Simmetrie interne

Riprendiamo l'oscillatore armonico tridimensionale, per il quale abbiamo potuto scrivere l'hamiltoniana come . Formalmente è un prodotto scalare nello spazio di Hilbert, che resta invariato sotto le simmetrie. L'hamiltoniana resta quindi inalterata ma gli stati cambiano: è da qui che nascono le degenerazioni energetiche.

Assunto che sia un operatore unitario descritto da una matrice 3x3, gli operatori si trasformeranno come:

Dove abbiamo ovviamente considerato ; questo è un chiaro esempio di simmetria interna. Gli operatori di innalzamento e abbassamento agiscono sugli stati, modificandoli come sappiamo ; il generico stato dell'oscillatore armonico è quindi:

Cosa combina questa simmetria interna agli stati del sistema? Restano o meno invariati sotto la simmetria? Applicando lo stesso ragionamento fatto per l'hamiltoniana, gli stati si trasformeranno come:

Ricordando i commutatori degli operatori, in particolare , osserviamo che tutti gli operatori commutano tra di loro, abbiamo quindi ottenuto un tensore a indici simmetrici.

Ora, se avessimo parlato di un oscillatore armonico in due dimensioni, lo stato risultante sarebbe stato una combinazione lineare di componenti linearmente indipendenti tra loro. Nel caso tridimensionale il conteggio di componenti indipendenti è diverso. La regola generale, dimostrabile ma di cui non forniremo la dimostrazione, è che, in uno spazio dimensionale un tensore di rango ha un numero di componenti linearmente indipendenti pari a:

Se , otterremo componenti linearmente indipendenti, esattamente come avevamo già riscontrato parlando dell'oscillatore armonico tridimensionale senza mettere in gioco le simmetrie. La degenerazione dipende quindi dalla dimensione del tensore con indici simmetrici e l'origine di essa è sempre la presenza di una simmetria.

Se consideriamo una trasformazione infinitesima con antihermitiano, questa è una trasformazione unitaria in quanto . Richiediamo inoltre che sia , allora avremo , quindi la matrice è a traccia nulla.

Il gruppo di trasformazioni che adesso stiamo descrivendo è , matrici speciali unitarie 3x3, ed è il gruppo di trasformazioni fondamentale per descrivere i processi regolati dalle interazioni forti, come i decadimenti di alcune particelle (che abbiamo visto nella precedente sezione) che rispettano tutte l'invarianza di isospin. Consideriamo il primo stato eccitato dell'oscillatore armonico , compiamo una di queste trasformazioni su di esso:

Vogliamo adesso dimostrare che il generatore delle simmetrie nascoste è ; consideriamo una trasformazione infinitesima, espandendo in serie l'esponenziale:

Il primo termine è uguale a quello generato dalla trasformazione effettuata con , il secondo termine non ancora, possiamo però aggiustarlo: se facciamo in modo che guardi direttamente lo stato, il risultato di quell'operazione sarà nullo. Allora possiamo sfruttare le regole di commutazione , e scrivere:

Quindi i generatori delle simmetrie interne dipendono esplicitamente da .

Scrivere matrici a traccia nulla

Abbiamo imposto che fosse una matrice a traccia nulla, vogliamo adesso trovare un modo generale per poter scrivere in modo che sia a traccia nulla; ricordiamo che la traccia di una matrice è scrivibile come . Avremo allora:

Questa è a traccia nulla evidentemente. Moltiplicata per , allora, per avere a traccia nulla basterà scrivere:

A questo punto possiamo scrivere il generatore come:

Le matrici tra parentesi sono quelle che formano il gruppo e sono anche chiamate matrici di Gell-Mann. Sono in totale 8 matrici anithermitiane a traccia nulla che descrivono i fenomeni delle interazioni forti.

 Precedente