La catastrofe ultravioletta

== Radiazione di corpo nero in funzione della lunghezza d'onda ==
Possiamo anche riscrivere la densità di radiazione in funzione della lunghezza d'onda, posto <math>\nu = \frac{c}{\lambda}</math>; avremo quindi <math>d \nu= d \left( \frac{c}{\lambda} \right) = \frac{c}{\lambda^2} d\lambda</math>. In questo ci andrebbe un segno negativo davanti, ma se le frequenze si integrano da <math>0</math> a <math>\infty</math>, le lunghezze d'onda andrebbero integrate da <math>\infty</math> a <math>0</math>: invertendo gli estremi di integrazione questo segno scompare, ottenendo:

<math display="block"> \rho(\lambda, T) d\lambda = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{d \lambda}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}</math>

Anche questa ha un equivalente classico, nota col nome di '''formula di Rayleigh''':

<math display="block">\rho(\lambda,T) d\lambda = \frac{8 \pi kT}{\lambda^4} d\lambda</math>

La curva descritta dalla <math>\rho(\lambda,T)</math> ha un massimo assoluto, che si ha in corrispondenza della lunghezza d'onda <math>\lambda \approx 0,29 \frac{\text{ cm}}{\big[T(\text{K})\big]}</math> (a temperatura ambiente); la coda della curva va all'infinito poi come <math>\lambda^{-4}</math>. Variando la temperatura, il picco si sposta; questo non è un effetto casuale: l'energia cresce linearmente con la temperatura <math>E \sim T</math>, ma la proporzi0onalità con la lunghezza d'onda è inversa <math>E \sim \frac{1}{\lambda}</math>; mettendo assieme le due cose, otterremo che <math>\lambda \sim \frac{1}{T}</math>.