero tale che <math>|a|^2=11</math> questi non variano (per la regola di Born); quando appare quindi una fase, basta moltiplicarli per una fase ulteriore per tornare nel caso di prima. In parole spicciole gli autovalori degli operatori di scala so reali, stacce e ringrazia.
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Questi autovalori sono ovviamente definiti a meno di una fase (siamo sempre nel campo dei numeri complessi). Se però consideriamo che gli stati non sono altro che raggi nello spazio di Hilbert, moltiplicati per un numero tale che <math>|a|^2=1</math> questi non variano (per la regola di Born); quando appare quindi una fase, basta moltiplicarli per una fase ulteriore per tornare nel caso di prima. In parole spicciole gli autovalori degli operatori di scala so reali, stacce e ringrazia.
  
 
Questo giochetto così innocente quanto perverso ('' "Ma perché stamo a fa sta cosa?" '' è una domanda che è aleggiata nelle menti di chiunque sia passato per questi argomenti) ha in realtà degli utilizzi estremamente potenti: ricordate le armoniche sferiche e lo sbattimento assurdo per costruirle? Ecco, con gli operatori di scala quello sbattimento non è più necessario. Infatti, definiti <math>L_{\pm} = L_1 \pm i L_2</math>, vale <math>L_{\pm}Y_l^m = \hbar \sqrt{l(l+1) - m^2 \mp m} Y_l^{m \pm 1}</math>. Ricordando la definizione di <math>L_1,L_2</math> si possono ottenere gli operatori di scala e usare questi. Il consiglio è: partire dall'armonica <math>Y_l^0</math>, visto che sono noti i polinomi di Legendre, e salire e scendere con gli operatori di scala (oppure, allo stesso modo, partire dalla più alta o dalla più bassa che sono polinomi easy da scrivere come <math>\hat{x}_{\pm}^l</math> e salire o scendere con gli operatori di scala). La fase strana che compariva in tutte le armoniche sferiche, utilizzando questo metodo, ''viene fuori di per sè'' senza stare troppo tempo a pensarci su. Facciamo un esempio: consideriamo <math>Y_1^0 </math> e ricaviamo la superiore con gli operatori di scala:
 
Questo giochetto così innocente quanto perverso ('' "Ma perché stamo a fa sta cosa?" '' è una domanda che è aleggiata nelle menti di chiunque sia passato per questi argomenti) ha in realtà degli utilizzi estremamente potenti: ricordate le armoniche sferiche e lo sbattimento assurdo per costruirle? Ecco, con gli operatori di scala quello sbattimento non è più necessario. Infatti, definiti <math>L_{\pm} = L_1 \pm i L_2</math>, vale <math>L_{\pm}Y_l^m = \hbar \sqrt{l(l+1) - m^2 \mp m} Y_l^{m \pm 1}</math>. Ricordando la definizione di <math>L_1,L_2</math> si possono ottenere gli operatori di scala e usare questi. Il consiglio è: partire dall'armonica <math>Y_l^0</math>, visto che sono noti i polinomi di Legendre, e salire e scendere con gli operatori di scala (oppure, allo stesso modo, partire dalla più alta o dalla più bassa che sono polinomi easy da scrivere come <math>\hat{x}_{\pm}^l</math> e salire o scendere con gli operatori di scala). La fase strana che compariva in tutte le armoniche sferiche, utilizzando questo metodo, ''viene fuori di per sè'' senza stare troppo tempo a pensarci su. Facciamo un esempio: consideriamo <math>Y_1^0 </math> e ricaviamo la superiore con gli operatori di scala:

Versione delle 20:30, 19 feb 2018

Diversi momenti angolari

Riprendiamo il generatore , questo possiamo scriverlo anche come:

Visto che , sarà allora:

Queste due espressioni sono ovviamente equivalenti. Possiamo allora sfruttare quest'uguaglianza e sostituirla nell'operatore unitario:

Questo è un nuovo modo per esprimere la rotazione infinitesima; riprendiamo la prima regola di commutazione e riscriviamola in funzione di , semplicemente moltiplicandola per

Da questa si ricava immediatamente che : questa è proprio la regola di commutazione del momento angolare orbitale con qualsiasi operatore vettoriale, senza però usare la definizione . Questo ci dice che il tensore è legato dalla relazione a un momento angolare che genera la rotazione. Poiché non abbiamo usato la definizione di momento angolare orbitale ci sarà spazio per altri momenti angolari oltre questo: possiamo definirne uno , lo chiamiamo spin e vale , da cui . Di questo nuovo momento angolare non sappiamo ancora nulla, ma possiamo dedurre qualcosa, infatti:

Poiché sappiamo deduciamo che . L'altra unica informazione che abbiamo sullo spin è . Abbiamo quindi un elenco di commutatori che valgono per i momenti angolari:

Per avere più informazioni sullo spin occorre compiere ancora qualche passo.

Esempio (8.1)

Come si trasforma il tensore di Levi-Civita sotto rotazioni? Essendo un tensore di rango 3, occorrono 3 rotazioni in sequenza per ruotarlo:

Quindi il tensore di Levi-Civita è invariante per rotazioni. La stessa cosa vale ovviamente per la delta di Kronecker:

 
Esempio (8.2)

Vediamo che l'espressione non dipende dal sistema di riferimento. Compiamo una rotazione su questa:

Allo stesso modo ruotiamo e uguagliamo le due espressioni:

Come volevasi dimostrare.

 

Componenti del momento angolare, operatori di scala

Entriamo nel gorgo; esattamente come per il momento angolare orbitale, è lecito aspettarsi che:

Ovvero che è autostato di con autovalore e risulta ovviamente la proiezione sull'asse del momento angolare totale. Definiamo gli operatori di scala:

Posto , vediamo come possiamo esprimere , partendo dal commutatore:

Da questo si ricava facilmente che . Allora:

Questo ci dice che è autostato di con autovalore . Verificheremo che e troveremo anche gli autovalori.

Poiché , lo stato è autostato comune a entrambi e, come per il momento angolare orbitale, vale:

Solo che in questo caso è più generale di e, di conseguenza, non rappresenta le armoniche sferiche, o meglio, non rappresenta solo le armoniche sferiche. Poiché commuta anche gli operatori di scala , hanno tutti autostati comuni.

Supponiamo sia autostato comune a con autovalore e a con autovalore , sfruttando le regole generali degli spazi di Hilbert:

Da questa ricaviamo che , ovvero la scala degli stati non è illimitata. Posto e , vale:

Ricaviamo da questo che è intero. Costruiamo adesso altri due operatori:

Consideriamo l'equazione del peso massimo , che implica , varrà allo stesso modo , quindi:

Questo vale ovviamente sul peso massimo. Possiamo ripetere il procedimento sul peso minimo, considerando che , quindi:

Osserviamo che gli operatori non fanno cambiare la proiezione sul terzo asse dello stato, quindi uguagliando i due autovalori trovati troveremo una condizione sull'autovalore del momento angolare totale . Infatti ammette due soluzioni: la prima è paradossale, , ma non ha senso visto che per come l'abbiamo costruito; la seconda invece è interessante: . Riprendendo il risultato che è intero, otteniamo che è un numero intero: quindi può essere sia intero che semiintero. Si apre quindi la porta della possibilità che sia (è questo il caso dello spin teorizzato da Goudsmith e Uhlenbeck): in questo caso infatti si hanno sole due possibili proiezioni sull'asse e sono . Possono anche esserci dei casi in cui lo spin vale , come nel caso dei barioni . Abbiamo compiuto un passo importantissimo: è vero che c'è il momento angolare orbitale con i suoi autovalori interi, ma la storia permette l'esistenza di altri momenti angolari con autovalori semiinteri, aprendo la strada allo spin.

Autovalori degli operatori di scala

Essendo operatori hermitiani, valgono per i loro autostati le classiche regole di ortogonalità:

Cerchiamo adesso gli autovalori degli operatori di scala . Abbiamo anticipato che . Supponiamo che sia l'autovalore di sullo stato . Allora:

Ricordando che:

Otteniamo una prima condizione su questi autovalori:

Dobbiamo cercare un'altra equazione per determinarli. Partiamo da . A questa uguaglianza sostituiamo la stessa in cui al posto degli operatori inseriamo i loro autovalori:

Soffermiamoci a guardare il membro di destra: possiamo anche esprimerlo come:

Abbiamo ottenuto quindi due condizioni su questi autovalori:

Concludiamo quindi la nostra disperata ricerca degli autovalori degli operatori di scala:

Questi autovalori sono ovviamente definiti a meno di una fase (siamo sempre nel campo dei numeri complessi). Se però consideriamo che gli stati non sono altro che raggi nello spazio di Hilbert, moltiplicati per un numero tale che questi non variano (per la regola di Born); quando appare quindi una fase, basta moltiplicarli per una fase ulteriore per tornare nel caso di prima. In parole spicciole gli autovalori degli operatori di scala so reali, stacce e ringrazia.

Questo giochetto così innocente quanto perverso ( "Ma perché stamo a fa sta cosa?" è una domanda che è aleggiata nelle menti di chiunque sia passato per questi argomenti) ha in realtà degli utilizzi estremamente potenti: ricordate le armoniche sferiche e lo sbattimento assurdo per costruirle? Ecco, con gli operatori di scala quello sbattimento non è più necessario. Infatti, definiti , vale . Ricordando la definizione di si possono ottenere gli operatori di scala e usare questi. Il consiglio è: partire dall'armonica , visto che sono noti i polinomi di Legendre, e salire e scendere con gli operatori di scala (oppure, allo stesso modo, partire dalla più alta o dalla più bassa che sono polinomi easy da scrivere come e salire o scendere con gli operatori di scala). La fase strana che compariva in tutte le armoniche sferiche, utilizzando questo metodo, viene fuori di per sè senza stare troppo tempo a pensarci su. Facciamo un esempio: consideriamo e ricaviamo la superiore con gli operatori di scala:

A questo punto, basta osservare che :

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