Richiami teorici

  1. Considero una successione di funzioni : si dice che converge puntualmente a in se, per ogni fissato, la successione numerica converge puntualmente a . viene detto insieme di convergenza puntuale.
  2. Considero poi . Diremo che converge a uniformemente in se
  3. Criterio di Weierstrass: Supponiamo che esista una successione numerica tale che per e per ogni . Allora c'è convergenza uniforme di in .


Esercizio 12.1

Consideriamo la seguente successione di funzioni

con parametro reale.

  1. Discutere la convergenza puntuale.
  2. Determinare se c'è convergenza uniforme in intervalli del tipo con .
  3. Studiare la convergenza uniforme nell'intervallo .
 


Convergenza puntuale: Studiamo il limite

al variare di e :

  1. Se , per ogni .
  2. se , il limite vale 0, infatti si hanno tre sottocasi:#*se , e , ma l'esponenziale al denominatore prevale quindi il limite fa 0.#*se , e il limite tende ancora a 0.#*se si ha , quindi ottengo .
  3. Nel caso in cui , il limite vale , infatti:#*se , , , e .#*se , riscrivo il limite come
    con , ma il numeratore di ordine esponenziale prevale sul denominatore di ordine potenza.

Allora per ogni tende a definita come:

Convergenza uniforme: Vogliamo dimostrare che

Siccome , e si deve avere:

Quando la funzione non è troppo complicata, per avere informazioni sul sup è utile calcolare la derivata:

Quindi:
La funzione assume il suo massimo in , ma per , quindi nell'intervallo le sono definitivamente decrescenti e assumono il loro sup in :
quindi la convergenza è uniforme in ogni intervallo del tipo .


Convergenza uniforme in : Verifico se

il punto di massimo di è , e in questo caso rientra nell'intervallo , e allora
che tende a
quindi si ha convergenza uniforme solo se .


Esercizio 12.2

Considero la seguente successione

  1. Studiare la convergenza puntuale.
  2. Stabilire se c'è convergenza uniforme nell'intervallo .
  3. Verificare se c'è convergenza uniforme nell'intervallo .
 


Convergenza puntuale: Fisso un qualsiasi in e studio la successione numerica . Osservo che

e per il teorema del confronto tende a 0 anche per .


Invece, per , . allora converge puntualmente a definita come:

Convergenza uniforme in : Sappiamo che se esiste il limite uniforme su un intervallo, esso coincide con quello puntuale. Inoltre, il limite uniforme di funzioni continue (come le ) dev'essere continuo. In questo caso, non è continua su quindi non ci può essere convergenza uniforme su questo intervallo.


Convergenza uniforme su : Valuto la quantità

(infatti vale su ).


Siccome , allora

Posso quindi eliminare il valore assoluto e considerare

Si può applicare la seguente osservazione:

Osservazione 12.1

Supponiamo che

e che , allora segue che anche .

 


Voglio quindi trovare una funzione che abbia una derivata da calcolare più semplice di quella di : deve maggiorare per ogni e per ogni il suo sup deve tendere a 0.

Quindi, per trovare il sup di , calcolo:

Questa disuguaglianza non è mai ssoddisfatta per , allora è decrescente per e assume il suo massimo in :
e anche il sup di tende a 0, quindi converge uniformemente in .


Esercizio 12.3

Considerare la successione:

studiarne il comportamento e determinare tutti gli insiemi in cui c'è convergenza uniforme.

 


Data una successione della forma , osservo che:

  1. per la successione tende a 0
  2. per la successione è costante
  3. per la successione è oscillante.
  4. per la successione diverge a
  5. per la successione diverge e oscilla


Da questo segue che una successione di funzioni della forma converge se e solo se . Per determinare quando questo avviene, studio la funzione .

  1. Dominio: La funzione non è definita in e .
  2. zeri della funzione:
    Allora
    Per determinare dove la funzione si annulla, osservo che, per si ha:
    Invece, per
    e la funzione passa per .
  3. Segno della funzione:Se o
    La disuguaglianza è soddisfatta se .Per invece
    allora la funzione è negativa per .Riassumendo:
  4. Asintoti:
    quindi la funzione ha asintoto orizzontale per .Per c'è un asintoto verticale e i limiti tendono a .Per e il logaritmo tende a .
  5. Studio della derivata:Se , quindi .Se , e quindi se .

Per determinare quando considero i quattro casi seguenti:

  1. è verificata solo se
  2. è verificata se
  3. se e solo se
  4. è verificata se

Allora dal grafico sappiamo che se oppure o .


La convergenza uniforme può avvenire solo in sottoinsiemi dell'insieme di convergenza puntuale:

  1. Studio il caso in cui , e considero un sottoinsieme di questo intervallo.Se non c'è convergenza uniforme in , perché la funzione limite non è continua su . Invece, nel caso in cui , studio la quantità:
    Nei punti di non derivabilità la funzione vale 0.
    Il modulo elevato a è positivo, è positivo, è negativo in questo intervallo e c'è poiun termine negativo.Lo studio del segno della derivata si riduce a
    nell'intervallo considerato è una funzione monotona decrescente in e crescente in .Supponiamo che contenga . Dal grafico della monotonia segue che
    Nel caso in cui è compreso tra e si ha che in ogni caso il sup è
    Ma siccome ed entrambe le basi sono più piccole di 1 (come studiato prima), allora per le funzioni valutate in e tendono a 0, e quindi il massimo tende a 0.Quindi c'è convergenza uniforme in tutti gli intervalli del tipo , e nei loro sottoinsiemi.
  2. Considero il caso dell'intervallo .Studio la derivata:
    e la derivata è negativa per ogni . Allora la funzione è decrescente e il sup negli intervalli del tipo è uguale a
    con e anche in questo caso il sup tende a 0.
  3. il caso è analogo, anche in tutti i sottointervalli di questo intervallo c'è convergenza uniforme, ma la derivata è crescente in questo caso.


Esercizio 12.4

Considero la successione di funzioni

definite in . Discutere la validità della seguente relazione:

 


Ci si chiede se vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.


Sappiamo che la condizione sufficiente per questa relazione è che sia una successione di funzioni continue che convergono a una funzione . Questa condizione è sufficiente ma non necessaria: se non tende a uniformemente, potrebbe comunque valere il passaggio al limite.


Cerco il limite puntuale della successione. Osservo che per ogni . Allora studio la funzione solo in .


Per , per , e lo stesso vale per . Nel caso per ogni .


Riassumendo

In 0 c'è una discontinuità di terza specie.


Non ci può essere convergenza uniforme, perché ho una successione di funzioni continue che converge a una funzione discontinua, mentre il limite uniforme di funzioni continue è continuo. Verifico se vale comunque la relazione .


Valuto il primo membro:

nota: le funzioni con discontinuità di terza specie sono Riemann-integrabili, e il punto di discontinuità di terza specie non viene considerato.


Considero il secondo membro:

Per la quantità tende a 0. Quindi ho dimostrato la validità della relazione , anche se non vale la condizione sufficiente.


Esercizio 12.5

Si studino la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni

 
  1. Convergenza puntuale:
    Per , .Allora la funzione converge puntualmente alla funzione nulla.Convergenza uniforme: Verifico se
    quindi
    Valutando nel suo punto di massimo si ha:
    allora anche e la successione converge uniformememente.
  2. Convergenza puntuale: Per ,
    Studio la funzione , che non si annulla mai.Studio del segno: se
    se .
    Studio della derivata:
    La funzione è decrescente prima di 1 e crescente dopo.Concludo che:##se la successione converge puntualmente a per .##se la successione divergee quindi verifico quando sono verificate le seguenti condizioni:## se
    ##
    ## se
    ##
    Allora la funzione converge puntualmente negli intervalli: e .Convergenza uniforme:La convergenza uniforme può avvenire solo in intervalli , oppure .
    Per la derivata è sempre decrescente.Allora negli intervalli si ha che
    e questo è vero perché . Lo stesso vale negli intervalli dell'altro tipo.
  3. Convergenza puntuale:
    quindi il limite vale 1.Non si può avere convergenza uniforme sull'intervallo , perché il limite non è continuo su tale intervallo.
  4. Allora converge puntualmente a
    Convergenza uniforme: osservo che non può esserci convergenza uniforme sull'intervallo , perché il limite non è continuo. Verifico invece se c'è convergenza uniforme in intervalli del tipo :
    Divido per :
    Seno e coseno sono entrambi positivi nell'intervallo , quindi la condizione è sempre verificata e la funzione assume il suo sup nel minimo dell'intervallo :
    e siccome , il sup tende a per , e si ha convergenza uniforme in questi intervalli.
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