Formulario generale

Forniamo infine un formulario generale del corso.

Commutatori

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align} &[\mathbf{P}, \mathbf{X}] = - i \hbar \mathbb{I} \\ &[\mathbf{X}, \mathbf{P}]= i \hbar \mathbb{I} \\ &[\mathbf{X}, H] = [ \mathbf{P], H] = [\mathbf{L], H]=[\mathbf{L}^2, H] = 0 \\ &[L_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} V_k \\ &[\mathbf{L}^2, L_i ] = 0 \\ &[L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\\ \text{trasf. di Galileo } &[\mathbf{k}, H] = -i \mathbf{p} \\ \text{trasf. di Galileo } &[k_i, P_{j,n}] = -i \delta_{ij} m_n \\ \frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, V_k] = \delta_{kj} V_j - \delta_{ki} V_i \\ \frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, J_{kl}] = \delta_{ik} J_{lj} + \delta_{jk} J_{il} - \delta_{il} J_{kj} - \delta_{lj} J_{ik} \\ &[J_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk }V_k &[S_i, V_k] = 0 \\ &[S_i, S_j] = i \hbar epsilon_{ijk} S_k \\ &[J_k, H] = [ \mathbf{J}^2, H] = 0 \\ \end{align} }

Principio di indeterminazione

Posti due osservabili qualsiasi:

Formule di Ehrenfest

Atomo di Bohr

Raggio:

Livelli energetici:

Approssimazione semiclassica

Condizione affinché sia valida:

Funzione d'onda per stati non legati:

Funzioni d'onda in zone classicamente proibite:

Buche di potenziale

Livelli energetici della buca unidimensionale:

Funzioni d'onda per la buca unidimensionale:

Separazione energetica per la doppia buca di potenziale:

Funzione d'onda sotto il massimo locale:

Oscillatore armonico

Caos unidimensionale, livelli energetici:

Funzioni d'onda:

Caso tridimensionale, operatori di innalzamento e abbassamento:

Livelli energetici:

Hamiltoniana:

Degenerazione dei livelli:

Atomo di idrogeno

Funzioni d'onda:

Matrici di Pauli

\begin{align} &\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ &\sigma_2 = \left( \begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\ &\sigma_3 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix \right) \end{align} </math>

Distribuzioni statistiche

Distribuzione di Fermi-Dirac:

Distribuzione di Bose-Einstein:

Teoria delle perturbazioni

Primo ordine:

Secondo ordine:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle &\delta_2 E_a = (\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_2 H)\boldsymbol{\Psi}_a) + \sum_{c:E_c \neq E_a} \frac{|(\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_1 H) \boldsymbol{\Psi}_c)|^2}{E_a-E_c}}

Dipendente dal tempo:

Regola d'oro di Fermi:

Regola d'oro per una perturbazione monocromatica:

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