Richiami teorici

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#Considero poi <math>E \subset D</math>. Diremo che <math>\{ f_n \}</math>''converge'' a <math>f</math>''uniformemente'' in <math>E</math> se<math display="block">\sup_{t \in E} |f_n(t)-f(t)| \to 0 \, \iff \, n \to \infty</math>
 
#Considero poi <math>E \subset D</math>. Diremo che <math>\{ f_n \}</math>''converge'' a <math>f</math>''uniformemente'' in <math>E</math> se<math display="block">\sup_{t \in E} |f_n(t)-f(t)| \to 0 \, \iff \, n \to \infty</math>
 
#''Criterio di Weierstrass'': Supponiamo che esista una successione numerica <math>\{ a_n \}</math> tale che <math>a_n \to 0</math> per <math>n \to +\infty</math> e <math>|f_n(t)-f(t)| \le a_n</math> per ogni <math>t \in E</math>. Allora c'è convergenza uniforme di <math>\{ f_n \}</math> in <math>E</math>.
 
#''Criterio di Weierstrass'': Supponiamo che esista una successione numerica <math>\{ a_n \}</math> tale che <math>a_n \to 0</math> per <math>n \to +\infty</math> e <math>|f_n(t)-f(t)| \le a_n</math> per ogni <math>t \in E</math>. Allora c'è convergenza uniforme di <math>\{ f_n \}</math> in <math>E</math>.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=12.1|anchor=Esercizio12_1}}
 
Consideriamo la seguente successione di funzioni
 
<math display="block">f_n(t) = n^\alpha*t*e^{-nt}</math>
 
con <math>\alpha</math> parametro reale.
 
 
#Discutere la convergenza puntuale.
 
#Determinare se c'è convergenza uniforme in intervalli del tipo <math>[r,+\infty)</math> con <math>r>0</math>.
 
#Studiare la convergenza uniforme nell'intervallo <math>[0,1]</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
''Convergenza puntuale'': Studiamo il limite
 
<math display="block">\lim_{n \to \infty} \frac{t n^\alpha}{e^{nt}}</math>
 
al variare di <math>\alpha</math> e <math>t</math>:
 
 
#Se <math>t=0</math>, <math>f_n(0)=0</math> per ogni <math>\alpha</math>.
 
#se <math>t>0</math>, il limite vale 0, infatti si hanno tre sottocasi:#*se <math>\alpha>0</math>, <math>n^\alpha \to +\infty</math> e <math>e^{nt} \to \infty</math>, ma l'esponenziale al denominatore prevale quindi il limite fa 0.#*se <math>\alpha=0</math>, <math>f_n(t) = nt*e^{-nt}</math> e il limite tende ancora a 0.#*se <math>\alpha <0</math> si ha <math>n^\alpha \to 0</math>, quindi ottengo <math>\frac{0}{\infty}=0</math>.
 
#Nel caso in cui <math>t<0</math>, il limite vale <math>\infty</math>, infatti:#*se <math>\alpha>0</math>, <math>n^\alpha \to +\infty</math>, <math>e^{nt} \to 0</math>, e <math>\frac{\infty}{0}=\infty</math>.#*se <math>\alpha<0</math>, riscrivo il limite come<math display="block">\lim_{t \to \infty} \frac{t e^{-nt}}{n^{-\alpha}}</math>con <math>n^{-\alpha} \to \infty, \, t*e^{-nt} \to \infty</math>, ma il numeratore di ordine esponenziale prevale sul denominatore di ordine potenza.
 
 
Allora per ogni <math>\alpha \in \mathbb R</math><math>\{ f_n(t) \}</math> tende a <math>f(t)</math> definita come:
 
<math display="block">f(t) = \begin{cases} 0 &\hbox{se} t \ge 0 \\ -\infty &\hbox{se} t <0 \end{cases}</math>
 
 
''Convergenza uniforme'': Vogliamo dimostrare che
 
<math display="block">\sup_{t \ge r} |f_n(t)-f(t)| \to 0 \, \iff n \to +\infty</math>
 
 
Siccome <math>t>0</math>, <math>f(t)=0</math> e si deve avere:
 
<math display="block">\sup_{t \ge r} |f_n(t)| \to 0</math>
 
 
Quando la funzione non è troppo complicata, per avere informazioni sul sup è utile calcolare la derivata:
 
<math display="block">f_n'(t) = n^{\alpha}*e^{-nt}+n^{\alpha}*t*e^{-nt}*(-n) = n^\alpha*e^{-nt}*[1-nt]</math><math display="block">f_n'(t)=0 \quad \iff 1-nt=0 \, \longrightarrow \, t = 1/n</math>
 
Quindi:
 
<math display="block">f_n'(t) > 0 \iff t \in (-\infty,1/n) \quad \longrightarrow \, \hbox{funzione crescente}</math><math display="block">f_n'(t) < 0 \iff t \in (1/n,+\infty) \quad \longrightarrow \, \hbox{funzione decrescente}</math>
 
La funzione assume il suo massimo in <math>t=1/n</math>, ma per <math>n \to \infty</math>, <math>1/n < r</math> quindi nell'intervallo <math>[r,\infty)</math> le <math>f_n</math> sono definitivamente decrescenti e assumono il loro sup in <math>t=r</math>:
 
<math display="block">\sup_{t>r} |f_n(r)| = n^\alpha*r*e^{-nr} \to 0 \, \hbox{per} \, n \to +\infty \, \forall \alpha</math>
 
quindi la convergenza è uniforme in ogni intervallo del tipo <math>[0,\infty)</math>.
 
 
 
''Convergenza uniforme in <math>[0,1]</math>'': Verifico se
 
<math display="block">\sup_{t \in [0,1]} |f_n(t)| \to 0 \hbox{ per } t \in [0,1]</math>
 
il punto di massimo di <math>f_n</math> è <math>1/n</math>, e in questo caso <math>t=1/n</math> rientra nell'intervallo <math>[0,1]</math>, e allora
 
<math display="block">\sup_{t \in [0,1]} |f_n(t)| = f_n(1/n) = n^{\alpha-1}*e^{-1} = \frac{n^{\alpha-1}}{e}</math>
 
che tende a
 
<math display="block">f = \begin{cases} \infty &\iff \alpha>1 \\ 1/e&\iff \alpha=1 \\ 0&\iff \alpha<1 \end{cases}</math>
 
quindi si ha convergenza uniforme solo se <math>\alpha<1</math>.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=12.2|anchor=Esercizio12_2}}
 
Considero la seguente successione
 
<math display="block">f_n(x) = \frac{1+\sin (nx)}{1+(n^2 x^2-1)^2}.</math>
 
#Studiare la convergenza puntuale.
 
#Stabilire se c'è convergenza uniforme nell'intervallo <math>[0,1]</math>.
 
#Verificare se c'è convergenza uniforme nell'intervallo <math>(1,+\infty)</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
''Convergenza puntuale'': Fisso un qualsiasi <math>x</math> in <math>\mathbb R</math> e studio la successione numerica <math>\{ f_n(x) \}</math>. Osservo che
 
<math display="block">f_n(x) \le \frac{2}{1+(n^2 x^2-1)^2} \to 0 \iff x \neq 0, \, n \to \infty</math>
 
e per il teorema del confronto tende a 0 anche <math>\{ f_n(x) \}</math> per <math>x \neq 0</math>.
 
 
 
Invece, per <math>x=0</math>, <math>f_n(0) = \frac{1+\sin 0}{1+1} = 1/2</math>.
 
allora <math>\{ f_n(x) \}</math> converge puntualmente a <math>f</math> definita come:
 
<math display="block">f(x)=\begin{cases} 0 &\hbox{se} x \neq 0 \\ 1/2 &\hbox{se} x=0 \end{cases}</math>
 
 
''Convergenza uniforme in <math>[0,1]</math>'': Sappiamo che se esiste il limite uniforme su un intervallo, esso coincide con quello puntuale. Inoltre, il limite uniforme di funzioni continue (come le <math>f_n</math>) dev'essere continuo. In questo caso, <math>f</math> non è continua su <math>[0,1]</math> quindi non ci può essere convergenza uniforme su questo intervallo.
 
 
 
''Convergenza uniforme su <math>[1,\infty)</math>'': Valuto la quantità
 
<math display="block">\sup_{x \in [1,+\infty)} |f_n(x)-f(x)|  = \sup_{x \in [1,+\infty)} |f_n(x)|</math>
 
(infatti <math>f</math> vale <math>0</math> su <math>[1,\infty)</math>).
 
 
 
Siccome <math>-1<\sin x<1</math>, allora
 
<math display="block">f_n \ge 0 \forall x \ge 1, \forall n</math>
 
 
Posso quindi eliminare il valore assoluto e considerare
 
<math display="block">\sup_{x \in [1,+\infty)} f_n(x)</math>
 
 
Si può applicare la seguente osservazione:
 
 
{{InizioOsservazione|titolo=|number=12.1|anchor=Osservazione12_1}}
 
Supponiamo che
 
<math display="block">\sup_{x \ge 1} |f_n(x)| \le \sup_{x \ge 1} g_n(x)</math>
 
e che <math>\sup g_n(x) \to 0</math>, allora segue che anche <math>\sup |f_n(x)| \to 0</math>.
 
{{FineOsservazione}}
 
 
 
Voglio quindi trovare una funzione che abbia una derivata da calcolare più semplice di quella di <math>f_n</math>: <math>g_n</math> deve maggiorare <math>f_n</math> per ogni <math>n</math> e per ogni <math>x \in [1,\infty)</math> il suo sup deve tendere a 0.
 
<math display="block">f_n(x) \le g_n = \frac{2}{1+(n^2 x^2-1)^2} \forall x \in [1,\infty)</math>
 
 
Quindi, per trovare il sup di <math>g_n</math>, calcolo:
 
<math display="block">g_n'(x) = \frac{-8x*(n^2 x^2-1)*n^2}{[1+(n^2 x^2-1)^2]^2}</math><math display="block">g_n'(x) \ge 0</math><math display="block">-8x*(n^2 x^2-1)*n^2 \ge 0</math><math display="block">n^2 x^2-1 \le 0</math><math display="block">x^2 \le 1/n^2</math>
 
Questa disuguaglianza non è mai ssoddisfatta per <math>x \ge 1</math>, allora <math>g_n</math> è decrescente per <math>x \ge 1</math> e assume il suo massimo in <math>x=1</math>:
 
<math display="block">\sup_{x \in [1,\infty)} |g_n(x)| = g_n(1) = \frac{2}{1+(n-1)^2} \to 0 \hbox{ per } n \to +\infty</math>
 
e anche il sup di <math>f_n</math> tende a 0, quindi <math>\{ f_n \}</math> converge uniformemente in <math>[1,\infty]</math>.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=12.3|anchor=Esercizio12_3}}
 
Considerare la successione:
 
<math display="block">f_n(x) = [\log (|1+1/x|)]^n = [g(x)]^n</math>
 
studiarne il comportamento e determinare tutti gli insiemi in cui c'è convergenza uniforme.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Data una successione della forma <math>a_n =a^n</math>, osservo che:
 
 
#per <math>-1<a<1</math> la successione tende a 0
 
#per <math>a=1</math> la successione è costante
 
#per <math>a=-1</math> la successione è oscillante.
 
#per <math>a>1</math> la successione diverge a <math>+\infty</math>
 
#per <math>a<1</math> la successione diverge e oscilla
 
 
 
Da questo segue che una successione di funzioni della forma <math>f_n(x) = (g(x))^n</math> converge se e solo se <math>-1<g(x)<1</math>. Per determinare quando questo avviene, studio la funzione <math>g(x) = \log |1+1/x|</math>.
 
 
#''Dominio'': La funzione non è definita in <math>x=0</math> e <math>x=-1</math>.
 
#''zeri della funzione'':<math display="block">\log |1+1/x| \ge 0 \, \iff \, |1+1/x| \ge 1</math><math display="block">1+1/x \ge 0 \, \iff \, x \ge 0 \vee x < -1</math>Allora<math display="block">g(x) = \begin{cases} \log (1+1/x) &\hbox{se} x \ge 0 \vee x<-1 \\ \log (-1-1/x) &\hbox{se} -1<x<0 \end{cases}</math>Per determinare dove la funzione si annulla, osservo che, per <math>x \in (-\infty,-1) \cup (0,\infty)</math> si ha:<math display="block">1+1/x =1, \, \longrightarrow \, 1/x =0 \quad \hbox{e non ha soluzioni}</math>Invece, per <math>-1<x<0</math><math display="block">-1-1/x =1 \, \longrightarrow \, x = -1/2</math>e la funzione passa per <math>(-1/2,0)</math>.
 
#''Segno della funzione'':Se <math>x<-1</math> o <math>x>0</math><math display="block">\log (1+1/x) \ge 0 \, \longrightarrow \, 1+1/x \ge 1 \, \longrightarrow \, 1/x \ge 0</math>La disuguaglianza è soddisfatta se <math>x>0</math>.Per <math>-1<x<0</math> invece<math display="block">\log (-1-1/x) \ge 0 \, \iff \, -1-1/x \ge 1 \, \longrightarrow \, x>-1/2</math>allora la funzione è negativa per <math>-1<x<-1/2</math>.Riassumendo:<math display="block">f(x)=\begin{cases}\hbox{positiva per} & -1/2<x<0 \vee x>0 \\\hbox{negativa per} & x<-1 \vee -1<x<-1/2 \end{cases}</math>
 
#''Asintoti'':<math display="block">\lim_{x \to \pm \infty} \log |1+1/x| =0</math>quindi la funzione ha asintoto orizzontale <math>y=0</math> per <math>x \to \pm \infty</math>.Per <math>x \to -1</math> c'è un asintoto verticale e i limiti tendono a <math>-\infty</math>.Per <math>x \to 0-</math> e <math>x \to 0+</math> il logaritmo tende a <math>+\infty</math>.
 
#''Studio della derivata'':Se <math>x<-1 \vee x>0</math>, <math>g'(x)= \frac{1}{1+1/x}*(-1/x^2)</math> quindi <math>g'(x)<0 \forall x<-1 \vee x>0</math>.Se <math>-1<x<0</math>, <math>g'(x) = \frac{1}{1+1/x}*1/x^2</math> e quindi <math>g'(x)>0</math> se <math>-1<x<0</math>.
 
 
Per determinare quando <math>-1<g(x)<1</math> considero i quattro casi seguenti:
 
 
#<math>\log (1+1/x)=1</math> è verificata solo se<math display="block">1+1/x =e</math><math display="block">1/x = e-1</math><math display="block">x = \frac{1}{e-1}</math><math display="block">p_1(\frac{1}{e-1},1)</math>
 
#<math>\log (-1-1/x) = 1</math> è verificata se<math display="block">-1-1/x = e</math><math display="block">x = \frac{-1}{1+e}</math><math display="block">P_2 (\frac{-1}{1+e},1)</math>
 
#<math>\log (1+1/x) = -1</math> se e solo se<math display="block">1+1/x = 1/e</math><math display="block">1/x = (1-e)/e</math><math display="block">x = \frac{e}{1-e} = \frac{-e}{e-1}</math><math display="block">P_3(-\frac{e}{e-1},-1)</math>
 
#<math>\log (-1-1/x) = -1</math> è verificata se<math display="block">-1-1/x = 1/e</math><math display="block">1/x = -1+1/e = -(e+1)/e</math><math display="block">x = -e/(e+1)</math><math display="block">P_4(\frac{-e}{e+1},-1)</math>
 
 
Allora dal grafico sappiamo che <math>-1<g(x)<1</math> se <math>x<\frac{-e}{e-1}</math> oppure <math>\frac{-e}{e+1}<x<\frac{-1}{e+1}</math> o <math>x>\frac{1}{e-1}</math>.
 
 
 
La ''convergenza uniforme'' può avvenire solo in sottoinsiemi dell'insieme di convergenza puntuale:
 
 
#Studio il caso in cui <math>-e/(1+e) \le x \le -1/(1+e)</math>, e considero un sottoinsieme <math>[a,b]</math> di questo intervallo.Se <math>b=-1/(1+e)</math> non c'è convergenza uniforme in <math>[a,b]</math>, perché la funzione limite non è continua su <math>[a,b]</math>. Invece, nel caso in cui <math>b<-1/(1+e)</math>, studio la quantità:<math display="block">\sup_{x \in [a,b]} |(\log |1+1/x|)^n|</math>Nei punti di non derivabilità la funzione vale 0.<math display="block">|(\log |1+1/x|)^n| = |\log |1+1/x||^n</math><math display="block">f' = n*(|\log |1+1/x||)^{n-1}*\frac{\log |1+1/x|}{|\log |1+1/x||}*|1/(1+x)|*\frac{1+1/x}{|1+1/x|}*(-1/x^2)</math>Il modulo elevato a <math>n-1</math> è positivo, <math>\frac1{|1+1/x|}</math> è positivo, <math>\mathrm{sgn} \frac{1}{1+1/x}</math> è negativo in questo intervallo e c'è poiun termine negativo.Lo studio del segno della derivata si riduce a<math display="block">\mathrm{sgn} [\log |1+1/x|] = \begin{cases} +1 &\hbox{per} -1/2<x<0 \\ -1 &\hbox{per} -1<x<-1/2 \end{cases}</math><math>|f_n|</math> nell'intervallo considerato è una funzione monotona decrescente in <math>(-a,-1/2)</math> e crescente in <math>(-1/2,b]</math>.Supponiamo che <math>[a,b]</math> contenga <math>x=-1/2</math>. Dal grafico della monotonia segue che<math display="block">\sup_{x \in [a,b]} |f_n(x)| = \max( |f_n(a)|, |f_n(b)|)</math>Nel caso in cui <math>[a,b]</math> è compreso tra <math>-e/(1+e)</math> e <math>-1/(e+1)</math> si ha che in ogni caso il sup è<math display="block">=\max \{ \log (-1-1/a)^n, \log (-1-1/b)^n \}</math>Ma siccome <math>[a,b] \subset (-e/(1+e),-1/(e+1))</math> ed entrambe le basi sono più piccole di 1 (come studiato prima), allora per <math>n \to +\infty</math> le funzioni valutate in <math>a</math> e <math>b</math> tendono a 0, e quindi il massimo tende a 0.Quindi c'è convergenza uniforme in tutti gli intervalli del tipo <math>[a,b] \subset (-e/(1+e), -1/(1+e))</math>, e nei loro sottoinsiemi.
 
#Considero il caso dell'intervallo <math>x>1/(e-1)</math>.Studio la derivata:<math display="block">f_n'(x) = n*[\log (1+1/x)]^{n-1}*\frac{1}{1+1/x}*(-1/x^2)</math>e la derivata è negativa per ogni <math>x>-1</math>. Allora la funzione è decrescente e il sup negli intervalli del tipo <math>(a,+\infty)</math> è uguale a<math display="block">f_n(a) = (\log (1+1/a))^n</math>con <math>a>1/(e-1)</math> e anche in questo caso il sup tende a 0.
 
#il caso <math>(-\infty, -e/(e-1))</math> è analogo, anche in tutti i sottointervalli di questo intervallo c'è convergenza uniforme, ma la derivata è crescente in questo caso.
 
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=12.4|anchor=Esercizio12_4}}
 
Considero la successione di funzioni
 
<math display="block">f_n(x) = e^{-n|x|}</math>
 
definite in <math>[-1,1]</math>. Discutere la validità della seguente relazione:
 
<math display="block">\int_{-1}^1 [\lim_{n \to +\infty} f_n(x) \, dx] =\lim_{n \to +\infty} [\int_{-1}^1 f(x) \, dx] \quad \quad \ast</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Ci si chiede se vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
 
 
 
Sappiamo che la condizione sufficiente per questa relazione è che <math>\{ f_n \}</math> sia una successione di funzioni continue che convergono a
 
una funzione <math>f \in [-1,1]</math>.
 
Questa condizione è sufficiente ma non necessaria: se <math>f_n</math> non tende a <math>f</math> uniformemente, potrebbe comunque valere il passaggio al limite.
 
 
 
Cerco il limite puntuale della successione. Osservo che <math>f_n(x) = f_n(-x)</math> per ogni <math>x \in [-1,1]</math>.
 
Allora studio la funzione solo in <math>[0,1]</math>.
 
 
 
Per <math>x>0</math>, <math>e^{-nx} \to 0</math> per <math>n \to +\infty</math>, e lo stesso vale per <math>x<0</math>. Nel caso <math>x=0</math><math>f_n(0)=1</math> per ogni <math>n</math>.
 
 
 
Riassumendo
 
<math display="block">f_n(x) \to f(x) = \begin{cases} 0&\hbox{per} x \in [-1,0)\cup(0,1] \\ 1 &\hbox{per} x=0 \end{cases}</math>
 
In 0 c'è una discontinuità di terza specie.
 
 
 
Non ci può essere convergenza uniforme, perché ho una successione di funzioni continue che converge a una funzione discontinua, mentre il limite uniforme di funzioni continue è continuo. Verifico se vale comunque la relazione <math>\ast</math>.
 
 
 
Valuto il primo membro:
 
<math display="block">\int_{-1}^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^1 0 \, dx=0</math>''nota'': le funzioni con discontinuità di terza specie sono Riemann-integrabili, e il punto di discontinuità di terza specie non viene considerato.
 
 
 
Considero il secondo membro:
 
<math display="block">\int_{-1}^1 e^{-n |x|} \, dx = 2*\int_0^1 e^{-n |x|} \, dx = 2*\int_0^1 e^{-nx} \, dx = [-2/n*e^{-nx}]_0^1 = -2/n*[1-e^{-n}]</math>
 
Per <math>n \to +\infty</math> la quantità tende a 0. Quindi ho dimostrato la validità della relazione <math>\ast</math>, anche se non vale la condizione sufficiente.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=12.5|anchor=Esercizio12_5}}
 
Si studino la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni
 
 
#<math display="block">f_n:[0,1]\to\mathbb R,\quad f_n(x)=x^n\sin(1-x)</math>
 
#<math display="block">f_n:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R,\quad f_n(x)=4^{-n}(\log|x-1|)^{n+1}</math>
 
#<math display="block">f_n:[0,2\pi]\to\mathbb R,\quad f_n(x)= \begin{cases}e^{n\log(1-\cos\frac{x}{n})}&\text{se }x\in(0,2\pi],\\0 &\text{se }x=0,\end{cases}</math>
 
#<math display="block">f_n:[0,\frac{\pi}2]\to\mathbb R,\quad f_n(x)=x^4(\sin x)^n,</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
#<math display="block">f_n:[0,1]\to\mathbb R,\quad f_n(x)=x^n\sin(1-x)</math>''Convergenza puntuale'':<math display="block">f_n(x)=x^n\sin(1-x) \le x^n *1 \to 0 \, \forall x \in (0,1]</math>Per <math>x=0</math>, <math>f_n(x) = 0^n*\sin 0 = 0</math>.Allora la funzione converge puntualmente alla funzione nulla.''Convergenza uniforme'': Verifico se<math display="block">\sup_{x \in [0,1]} |x^n*\sin (1-x)| \to 0</math><math display="block">|x^n*\sin (1-x)| \le |x^n*(1-x)|=g(x)</math>quindi<math display="block">\sup |x^n*\sin (1-x)| \le \sup |x^n*(1-x)|</math><math display="block">g_n' = -x^n+(1-x)*x^{n-1}*n=0</math><math display="block">-x+(1-x)*n=0</math><math display="block">-x+n-nx=0</math><math display="block">x = \frac{n}{n+1}</math>Valutando <math>g</math> nel suo punto di massimo <math>\frac{n}{n+1}</math> si ha:<math display="block">\sup g(x) = (\frac{n}{n+1})^n*(1-\frac{n}{n+1}) \to 0 \iff n \to \infty</math>allora anche <math>\sup f_n \le \sup g \to 0</math> e la successione converge uniformememente.
 
#<math display="block">f_n:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R,\quad f_n(x)=4^{-n}(\log|x-1|)^{n+1}</math>''Convergenza puntuale'': Per <math>x \neq 1</math>,<math display="block">\lim_{n \to +\infty} \frac{(\log|x-1|)^{n+1}}{4^n} =</math><math display="block">\lim_{n \to +\infty} (\frac{\log|x-1|}{4})^{n+1}*1/4 =</math>Studio la funzione <math>g(x) = 1/4*\log |x-1|</math>, che non si annulla mai.Studio del segno: <math>g(x)>0</math> se<math display="block">\log |x-1|>0 \longrightarrow |x-1|>1</math><math>g(x)<0</math> se <math>0<x<2</math>.<math display="block">g(x) = \begin{cases} \log (x-1) &\hbox{se} x>1 \\ \log(1-x)&\hbox{se} x<1 \end{cases}</math>Studio della derivata:<math display="block">f'(x) = 1/4*1/(x-1) \hbox{per} x>1 \quad f'(x)=1/4*1/(1-x)*(-1) \hbox{per} x<1</math>La funzione è decrescente prima di 1 e crescente dopo.Concludo che:##se <math>-1<\frac{\log |x-1|}{4}<1</math> la successione converge puntualmente a <math>0</math> per <math>n \to +\infty</math>.##se <math>|\frac{\log |x-1|}{4}|>1</math> la successione divergee quindi verifico quando sono verificate le seguenti condizioni:##<math>\log (x-1)*1/4 =1</math> se<math display="block">\log(x-1) = 4</math><math display="block">x = 1+e^4 > 1</math><math display="block">p_1(1+e^4,1)</math>##<math>\log (x-1)*1/4 =-1</math><math display="block">\log(x-1) = -4</math><math display="block">x = 1+e^{-4} > 1</math><math display="block">P_2(1+e^{-4},-1)</math>##<math>\log (1-x)*1/4=1</math> se<math display="block">\log(1-x) = 4</math><math display="block">1-x = e^4</math><math display="block">x=1-e^4 < 1</math><math display="block">p_3(1-e^4,1)</math>##<math>\log (1-x)*1/4=-1</math><math display="block">1-x = e^{-4}</math><math display="block">x = 1-e^{-4} < 1</math><math display="block">p_4(1-e^{-4},-1)</math>Allora la funzione converge puntualmente negli intervalli: <math>(1-e^4, 1-e^{-4})</math> e <math>(1+e^{-4}, 1+e^4)</math>.''Convergenza uniforme'':La convergenza uniforme può avvenire solo in intervalli <math>[a,b] \subset (1-e^4,1-e^{-4}) \smallsetminus 1</math>, oppure <math>(1+e^{-4},1+e^4)</math>.<math display="block">\hbox{per} x>1 \, f_n'(x)  = 1/4*(n+1)*\log (x-1)*1/(x-1)</math><math display="block">f_n' (x)>0 \, \forall x>1 \, \hbox{funzione crescente}</math><math display="block">\hbox{per} x<1 \, f_n'(x)=(n+1)(\log(-x+1))^n*1/(-x+1)*(-1)</math>Per <math>x<1</math> la derivata è sempre decrescente.Allora negli intervalli <math>[a,b] \subset (1+e^{-4}, 1+e^4)</math> si ha che<math display="block">\sup_{x \in [a,b]} f_n(x) = [g(b)]^{n+1}*1/4 \to 0</math>e questo è vero perché <math>|g(b)|<1</math>. Lo stesso vale negli intervalli dell'altro tipo.
 
#<math display="block">f_n:[0,2\pi]\to\mathbb R,\quad f_n(x)= \begin{cases}e^{n\log(1-\cos\frac{x}{n})}&\text{se }x\in(0,2\pi],\\0 &\text{se }x=0,\end{cases}</math>''Convergenza puntuale'':<math display="block">\lim_{n \to +\infty} e^{n\log(1-\cos\frac{x}{n})}=</math><math display="block">\lim_{n \to +\infty} e^{\log((1-\cos\frac{x}{n}))^n}=</math><math display="block">1-\cos(x/n) < 1, \, \longrightarrow \, (1-\cos(x/n))^n \to 0 \iff n \to \infty,</math>quindi il limite vale 1.Non si può avere convergenza uniforme sull'intervallo <math>[0,2\pi]</math>, perché il limite non è continuo su tale intervallo.
 
#<math display="block">f_n:\bigg[0,\frac{\pi}2\bigg]\to\mathbb R,\quad f_n(x)=x^4(\sin x)^n,</math><math display="block">\lim_{n \to +\infty} x^4* (\sin x)^n= 0 \hbox{ per } x \neq \pi/2</math><math display="block">f_n(\pi/2) = (\pi/2)^4</math>Allora <math>\{ f_n \}</math> converge puntualmente a<math display="block">f = \begin{cases} 0&\hbox{se} x \in [0,\pi/2) \\ (\pi/2)^4 &\hbox{se} x=\pi/2 \end{cases}</math>''Convergenza uniforme'': osservo che non può esserci convergenza uniforme sull'intervallo <math>[0,\pi/2]</math>, perché il limite <math>f</math> non è continuo. Verifico invece se c'è convergenza uniforme in intervalli del tipo <math>[a,\pi/2]</math>:<math display="block">f'(x) = x^4*n*(\sin x)^{n-1}*\cos x+4x^3*(\sin x)^n</math><math display="block">f_n'(x) > 0</math><math display="block">x^4*n*(\sin x)^{n-1}*\cos x+4x^3*(\sin x)^n >0</math>Divido per <math>x^3*(\sin x)^{n-1}</math>:<math display="block">x*n*\cos x+4\sin x >0</math>Seno e coseno sono entrambi positivi nell'intervallo <math>[0,\pi/2]</math>, quindi la condizione è sempre verificata e la funzione assume il suo sup nel minimo dell'intervallo <math>a</math>:<math display="block">f_n(a) = a^4*(\sin a)^n</math>e siccome <math>\sin a < 1</math>, il sup tende a <math>0</math> per <math>n \to \infty</math>, e si ha convergenza uniforme in questi intervalli.
 

Versione attuale delle 22:25, 11 set 2017

  1. Considero una successione di funzioni : si dice che converge puntualmente a in se, per ogni fissato, la successione numerica converge puntualmente a . viene detto insieme di convergenza puntuale.
  2. Considero poi . Diremo che converge a uniformemente in se
  3. Criterio di Weierstrass: Supponiamo che esista una successione numerica tale che per e per ogni . Allora c'è convergenza uniforme di in .
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