Richiami teorici

  1. Un punto è detto punto di minimo locale se esiste un intorno tale che
    (se vale la disuguaglianza con il minore stretto ottengo un punto di minimo locale forte)Vale la definizione opposta per i massimi locali.
  2. Sia aperto. Un punto si dice critico per la funzione se
    Massimi e minimi locali appartengono all'insieme dei punti critici.
  3. Generalizzazione del teorema di Fermat: se è un punto di minimo o massimo locale, e Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathaccent'): {\displaystyle x_0 \in \mathaccent23{ } D} , allora .
  4. La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde:
    e se vale il teorema di Schwarz la matrice è simmetrica.
  5. Test dell'hessiana per matrici : Se il determinate dell'hessiana di nel punto è positivo, se il determinante della sottomatrice in alto a sinistra è positivo, e se , allora è di minimo locale. Invece se l'elemento e il determinante della matrice sono negativi, e se il determinante della sottomatrice è positivo, ho un punto di massimo locale.Se ma le altre condizioni non sono soddisfatte allora è un punto di sella.
  6. Test dell'hessiana per matrici :
    se e ho un punto di minimo locale. Invece se ma allora il punto è di massimo locale. Se e ho un punto di sella.

Vale inoltre il seguente teorema:

Teorema 3.1

Sia continua su tutto . Supponiamo che

allora esiste un punto di minimo per .

 
Dimostrazione

Consideriamo un qualsiasi . Nella palla chiusa centrata nell'origine e di raggio si può applicare il teorema di Weierstrass, infatti è continua, allora nella palla chiusa esiste il minimo di . Chiamiamo questo minimo . Dato , esiste tale che se , allora (per l'ipotesi che ). Non è restrittivo supporre . Allora

e quindi
cioè ammette minimo.


cvd

 
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