Buche di potenziale

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<math display="block">\xi = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi - \arcsin (2 \gamma \xi)</math>
 
<math display="block">\xi = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi - \arcsin (2 \gamma \xi)</math>
  
Bel problema quell'arcoseno; lo risolviamo calcolando il coseno di <math>xi</math>, applicando il coseno della somma:
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Bel problema quell'arcoseno; lo risolviamo calcolando il coseno di <math>\xi</math>, applicando il coseno della somma:
  
 
<math display="block"> \cos(\xi ) = \cos \left[ \left( n+ \frac{1}{2} \right) \pi - \arcsin(2 \gamma \xi) \right]= \cos \left( \left(n+ \frac{1}{2} \right) \pi \right) \cos ( \arcsin(2 \gamma \xi)) + \sin \left( \left( n+ \frac{1}{2} \right) \pi \right) 2 \gamma \xi</math>
 
<math display="block"> \cos(\xi ) = \cos \left[ \left( n+ \frac{1}{2} \right) \pi - \arcsin(2 \gamma \xi) \right]= \cos \left( \left(n+ \frac{1}{2} \right) \pi \right) \cos ( \arcsin(2 \gamma \xi)) + \sin \left( \left( n+ \frac{1}{2} \right) \pi \right) 2 \gamma \xi</math>
  
Otteniamo semplicemente <math> \cos(\xi) = \pm 2 \gamma \xi</math>. Il caso con <math>n</math> pari si risolve allo stesso modo, ottenendo <math>\sin ( xi )  = \pm 2 \gamma \xi</math>. Osserviamo che <math>\frac{\cos(\xi)}{\xi } = \pm 2 \gamma</math> e questo può essere molto grande, se <math>V_0</math> è piccolo. In questo caso anche <math>\xi</math> sarà piccolo (ricordiamo che l'energia si trova sotto il picco massimo del potenziale) e avremo quindi una buca poco profonda: possiamo studiarla sviluppando in serie.
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Otteniamo semplicemente <math> \cos(\xi) = \pm 2 \gamma \xi</math>. Il caso con <math>n</math> pari si risolve allo stesso modo, ottenendo <math>\sin ( \xi )  = \pm 2 \gamma \xi</math>. Osserviamo che <math>\frac{\cos(\xi)}{\xi } = \pm 2 \gamma</math> e questo può essere molto grande, se <math>V_0</math> è piccolo. In questo caso anche <math>\xi</math> sarà piccolo (ricordiamo che l'energia si trova sotto il picco massimo del potenziale) e avremo quindi una buca poco profonda: possiamo studiarla sviluppando in serie.
  
 
<math display="block"> \cos (\xi) = \pm 2 \gamma\xi \to 1 - \frac{\xi^2}{2} = 2 \gamma \xi</math>
 
<math display="block"> \cos (\xi) = \pm 2 \gamma\xi \to 1 - \frac{\xi^2}{2} = 2 \gamma \xi</math>
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"''This is getting out of hand. Now there are two of them!''" - Nute Gunray, Star Wars Episode 1 - The Phantom Menace
 
"''This is getting out of hand. Now there are two of them!''" - Nute Gunray, Star Wars Episode 1 - The Phantom Menace
 
[[File:Figura4.6bisMQWIT.svg|miniatura|Fig. 4.2.4: doppia buca di potenziale.|361x361px]]
 
[[File:Figura4.6bisMQWIT.svg|miniatura|Fig. 4.2.4: doppia buca di potenziale.|361x361px]]
Al di là dei timori della Repubblica sul propagarsi dei Sith, la doppia buca di potenziale è spesso presente nella teoria delle interazioni fondamentali, di solito però presentata sotto una forma coperta, ovvero tramite la ''densità di potenziale'' <math>\mathcal{V}(x)</math>, definita come <math>V(x) = \int d^3 x \mathcal{V}(x)</math>. Spesso, le doppie buche sono associate al fenomeno della '''rottura spontanea della simmetria''' (SSB, spontaneous symmetry breaking); un esempio sono i ferromagneti, all'interno dei quali gli elettroni possono assumere due valori dello spin: il sistema si sposta dal massimo locale (simmetrico rispetto ai due minimi delle buche) in uno dei due minimi, restandoci indefinitamente (questo è un chiaro esempio della SSB).
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Al di là dei timori della Repubblica sul propagarsi dei Sith, la doppia buca di potenziale è spesso presente nella teoria delle interazioni fondamentali, di solito però presentata sotto una forma coperta, ovvero tramite la ''densità di potenziale'' <math>\mathcal{V}(x)</math>, definita come <math>V(x) = \int d^3 x \mathcal{V}(x)</math>. Spesso, le doppie buche sono associate al fenomeno della '''rottura spontanea della simmetria''' (SSB, spontaneous symmetry breaking); un esempio sono i ferromagneti, all'interno dei quali gli elettroni possono assumere due valori dello spin: il sistema si sposta dal massimo locale (simmetrico rispetto ai due minimi delle buche) in uno dei due minimi, restandoci indefinitamente (questo è un chiaro esempio di SSB).
  
 
Nella teoria delle interazioni fondamentali si esclude l'effetto tunnel perché si considera l'energia nel massimo locale ''molto'' maggiore di quella dei minimi: la barriera si presenta come se fosse infinita e quindi l'effetto tunnel svanisce. Noi non faremo così ''ma'' consideriamo il massimo a un'altezza finita, così che ci possa essere effetto tunnel, come nel caso della figura 4.2.4.  
 
Nella teoria delle interazioni fondamentali si esclude l'effetto tunnel perché si considera l'energia nel massimo locale ''molto'' maggiore di quella dei minimi: la barriera si presenta come se fosse infinita e quindi l'effetto tunnel svanisce. Noi non faremo così ''ma'' consideriamo il massimo a un'altezza finita, così che ci possa essere effetto tunnel, come nel caso della figura 4.2.4.  

Versione delle 15:26, 25 gen 2020

I problemi unidimensionali più semplici sono le buche di potenziale. Abbiamo già incontrato nel capitolo precedente, parlando del decadimento alpha, una buca di potenziale per poter modellizzare l'interazione forte. Ce ne sono diversi tipi e qui facciamo un po' di zoologia a riguardo.

Buca infinita

Fig. 4.2.1: buca di potenziale infinita.

Consideriamo il potenziale in figura 4.2.1: una classica buca di potenziale infinita, le cui pareti non sono in alcun modo oltrepassabili. Le regioni I e III sono classicamente proibite e, proprio perché la buca è infinita, la funzione d'onda in queste regioni può essere approssimata come nulla. Osserviamo anche che nella regione II il potenziale è nullo, per cui l'equazione di Schrödinger è , posto . La soluzione è quindi .

Abbiamo quindi due soluzioni, due diverse onde piane, che descrivono lo stesso sistema nella stessa regione alla stessa energia. Per quanto abbiamo detto nella precedente sezione, questo caso non può avvenire, quindi non possiamo accettare che ci siano due soluzioni indipendenti tra loro: dobbiamo procedere a vincolare le fasi, ponendo:

Ponendo le condizioni al contorno , ricaviamo che e ; ricordando la definizione di ricaviamo così i livelli energetici per la buca infinita:

I livelli energetici dipendono quindi anche dalla larghezza della buca; questo può facilmente essere capito applicando rozzamente il principio di indeterminazione: possiamo porre , da cui e l'energia , come abbiamo trovato.

Ora non ci resta che normalizzare la funzione d'onda per la regola di Born:

Da questa otteniamo che , quindi abbiamo trovato le funzioni d'onda associate ai diversi livelli energetici per la buca infinita:

Osserviamo che c'è uno stato fondamentale; questa è una caratteristica di tutte le buche di potenziale unidimensionali: per poco che possono essere profonde, esse avranno sempre uno stato fondamentale. Osserviamo che gli stati eccitati del sistema presentano dei nodi in cui la funzione è nulla: di conseguenza sarà nulla la probabilità di trovare la particella in questi nodi.

Buca finita

Fig. 4.2.2: buca di potenziale finita.

Per quanto semplice possa sembrare la buca infinita, le cose si complicano notevolmente quando studiamo la buca finita, rappresentata in figura 4.2.2: in questo caso non ci basta la continuità della funzione d'onda ai bordi ma, per via della corrente di probabilità, dovremo imporre che anche le derivate prime siano continue. Le funzioni associate a ogni regione sono:

Detto questo basta quindi imporre che sia continua:

Questo si traduce in:

Essendo la cotangente una funzione periodica, nulla vieta di aggiungere a un fattore : iniziamo ad avere a che fare con dei numeri interi che ovviamente ci porteranno alla quantizzazione dei livelli energetici.

Posto risolviamo ponendo , ovvero

Otteniamo l'uguaglianza con ; da queste otteniamo la soluzione:

A questo punto sottraiamo la prima espressione alla seconda, ottenendo:

Poniamo e distinguiamo due casi: pari o dispari. Se è dispari, troviamo

Bel problema quell'arcoseno; lo risolviamo calcolando il coseno di , applicando il coseno della somma:

Otteniamo semplicemente . Il caso con pari si risolve allo stesso modo, ottenendo . Osserviamo che e questo può essere molto grande, se è piccolo. In questo caso anche sarà piccolo (ricordiamo che l'energia si trova sotto il picco massimo del potenziale) e avremo quindi una buca poco profonda: possiamo studiarla sviluppando in serie.

Da questa ricaviamo , esplicitando troviamo il livello fondamentale:

Come avevamo detto per la buca infinita, per quanto poco profonda possa essere una buca unidimensionale, ammetterà sempre un livello fondamentale.

Buca infinita simmetrica

Fig. 4.2.3: buca di potenziale infinita simmetrica.

Consideriamo il potenziale in figura 4.2.3: una buca infinita, solo che stavolta è simmetrica rispetto l'origine. Sostanzialmente non cambia nulla rispetto alla buca infinita normale (abbiamo solo traslato gli assi), solo che la simmetria presente ci farà comodo. Abbiamo infatti , quindi ci aspetteremo una situazione del tipo ; ripetendo il passaggio otteniamo che , ovvero . Le soluzioni che risolvono questo problema sono del tipo:

Ovvero avremo soluzioni o pari, o dispari. Possiamo scrivere la generica soluzione come . Se non c'è degenerazione energetica, le due soluzioni saranno indipendenti tra loro e quindi otteniamo , con . Come nel caso della buca infinita dobbiamo raccordare la soluzione con quelle esterne alla regione permesse, ovvero :

Sommando e sottraendo tra loro queste due relazioni otteniamo il sistema:

Avremo quindi diversi casi: quando , la costante può essere qualsiasi cosa, basta che sia ; allo stesso modo, quando deve essere , mentre può essere qualsiasi cosa. Possiamo quindi scrivere le due soluzioni:

La prima sarà la soluzione dispari, la seconda la soluzione pari. Ovviamente i livelli energetici restano gli stessi della buca infinita studiata precedentemente.

Doppia buca di potenziale

"This is getting out of hand. Now there are two of them!" - Nute Gunray, Star Wars Episode 1 - The Phantom Menace

Fig. 4.2.4: doppia buca di potenziale.

Al di là dei timori della Repubblica sul propagarsi dei Sith, la doppia buca di potenziale è spesso presente nella teoria delle interazioni fondamentali, di solito però presentata sotto una forma coperta, ovvero tramite la densità di potenziale , definita come . Spesso, le doppie buche sono associate al fenomeno della rottura spontanea della simmetria (SSB, spontaneous symmetry breaking); un esempio sono i ferromagneti, all'interno dei quali gli elettroni possono assumere due valori dello spin: il sistema si sposta dal massimo locale (simmetrico rispetto ai due minimi delle buche) in uno dei due minimi, restandoci indefinitamente (questo è un chiaro esempio di SSB).

Nella teoria delle interazioni fondamentali si esclude l'effetto tunnel perché si considera l'energia nel massimo locale molto maggiore di quella dei minimi: la barriera si presenta come se fosse infinita e quindi l'effetto tunnel svanisce. Noi non faremo così ma consideriamo il massimo a un'altezza finita, così che ci possa essere effetto tunnel, come nel caso della figura 4.2.4.

Cosa ci aspettiamo riguardo i livelli energetici? Che ovviamente siano speculari e simmetrici: se la barriera fosse impenetrabile, i due spettri sarebbero perfettamente uguali. Purtroppo per noi non è così: la barriera è penetrabile e, come vedremo, se consideriamo un livello energetico questo si spezza in due stati . Possiamo considerare le funzioni d'onda associate alle due regioni come se fossero degeneri quando , al contrario si separano quando ; nel nostro caso poniamo il massimo nell'origine. Possiamo quindi scrivere:

Dove vale nella buca I ed è relativo al livello energetico , mentre vale nella buca II ed è sempre relativo al livello . Stiamo considerando una sovrapposizione delle due funzioni d'onda perché la barriera è penetrabile: se non lo fosse, il moto nelle due buche resterebbe limitato solo nella buca in cui si trova il sistema, ma nel nostro caso c'è possibilità che avvenga l'effetto tunnel e quindi una piccola parte della vita del sistema si svolge inevitabilmente nell'altra buca. Poiché il potenziale è simmetrico, come abbiamo visto per la buca infinita simmetrica avremo soluzioni pari e dispari, e infatti è pari e simmetrica, mentre è dispari e antisimmetrica. Avremo anche casi diversi nelle due buche:

La distinzione tra i livelli che si vengono a creare sta tutta in quale dei due è maggiore dell'altro. La cosa certa è che in entrambe le buche la funzione , in modulo, è una quantità molto piccola.

La sovrapposizione di e è coerente con l'equazione di Schrödinger e col potenziale simmetrico, ma ancora non abbiamo stabilito che si vengono a creare due livelli energetici distinti. Questo è anche dovuto al fatto che, per problemi unidimensionali, non c'è la degenerazione energetica, e quindi non possono coesistere due funzioni d'onda indipendenti tra loro allo stesso livello d'energia.

Supponendo che sia , applichiamo l'equazione di Schrödinger alla buca I:

Dove nel secondo passaggio abbiamo moltiplicato la prima per e la seconda per . Adesso sottraiamo la prima alla seconda e troviamo esattamente il gap energetico :

Integriamo adesso in tutto lo spazio. Il membro a destra si compone di due elementi:

All'infinito, per la condizione di Schrösdinger, tutte le funzioni d'onda sono nulle; otteniamo quindi:

Ma , quindi ; il membro a destra, infine, è . Il membro a sinistra invece:

Questo perché, come abbiamo già detto, è trascurabile in ognuna delle buche. In sintesi abbiamo trovato il gap energetico:

Per simmetria, avremo che

Quindi, non appena il massimo da infinito diventa un numero finito, il livello energetico si sdoppia nelle due buche in due livelli energetici distinti, poiché le particelle che si trovavano in una buca hanno possibilità non nulla di passare nell'altra buca per effetto tunnel.

Poiché si trova in una regione classicamente proibita, questa avrà forma:

Con . Si può inoltre calcolare che .

Buca di potenziale infinita tridimensionale

Accenniamo velocemente al problema in tre dimensioni; il potenziale ha sempre la stessa forma:

L'equazione di Schrödinger in tre dimensioni è un'equazione separabile, ovvero si possono risolvere singolarmente i tre problemi lungo le tre dimensioni e poi moltiplicarle tra loro. Supposto allora che la buca sia di dimensioni avremo le seguenti soluzioni associate ai seguenti livelli energetici:

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