Formulario generale

(Creata pagina vuota)
 
Riga 1: Riga 1:
 +
Forniamo infine un formulario generale del corso.
  
 +
==Commutatori==
 +
<math display="block">
 +
\begin{align}
 +
&[\mathbf{P}, \mathbf{X}] = - i \hbar \mathbb{I} \\
 +
&[\mathbf{X}, \mathbf{P}]= i \hbar \mathbb{I} \\
 +
&[\mathbf{X}, H] = [ \mathbf{P], H] = [\mathbf{L], H]=[\mathbf{L}^2, H] = 0 \\
 +
&[L_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} V_k \\
 +
&[\mathbf{L}^2, L_i ] = 0 \\
 +
&[L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\\
 +
\text{trasf. di Galileo } &[\mathbf{k}, H] = -i \mathbf{p} \\
 +
\text{trasf. di Galileo } &[k_i, P_{j,n}] = -i \delta_{ij} m_n \\
 +
\frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, V_k] = \delta_{kj} V_j - \delta_{ki} V_i \\
 +
\frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, J_{kl}] = \delta_{ik} J_{lj} + \delta_{jk} J_{il} - \delta_{il} J_{kj} - \delta_{lj} J_{ik} \\
 +
&[J_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk }V_k
 +
&[S_i, V_k] = 0 \\
 +
&[S_i, S_j] = i \hbar epsilon_{ijk} S_k \\
 +
&[J_k, H] = [ \mathbf{J}^2, H] = 0 \\
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
==Principio di indeterminazione==
 +
Posti <math>A,B</math> due osservabili qualsiasi:
 +
 +
<math display="block"> \Delta A \Delta B = \frac{1}{2} |<[A,B]>|</math>
 +
 +
==Formule di Ehrenfest==
 +
<math display="block"> \begin{align}
 +
&\frac{d}{dt} <\mathbf{X}> = \frac{<\mathbf{P}>}{m} \\
 +
&\frac{d}{dt} <\mathbf{P}> = - < \boldsymbol{\nabla} V>
 +
\end{align}</math>
 +
 +
==Atomo di Bohr==
 +
Raggio:
 +
 +
<math display="block"> r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2}</math>
 +
 +
Livelli energetici:
 +
 +
<math display="block"> E_n = - \frac{1}{2} \frac{ m^2 Z^2 e^4}{n^2 \, \hbar^2}</math>
 +
 +
==Approssimazione semiclassica==
 +
Condizione affinché sia valida:
 +
 +
<math display="block"> \frac{\hbar}{p^2} \left| \frac{dp}{dx} \right| <<1</math>
 +
 +
Funzione d'onda per stati non legati:
 +
 +
<math display="block" >\psi (x) = \frac{c_1}{\sqrt{p(x)}} e^{\frac{i}{\hbar} \int p(x) dx } + \frac{c_2}{\sqrt{p(x)}} e^{-\frac{i}{\hbar} \int p(x)dx}</math>
 +
 +
Funzioni d'onda in zone classicamente proibite:
 +
 +
<math display="block"> \psi(x) = \frac{c}{\sqrt{|p(x)|}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int p(x)dx}</math>
 +
 +
==Buche di potenziale==
 +
Livelli energetici della buca unidimensionale:
 +
 +
<math display="block"> E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}</math>
 +
 +
Funzioni d'onda per la buca unidimensionale:
 +
 +
<math display="block">\psi(x)  = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n \pi}{a} x \right)</math>
 +
 +
Separazione energetica per la doppia buca di potenziale:
 +
 +
<math display="block"> E_2 - E_1 = \frac{2 \hbar^2}{m} \psi_0(0) \psi_0^{'}(0) </math>
 +
 +
Funzione d'onda sotto il massimo locale:
 +
 +
<math display="block">\frac{c}{\sqrt{|p|}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int_0^a p(x)dx}</math>
 +
 +
==Oscillatore armonico==
 +
Caos unidimensionale, livelli energetici:
 +
 +
<math display="block"> E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) </math>
 +
 +
Funzioni d'onda:
 +
 +
<math display="block">\begin{align}
 +
&\psi_m = \left( \frac{M \omega}{\hbar \pi} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2^{\frac{m}{2}} \sqrt{m!}}e^{- \frac{M\omega}{2 \hbar}x^2} \cdot H_m \left(x \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}} \right) \\
 +
&H_m (\xi) = (-1)^m e ^{\xi^2} \, \frac{d^m}{d\xi^m} e^{- \xi^2}
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Caso tridimensionale, operatori di innalzamento e abbassamento:
 +
 +
<math display="block"> \begin{align}
 +
&a_i = \frac{1}{\sqrt{2 m \omega \hbar}} \left( -i \hbar \partial_i - i m \omega x_i \right) \\
 +
&a_i^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-i \hbar \partial_i + i m \omega x_i )
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Livelli energetici:
 +
 +
<math display="block"> E_n = \hbar \omega \left(N + \frac{3}{2} \right) \quad N = n_x +n_y +n_z</math>
 +
 +
Hamiltoniana:
 +
 +
<math display="block"> H = \hbar \omega \left(a_i^{\dagger} a_i + \frac{1}{2} \right)</math>
 +
 +
Degenerazione dei livelli:
 +
 +
<math display="block"> \mathcal{N}_N = \frac{(N+1)(N+2)}{2}</math>
 +
 +
==Atomo di idrogeno==
 +
Funzioni d'onda:
 +
 +
<math display="block">
 +
\begin{align}
 +
&\psi = R_{nl}(r) Y_l^m \\
 +
&R_{nl}(r) \propto r^l e^{-\frac{r}{n a_B}} F_{nl} \left(\frac{r}{n a_B} \right)
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
==Matrici di Pauli==
 +
\begin{align}
 +
&\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\
 +
&\sigma_2 = \left( \begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\
 +
&\sigma_3 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix \right)
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
==Distribuzioni statistiche==
 +
Distribuzione di Fermi-Dirac:
 +
 +
<math display="block"> \overline{N}_n = \frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)} +1 } </math>
 +
 +
Distribuzione di Bose-Einstein:
 +
 +
<math display="block"> \overline{N}_n = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} -1}</math>
 +
 +
==Teoria delle perturbazioni==
 +
Primo ordine:
 +
 +
<math display="block"> \begin{align}
 +
&\delta E_a = (\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta H) \boldsymbol{\Psi}_a) = <\delta H>_{\boldsymbol{\Psi}_a} \\
 +
&\delta \boldsymbol{\Psi}_a= \sum_{b \neq a} \boldsymbol{\Psi}_b \frac{(\boldsymbol{\Psi}_b, (\delta H) \boldsymbol{\Psi}_a)}{E_a-E_b}
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Secondo ordine:
 +
 +
<math display="block">
 +
&\delta_2 E_a = (\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_2 H)\boldsymbol{\Psi}_a) + \sum_{c:E_c \neq E_a} \frac{|(\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_1 H) \boldsymbol{\Psi}_c)|^2}{E_a-E_c}</math>
 +
 +
Dipendente dal tempo:
 +
 +
<math display="block"> c_m(t) = c_n(0) - \frac{i}{\hbar} \sum_n c_n(0) \int_0^t dt'  e^{i \frac{(E_m-E_n)}{\hbar} t'} H_{mn}^{'} (t')</math>
 +
 +
Regola d'oro di Fermi:
 +
 +
<math display="block"> \Gamma (1 \to n) = \frac{2 \pi}{\hbar} |\mathcal{U}_{n1} |^2 \delta (E_n - E_1 - \hbar \omega</math>
 +
 +
Regola d'oro per una perturbazione monocromatica:
 +
 +
<math display="block">\Gamma (1 \to \mathbf{p}) = \frac{V}{h^3} \int d^3 p \frac{2 \pi}{\hbar} |\mathcal{U}_{\mathbf{p}1}|^2 \delta(E_{\mathbf{p}} -E_1 - \hbar \omega)</math>

Versione delle 13:45, 25 feb 2018

Forniamo infine un formulario generale del corso.

Commutatori

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align} &[\mathbf{P}, \mathbf{X}] = - i \hbar \mathbb{I} \\ &[\mathbf{X}, \mathbf{P}]= i \hbar \mathbb{I} \\ &[\mathbf{X}, H] = [ \mathbf{P], H] = [\mathbf{L], H]=[\mathbf{L}^2, H] = 0 \\ &[L_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} V_k \\ &[\mathbf{L}^2, L_i ] = 0 \\ &[L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\\ \text{trasf. di Galileo } &[\mathbf{k}, H] = -i \mathbf{p} \\ \text{trasf. di Galileo } &[k_i, P_{j,n}] = -i \delta_{ij} m_n \\ \frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, V_k] = \delta_{kj} V_j - \delta_{ki} V_i \\ \frac{i}{\hbar} &[J_{ij}, J_{kl}] = \delta_{ik} J_{lj} + \delta_{jk} J_{il} - \delta_{il} J_{kj} - \delta_{lj} J_{ik} \\ &[J_i, V_j] = i \hbar \epsilon_{ijk }V_k &[S_i, V_k] = 0 \\ &[S_i, S_j] = i \hbar epsilon_{ijk} S_k \\ &[J_k, H] = [ \mathbf{J}^2, H] = 0 \\ \end{align} }

Principio di indeterminazione

Posti due osservabili qualsiasi:

Formule di Ehrenfest

Atomo di Bohr

Raggio:

Livelli energetici:

Approssimazione semiclassica

Condizione affinché sia valida:

Funzione d'onda per stati non legati:

Funzioni d'onda in zone classicamente proibite:

Buche di potenziale

Livelli energetici della buca unidimensionale:

Funzioni d'onda per la buca unidimensionale:

Separazione energetica per la doppia buca di potenziale:

Funzione d'onda sotto il massimo locale:

Oscillatore armonico

Caos unidimensionale, livelli energetici:

Funzioni d'onda:

Caso tridimensionale, operatori di innalzamento e abbassamento:

Livelli energetici:

Hamiltoniana:

Degenerazione dei livelli:

Atomo di idrogeno

Funzioni d'onda:

Matrici di Pauli

\begin{align} &\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ &\sigma_2 = \left( \begin{matrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{matrix}\right) \\ &\sigma_3 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix \right) \end{align} </math>

Distribuzioni statistiche

Distribuzione di Fermi-Dirac:

Distribuzione di Bose-Einstein:

Teoria delle perturbazioni

Primo ordine:

Secondo ordine:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle &\delta_2 E_a = (\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_2 H)\boldsymbol{\Psi}_a) + \sum_{c:E_c \neq E_a} \frac{|(\boldsymbol{\Psi}_a, (\delta_1 H) \boldsymbol{\Psi}_c)|^2}{E_a-E_c}}

Dipendente dal tempo:

Regola d'oro di Fermi:

Regola d'oro per una perturbazione monocromatica:

 Precedente