Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein

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Consideriamo un gas di particelle identiche, vogliamo calcolare la probabilità di avere <math>N</math> particelle nel livello di energia <math>E</math>; l'energia totale del sistema sarà <math>E = \sum_n E_n N_n = E_1 N_1 + E_2 N_2 + \cdots</math>, dalla meccanica statistica la probabilità sarà:
  
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<math display="block"> p( \{N_1, N_2, \cdots \}) = \exp \left( - \frac{E}{k_B T} + \frac{\mu N}{k_B T} \right) = \exp \left( \sum_n -\frac{ (E - \mu) N_n}{k_B T} \right) = \prod_n \exp \left(-N_n \frac{ E_n - \mu}{k_B T} \right)</math>
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Dove <math>\mu</math> è il potenziale chimico del sistema. Il numero di particelle medio per livello energetico è la media termodinamica:
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<math display="block"> \overline{N}_n = <N_n> = \frac{\sum_n N_n \exp \left(N_n \frac{E_n - \mu}{k_B T} \right)}{\sum_n \exp \left( N_n \frac{E_n - \mu}{k_B T} \right)}</math>
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Per i fermioni la somma sarà solo su <math>n=0,1</math> per via del principio di Pauli, che limita il numero di fermioni con gli stessi numeri quantici in un livello a 1; per i bosoni sarà invece fino al numero totale di particelle, che possiamo prendere così grande da considerare infinito, in questo caso:
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<math display="block"> \frac{\sum_{n=0}^{\infty} N_n \exp \left(N_n \frac{E_n - \mu}{k_B T} \right)}{\sum_{n=0}^{\infty} \exp \left( N_n \frac{E_n - \mu}{k_B T} \right)} = - \frac{\partial}{\partial \delta} \left( \ln \sum_{n=0}^{\infty} e^{- \delta N_n} \right) = \frac{\partial}{\partial \delta} \ln (e^{-\delta} -1) = - \frac{e^{-\delta}}{e^{-\delta}-1} = - \frac{1}{e^{-\delta} - 1}</math>
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Otteniamo quindi le due famose distribuzioni, quella di '''Fermi-Dirac''' per i fermioni e quella di '''Bose-Einstein''' per i bosoni:
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<math display="block"> \overline{N}_n = \left\{\begin{align}
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&\frac{1}{e^{\beta (E_n - \mu)} -1} \quad \text{Bosoni}\\
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&\frac{1}{e^{\beta (E_n - \mu)} +1 } \quad \text{Fermioni}
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\end{align} \right.
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</math>
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Queste distribuzioni spiegano anche lo spettro del corpo nero, in particolare la formula di Plack: il termine da lui aggiunto corrisponde alla ''distribuzione di Bose-Einstein'' per i fotoni (che sono per l'appunto fotoni) che hanno energia <math>E=h \nu</math> e potenziale chimico nullo <math>\mu=0</math>.

Versione delle 19:52, 20 feb 2018

Consideriamo un gas di particelle identiche, vogliamo calcolare la probabilità di avere particelle nel livello di energia ; l'energia totale del sistema sarà , dalla meccanica statistica la probabilità sarà:

Dove è il potenziale chimico del sistema. Il numero di particelle medio per livello energetico è la media termodinamica:

Per i fermioni la somma sarà solo su per via del principio di Pauli, che limita il numero di fermioni con gli stessi numeri quantici in un livello a 1; per i bosoni sarà invece fino al numero totale di particelle, che possiamo prendere così grande da considerare infinito, in questo caso:

Otteniamo quindi le due famose distribuzioni, quella di Fermi-Dirac per i fermioni e quella di Bose-Einstein per i bosoni:

Queste distribuzioni spiegano anche lo spettro del corpo nero, in particolare la formula di Plack: il termine da lui aggiunto corrisponde alla distribuzione di Bose-Einstein per i fotoni (che sono per l'appunto fotoni) che hanno energia e potenziale chimico nullo .

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