Teoremi di Green Stokes e della divergenza

Esercizio 11.1

Consideriamo una curva di equazione polare:

con . Se è il dominio limitato tale che

  1. si dimostri che l'area di vale:
  2. Calcolare l'area racchiusa dalla curva con .
 


Scelte le coordinate

osserviamo che la curva ha equazioni parametriche:
con .


Allora

Trasformo questo integrale doppio in un integrale di linea con il teorema di Gauss-Green. Poniamo:
Risolvo le equazioni differenziali:
allora
Sostituisco l'espressione polare della curva, tenendo conto che:
Nel caso si ha:


Esercizio 11.2

Calcolare il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie del solido

in modo diretto e con il teorema della divergenza. Il versore normale alla superficie dev'essere orientato verso l'esterno della superficie.

 


Calcolo diretto: uso direttamente la definizione di flusso: .


è un paraboloide, e ne considero l'interno (). Il paraboloide viene tagliato ad altezza e il solido complessivo assomiglia ad una scodella.


La superficie esterna di ha due parti: il paraboloide di equazione (che chiamo e ha equazioni parametriche ) e la parte di piano (che chiamo e ha equazioni parametriche ).

Il versore normale a è diretto come l'asse z, mentre quello normale a è diretto dalla parte opposta.


Parametrizzo la frontiera di :

quindi
(l'elemento d'area )
quindi

Invece, le equazioni parametriche del paraboloide sono:

e siccome bisogna scegliere il versore normale orientato in senso esterno:
Passo a coordinate polari:
Allora il flusso totale è dato dalla somma dei flussi attraverso le due parti di superfici:

Calcolo con il teorema della divergenza:

Il teorema della divergenza afferma:
Integro per strati: per definisco la sezione
cioè è un cerchio di centro l'origine e raggio .
L'integrale interno è l'area del cerchio di centro l'origine e raggio .


Esercizio 11.3

Si consideri la curva Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \gamma = \begin{sistema}2x^2+y^2-6x=0 \\ x+z=3 \end{sistema}} orientata in modo tale che la sua proiezione sul piano sia percorsa in senso antiorario. Calcolare

sia direttamente sia usando il teorema di Stokes.

 


Calcolo diretto: la curva è intersezione di due superfici:

  1. è l'equazione di un piano.

Quindi la curva è data dall'intersezione tra il cilindro e il piano ed è una curva chiusa.


Alllora per parametrizzare la curva pongo: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\frac{(x-3/2)^2}{9/4} = \cos^2 \theta \\\frac{y^2}{9/2} = \sin^2 \theta\end{sistema}}

Quindi ottengo: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x = 3/2+3/2 \cos \theta \\ y = \frac{3}{\sqrt{2}} \sin \theta \\ z=3/2-3/2 \cos \theta \end{sistema}} Sostituisco quest'espressione nell'integrale:

Calcolo con il teorema di Stokes: Invece di calcolare direttamente l'integrale del flusso, calcolo:

In questo caso la curva è , vogliamo quindi cercare una superficie il cui bordo sia la curva

Scelgo come superficie la parte di piano contenuta nel cilindro ellittico, e il suo bordo coincide con la curva in di equazione : Parametrizzo la superficie come:

allora
Per il teorema di Stokes:
Simbolicamente
e scrivendo come integrale doppio e tenendo conto che:
ottengo
con
Tenendo conto che l'area dell'ellisse è pari a ottengo:


Esercizio 11.4

Sia un campo vettoriale di classe definito in un qualsiasi insieme contenente la sfera . Dimostrare che il flusso del rotore di uscente dalla superficie della sfera unitaria è nullo.

 


Le equazioni parametriche della superficie sferica sono Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle r= \begin{sistema}x = \sin \phi \cos \theta \\ y = \sin \phi \sin \theta \\ z=\cos \phi\end{sistema}} con e .


Per il teorema di Stokes, calcolare il flusso attraverso la superficie equivale a calcolare l'integrale

Il dominio parametrico della superficie è ed è un rettangolo. Scegliamo un'orientazione antioraria.

Scrivo le espressioni delle quattro componenti della curva, e poi ne faccio l'immagine attraverso le equazioni parametriche della sfera.
Il bordo della superficie sferica è il trasformato del bordo di mediante le equazioni parametriche , quindi .


Per il teorema di Stokes

ma gli integrali su e , che sono punti, sono nulli, allora rimane:
e questi due integrali sono uguali ed opposti, allora il flusso attraverso la superficie sferica è nullo.


Esercizio 11.5

Calcolare il flusso di attraverso la frontiera del solido

 


è compreso tra i grafici di due piani: e , quindi ho una regione z-semplice.

Il solido ha come proiezione sul piano un quadrato ed è un poliedro di sei facce.


In questo caso conviene usare il teorema della divergenza.

e calcolo l'integrale al secondo membro.
Integro per fili rispetto a :
Risolvo questo integrale per sostituzione ponendo , , cioè: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x=(u+v)/2 \\ y=(u-v)/2 \end{sistema}} Allora lo jacobiano della trasformazione è:
Allora l'integrale diventa:
Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}u+v-1 \le u-v \le 1-u-v \\ -u-v \le u-v \le u+v\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}u+v-1 \le u-v \le 1-u-v \\ 1-u-v \le 1+u-v \le 1+u+v\end{sistema}}
quindi
Se considero l'equazione: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle u-v \le 1-u-v \\ 1-u-v} sottraendo a tuti i membri ottengo: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle u \le 1-u \\ 1-u}
quindi
Allora l'integrale diventa:
Integrando per parti:

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