Atomo di Bohr

Esperimento di Rutherford

Ernest Rutherford riprese un esperimento già effettuato da Geiger e Marsden, i quali sparavano delle particelle , che poi si scopriranno essere null'altro che nuclei di elio, su una sottilissima lamina d'oro; queste particelle attraversavano la lamina per poi colpire uno schermo di fluoruro di zinco, su cui poteva essere tracciato il passaggio della particella.

L'esperimento si proponeva di ricostruire le figure di scattering (diffusione) delle particelle; usando la meccanica classica per prevedere gli angoli di scattering, i dati sperimentali erano abbastanza in accordo con le previsioni teoriche.

Tuttavia, Geiger e Marsden osservavano solo la diffusione oltre la lamina d'oro, per angoli piccoli; Rutherford provò a studiare anche diffusioni a grandi angoli, il che poteva sembrare benissimo inutile: secondo la meccanica classica e la teoria atomica che allora era accettata dalla comunità scientifica (ipotesi dell'atomo di Thomson), infatti, le particelle avevano una massa molto maggiore degli elettroni (circa 7300 volte maggiore) che avrebbero incontrato lungo il loro cammino, quindi non si sarebbero potute vedere diffusioni a grandi angoli. Così non fu, ci furono alcune particelle che vennero addirittura respinte totalmente dalla lamina d'oro.

Questi risultati, che erano completamente senza senso per quanto si sapeva all'epoca della natura atomica, spinsero Rutherford a riformulare l'ipotesi dell'atomo, proponendo, invece del modello a panettone di Thomson, un modello planetario, in cui gli elettroni ruotavano attorno a un nucleo, molto denso e carico positivamente, che si trovava al centro dell'atomo; le particelle venivano respinte quando urtavano questi nuclei molto pesanti (all'epoca neanche si sapeva quanto potessero pesare i nuclei di oro). Sfruttando queste poche ipotesi e le leggi della meccanica classica si poteva anche ricavare il raggio di urto tra le particelle e i nuclei:

Dove è un intero che indica il numero di cariche positive presenti nel nucleo (numero atomic0). Un raggio di ordine era troppo piccolo anche per le scale atomiche. Inoltre, nell'ipotesi di Rutherford, non aveva senso che tutta la carica positiva fosse concentrata in un raggio piccolissimo: l'interazione coulombiana avrebbe dovuto allontanare le cariche positive con una forza pazzesca. Tuttavia, di questi problemi non se ne preoccuparono molto all'epoca, perché intervenne Niels Bohr, allievo di Rutherford, proponendo un modello atomico che diede origine alla meccanica quantistica.

L'atomo di Bohr

Dal modello di Rutherford possiamo immaginare che gli elettroni girino attorno al nucleo, tuttavia non sappiamo null'altro: con che frequenza lo fanno, in che modo, ecc. Il potenziale di Coulomb, che attrae gli elettroni al nucleo, non permette tuttavia orbite chiuse, ma il modello di Rutherford si basava proprio su questa ipotesi fondamentale. Questo andava a cozzare totalmente con l'elettrodinamica classica, secondo cui una particella accelerata avrebbe dovuto irraggiare, per poi collassare sul nucleo. Ciò evidentemente non accadeva, e la prima prova di questo era che le persone e le cose esistevano, quindi esistevano atomi stabili.

Bohr risponde a questi dubbi in una maniera bellissima: affermò che il moto degli elettroni è diverso da qualsiasi altro moto naturale, e che il momento degli elettroni è quantizzato. Senza perché, un semplice postulato posto, come potrebbe sembrare, a caso, che tuttavia ha delle conseguenze fondamentali. La quantizzazione del momento di Bohr è in termini di :

La costante fu ricavata successivamente al postulato, vedremo a breve come. L'idea di Bohr è che gli atomi avessero dei livelli discreti di energia, con i fotoni di frequenza che si trovavano in questi livelli con energia . Si chiamano quindi stati energetici dell'atomo. Questa idea comporta che non esistano energie più basse della minima energia possibile, ovvero che lo spettro energetico, oltre a essere discreto, fosse anche limitato: insomma, in pochi anni tutte le convinzioni della fisica classica caddero una ad una.

Si può passare da un livello energetico a un altro solo attraverso salti quantizzati. L'atomo, quando si trova nel livello di energia più basso, si dice che si trova allo stato fondamentale (ground state in inglese); se si trova invece in livelli energetici maggiore si dice che è eccitato. Cosa accade ad atomi eccitati? I sistemi fisici tendono a spostarsi sempre verso le energie più basse, quindi un atomo eccitato tende spontaneamente a diseccitarsi, emettendo fotoni ad energie quantizzate, per poter raggiungere lo stato fondamentale; la frequenza di questi fotoni, supposta una transizione tra lo stato e lo stato , con ovviamente interi, è pari a:

Ad ogni transizione di un livello viene emesso un fotone; per poter scendere di due livelli, verranno irraggiati due fotoni di frequenze diverse.

Tutto questo sembra una bella favola, tuttavia all'epoca si studiava moltissimo la spettroscopia atomica; tramite gli spettri atomici si notavano che alcune energie venivano assorbite degli atomi, mentre altre passavano attraverso questi totalmente ignorate. Queste idee di Bohr riuscirono a spiegare perché ciò avvenisse, e a loro volta i dati sperimentali degli studi spettroscopici confermavano il postulato di Bohr.

Caratteristiche dell'atomo di Bohr

Bohr pensava che gli elettroni compissero orbite circolari, in cui la forza centripeta fosse equilibrata dalla forza di Coulomb:

Ricordando il postulato sul momento , possiamo ricavare i raggi delle orbite degli elettroni:

Quindi la quantizzazione del momento angolare implica che le orbite siano quantizzate; per l'atomo di idrogeno, con , otteniamo un raggio orbitale pari (noto anche come raggio di Bohr) a:

Ovvero circa mezzo angstrom (ricordiamo ); confrontandolo col raggio di collisione tra le particelle e i nuclei di oro dell'esperimento di Rutherford (circa ) notiamo che il nucleo risulta essere circa 10000 volte più piccolo dell'atomo stesso, e sembrava assurda una cosa simile.

La quantizzazione del momento angolare non comporta solo la quantizzazione del raggio orbitale, ma anche la quantizzazione dei livelli energetici. L'energia dell'elettrone è data dalla sua energia cinetica più l'energia potenziale, che in questo caso è il potenziale di Coulomb:

Dove abbiamo utilizzato l'ipotesi che la forza centripeta uguagli la forza di Coulomb . Sostituendo in questa equazione il raggio orbitale quantizzato otteniamo i livelli energetici dell'atomo:

Osserviamo innanzitutto che è un'energia negativa e, al crescere di , tende a . Inoltre, sostituendo otteniamo il valore energetico dello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno, pari circa a:

Questa è a volte anche chiamata costante di Rydberg e indica l'energia che bisogna fornire a un atomo di idrogeno per ionizzarlo completamente. Dall'espressione dei livelli energetici possiamo anche ricavare la frequenza di un fotone emesso quando l'atomo passa da uno stato a :

La costante , come abbiamo già accennato, non è stata ricavata immediatamente; per poterlo fare si è fatto uso del principio di corrispondenza. Ad esempio, nel caso sia , avremo uno stato energetico con energia ancora negativa , ma sarà prossima ad essere nulla: ci troviamo quindi in uno stato in cui l'atomo è quasi slegato. Bohr propose che, più si cresce coi livelli energetici, più le orbite degli elettroni somigliano a quelle della meccanica classica, così come la frequenza. Riprendendo la dipendenza da che compare nella formula della frequenza:

Dove abbiamo considerato . Sostituendola nell'espressione della frequenza:

Possiamo tuttavia ricavare la frequenza anche come ; al raggio sostituiamo il raggio orbitale quantizzato, mentre per la velocità possiamo sfruttare la relazione del momento angolare quantizzato , da cui ricaviamo:

Confrontando queste due espressioni per la frequenza, osserviamo che differiscono per un fattore :

Ricavata così la costante, si procede a fare i calcoli teorici e le previsioni, per poi confrontarle con i dati sperimentali delle spettroscopie, ritrovando una perfetta corrispondenza.

Rate di diseccitazione

Abbiamo detto che gli atomi possono diseccitarsi naturalmente, senza stimoli esterni. Possiamo quindi studiare il rate di atomi che sono passati da un livello a un livello in un dato tempo , che indichiamo come .

Tuttavia, oltre che avvenire per via spontanea la diseccitazione può essere anche indotta. Al contrario, invece, per eccitare un atomo occorre stimolarlo fornendogli l'energia giusta per permettere la transizione. Indichiamo i rate di atomi che hanno compiuto la transizione per via indotta con per la diseccitazione indotta e per l'eccitazione.

Possiamo studiare la corrispondenza di questi rate per atomi investiti da radiazione elettromagnetica:

Dove con indichiamo il numero di atomi nello stato e il numero di atomi nello stato . Posto , sappiamo dalla meccanica statistica che vale:

Quindi possiamo scrivere il rate di atomi diseccitati per via spontanea come:

Vogliamo avere questo rate indipendente dalla temperatura; affinché ciò avvenga, deve essere ; se ciò avviene (e sperimentalmente è confermato), avremo allora:

Esempio (1.4)

Consideriamo adesso un sistema semplificato, con due soli livelli energetici, che viene esposto a radiazione. Poiché è presente una densità di radiazione , sono possibili sia emissioni spontanee che indotte. Possiamo allora scrivere un'equazione differenziale per la popolazione di atomi che si trovano nello stato 2:

Poniamo , otterremo un'espressione del tipo ; operiamo un cambio di variabile ponendo , da cui otteniamo che , in definitiva . Come condizioni iniziali poniamo che non ci siano atomi al livello 2, quindi , da cui ricaviamo che . Questo ci porta all'espressione della popolazione degli atomi nel livello energetico 2:

Da questo otteniamo che non è confrontabile con , ovvero non si può invertire la popolazione. Questo limite fenomenologico ha bloccato per anni la costruzione dei laser (i quali si basano proprio sul principio di inversione della popolazione: infatti i laser non sono altro che fasci coerenti e monocromatici di fotoni, ovvero un fascio di fotoni tutti i fase tra loro con la stessa frequenza), che richiesero più tempo per poter essere ottenuti.

 
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