Isospin

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Il neutrone è stato scoperto solo nel 1932, ultima tra le particelle elementari che appaiono in un atomo. La massa del neutrone, si vide subito, è ''quasi'' uguale a quella del protone, la differenza è davvero piccola; si pensò quindi alla possibilità che esistesse una trasformazione generica che permettesse di trasformare un neutrone in un protone e viceversa. Una trasformazione simile, che possiamo considerare una ''simmetria'', non può essere una simmetria della carica elettrica, essendo il neutrone neutro e il protone carico, e neanche quindi dell'interazione elettromagnetica, per lo stesso motivo. Tuttavia può essere una simmetria '''legata all'interazione forte''': per esserlo, l'interazione forte protone-protone, neutrone-neutrone e protone-neutrone deve essere uguale e si vide che è molto simile. Anche, l'energia dello stato fondamentale del trizio <math>\text{H}^3</math> è così vicina a quella dell'elio <math>\text{He}^3</math> che gli permette di decadere proprio nell'isotopo <math>\text{He}^3</math>.
  
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Deve esistere quindi una trasformazione del tipo:
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<math display="block"> \left( \begin{matrix} p \\ n\end{matrix} \right) \to u \left( \begin{matrix} p \\ n \end{matrix} \right)</math>
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Dove <math>u</math> è una matrice 2x2 che '''non agisce sulle coordinate spaziali''' del doppietto neutrone-protone, a cui associamo un operatore unitario nello spazio di Hilbert <math>\mathcal{U}(u)</math> che possiamo scrivere come:
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<math display="block"> \mathcal{U} = \mathbb{I} + \epsilon_i T_i</math>
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Dove <math>\epsilon_i</math> è un numero molto piccolo e <math>T_i</math> è il generatore della simmetria, per il quale valgono le regole di commutazione già note per gli altri generatori di rotazioni, ovvero <math>[T_i, T_j] = i \epsilon_{ijk} T_k</math>, senza la costante <math>\hbar</math>, in quanto non è un momento angolare. Si possono anche in questo caso definire gli operatori <math>T_{\pm} = T_1 \pm i T_2</math>, che agiscono sullo stato generico come (il pedice indica la particella: <math>p</math> per il protone, <math>n</math> per il neutrone):
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<math display="block"> \begin{align}
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&T_+ \boldsymbol{\Psi}_p = 0 \quad T_- \boldsymbol{\Psi}_p = \boldsymbol{\Psi}_n \quad T_3 \boldsymbol{\Psi}_p = \frac{1}{2} \boldsymbol{\Psi}_p \\
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&T_+ \boldsymbol{\Psi}_n = \boldsymbol{\Psi}_p \quad T_- \boldsymbol{\Psi}_n = 0 \quad T_3 \boldsymbol{\Psi}_n = - \frac{1}{2}\boldsymbol{\Psi}_n
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\end{align}
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</math>
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Si chiama <math>\mathbf{T}</math> '''isospin''' e, come abbiamo visto, permette di trasformare un neutrone in un protone e viceversa; il protone ha proiezione di isospin <math>\frac{1}{2}</math>, il neutrone <math>-\frac{1}{2}</math>. Possiamo osservare anche che ogni nucleone (protone o neutrone) ha una carica elettrica pari a <math>q = \left(\frac{1}{2} + T_3 \right) e</math>. Nel decadimento di particelle '''anche l'isospin viene conservato''': a ogni particella elementare studiata in fisica delle particelle è associato un proprio isospin. Ci sono altre caratteristiche delle particelle, come la stranezza, che però non tratteremo in questo corso.

Versione delle 20:13, 20 feb 2018

Il neutrone è stato scoperto solo nel 1932, ultima tra le particelle elementari che appaiono in un atomo. La massa del neutrone, si vide subito, è quasi uguale a quella del protone, la differenza è davvero piccola; si pensò quindi alla possibilità che esistesse una trasformazione generica che permettesse di trasformare un neutrone in un protone e viceversa. Una trasformazione simile, che possiamo considerare una simmetria, non può essere una simmetria della carica elettrica, essendo il neutrone neutro e il protone carico, e neanche quindi dell'interazione elettromagnetica, per lo stesso motivo. Tuttavia può essere una simmetria legata all'interazione forte: per esserlo, l'interazione forte protone-protone, neutrone-neutrone e protone-neutrone deve essere uguale e si vide che è molto simile. Anche, l'energia dello stato fondamentale del trizio è così vicina a quella dell'elio che gli permette di decadere proprio nell'isotopo .

Deve esistere quindi una trasformazione del tipo:

Dove è una matrice 2x2 che non agisce sulle coordinate spaziali del doppietto neutrone-protone, a cui associamo un operatore unitario nello spazio di Hilbert che possiamo scrivere come:

Dove è un numero molto piccolo e è il generatore della simmetria, per il quale valgono le regole di commutazione già note per gli altri generatori di rotazioni, ovvero , senza la costante , in quanto non è un momento angolare. Si possono anche in questo caso definire gli operatori , che agiscono sullo stato generico come (il pedice indica la particella: per il protone, per il neutrone):

Si chiama isospin e, come abbiamo visto, permette di trasformare un neutrone in un protone e viceversa; il protone ha proiezione di isospin , il neutrone . Possiamo osservare anche che ogni nucleone (protone o neutrone) ha una carica elettrica pari a . Nel decadimento di particelle anche l'isospin viene conservato: a ogni particella elementare studiata in fisica delle particelle è associato un proprio isospin. Ci sono altre caratteristiche delle particelle, come la stranezza, che però non tratteremo in questo corso.

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