Simmetrie interne

Riprendiamo l'oscillatore armonico tridimensionale, per il quale abbiamo potuto scrivere l'hamiltoniana come . Formalmente è un prodotto scalare nello spazio di Hilbert, che resta invariato sotto le simmetrie. L'hamiltoniana resta quindi inalterata ma gli stati cambiano: è da qui che nascono le degenerazioni energetiche.

Assunto che sia un operatore unitario descritto da una matrice 3x3, gli operatori si trasformeranno come:

Dove abbiamo ovviamente considerato ; questo è un chiaro esempio di simmetria interna. Gli operatori di innalzamento e abbassamento agiscono sugli stati, modificandoli come sappiamo ; il generico stato dell'oscillatore armonico è quindi:

Cosa combina questa simmetria interna agli stati del sistema? Restano o meno invariati sotto la simmetria? Applicando lo stesso ragionamento fatto per l'hamiltoniana, gli stati si trasformeranno come:

Ricordando i commutatori degli operatori, in particolare , osserviamo che tutti gli operatori commutano tra di loro, abbiamo quindi ottenuto un tensore a indici simmetrici.

Ora, se avessimo parlato di un oscillatore armonico in due dimensioni, lo stato risultante sarebbe stato una combinazione lineare di componenti linearmente indipendenti tra loro. Nel caso tridimensionale il conteggio di componenti indipendenti è diverso. La regola generale, dimostrabile ma di cui non forniremo la dimostrazione, è che, in uno spazio dimensionale un tensore di rango ha un numero di componenti linearmente indipendenti pari a:

Se , otterremo componenti linearmente indipendenti, esattamente come avevamo già riscontrato parlando dell'oscillatore armonico tridimensionale senza mettere in gioco le simmetrie. La degenerazione dipende quindi dalla dimensione del tensore con indici simmetrici e l'origine di essa è sempre la presenza di una simmetria.

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