Richiami teorici

  1. Un punto è detto punto di minimo locale se esiste un intorno tale che
    (se vale la disuguaglianza con il minore stretto ottengo un punto di minimo locale forte)Vale la definizione opposta per i massimi locali.
  2. Sia aperto. Un punto si dice critico per la funzione se
    Massimi e minimi locali appartengono all'insieme dei punti critici.
  3. Generalizzazione del teorema di Fermat: se è un punto di minimo o massimo locale, e Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathaccent'): {\displaystyle x_0 \in \mathaccent23{ } D} , allora .
  4. La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde:
    e se vale il teorema di Schwarz la matrice è simmetrica.
  5. Test dell'hessiana per matrici : Se il determinate dell'hessiana di nel punto è positivo, se il determinante della sottomatrice in alto a sinistra è positivo, e se , allora è di minimo locale. Invece se l'elemento e il determinante della matrice sono negativi, e se il determinante della sottomatrice è positivo, ho un punto di massimo locale.Se ma le altre condizioni non sono soddisfatte allora è un punto di sella.
  6. Test dell'hessiana per matrici :
    se e ho un punto di minimo locale. Invece se ma allora il punto è di massimo locale. Se e ho un punto di sella.

Vale inoltre il seguente teorema:

Teorema 3.1

Sia continua su tutto . Supponiamo che

allora esiste un punto di minimo per .

 
Dimostrazione

Consideriamo un qualsiasi . Nella palla chiusa centrata nell'origine e di raggio si può applicare il teorema di Weierstrass, infatti è continua, allora nella palla chiusa esiste il minimo di . Chiamiamo questo minimo . Dato , esiste tale che se , allora (per l'ipotesi che ). Non è restrittivo supporre . Allora

e quindi
cioè ammette minimo.


cvd

 


Esercizio 3.1

Sia data

Cercare i punti critici della funzione, studiarne la natura e dire se ha punti di massimo e minimo assoluto.

 


Il dominio di non coincide con , perché devono essere .

  1. Cerco i punti critici di all'interno del dominio.
    Per cercare i punti critici pongo , e ottengo il sistema:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-1/x^2+yz=0 \\ -1/y^2+xz=0 \\ -1/z^2+xy=0\end{sistema}} Moltiplico la prima equazione per , la seconda per e la terza per in modo che compaia in tutte e tre il termine .Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-1/x+xyz=0 \\ -1/y+xyz=0 \\ -1/z+xyz=0\end{sistema}} Sotraggo la prima equazione alla seconda e alla terza.Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-1/x+xyz=0 \\ -1/y+1/x=0 \\ -1/z+1/x=0\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-1/x+xyz=0 \\ \frac{y-x}{xy}=0 \\ \frac{z-x}{xz}=0\end{sistema}} Allora e , quindi, sostituendo questa informazione nelle equazioni di partenza ottengo:
    Ho due punti critici:
  2. Studio la natura dei punti critici e ricorro alla matrice hessiana:
    Allora
    Chiamo l'elemento dell'hessiana in prima posizione, la matrice in alto a sinistra e l'hessiana, e valuto queste matrici nei punti critici:
    Siccome tutti i determinanti sono positivi, è un punto di minimo locale.
    allora
    Invece
    Allora è un punto di massimo locale.
  3. Determino se i punti sono di massimo o minimo assoluto:
    Considero:
    allora ho punti di massimo e minimo locali ma non assoluti.


Esercizio 3.2

Si stabilisca per quali valori di la funzione

ha almeno un punto di massimo locale in .

 

Studio le derivate parziali in un generico punto Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathaccent'): {\displaystyle (x,y) \in \mathaccent23{ } D} .

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \nabla f=0 \, \longrightarrow \, \begin{sistema}2\alpha x-2=0 \\ -2ye^{-y^2} =0 \end{sistema}} , con è un punto stazionario. Verifico per quali valori di il punto appartiene a D.
Allora per o Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathaccent'): {\displaystyle (1/\alpha,0) \in \mathaccent23{ } D} e
Scrivo l'hessiana:
Segue che , , e se e , ha almeno un punto di massimo locale, e, considerando , le condizioni sono soddisfatte per .


Esercizio 3.3

Si determinino i punti stazionari delle seguenti funzioni, discutendone la natura (si stabilisca cioè, per ciascun punto stazionario, se si tratta di un punto di massimo locale, di minimo locale o di sella).

 
  1. Cerco i punti stazionari che annullano il gradiente di , quindi calcolo le derivate parziali:
    e risolvo il sistema:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2y-2x =0 \\ 8x^7+2x-2y=0\end{sistema}} Dalla prima equazione ricavo . Sostituendo nella seconda equazione:
    e si ottiene che l'unico punto stazionario è l'origine .Osservo che la funzione è sempre positiva perché somma di due quadrati, e si annulla solo nell'origine, allora l'origine è necessariamente un punto di minimo assoluto.
  2. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} 2xy=0 \\ 2y+x^2=0 \end{sistema}} Dalla seconda equazione ricavo , quindi sostituendo nell'altra equazione ricavo , quindi , e l'unico punto stazionario è l'origine.Osservo che nell'origine la funzione vale 0, e in un intorno dell'origine, se , si ha necessariamente e la funzione è prodotto di due quantità negative ed è quindi positiva. Se invece , si può avere oppure quindi la funzione cambia segno in un intorno dell'origine, che è un punto di sella.
  3. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}6x^5=0 \\ \cos y=1-2y \end{sistema}} Le due equazioni sono disaccoppiate: dalla prima ricavo , e dalla seconda , quindi l'unico punto stazionario è l'origine.Cerco di applicare il criterio dell'hessiana:
    Osservo che il criterio dell'hessiana fallisce perché . Studio il segno della funzione in un intorno di 0.Per , si ha e la funzione sempre positiva.Invece, per , si ha
    allora è un punto di sella, perché la funzione cambia segno in un intorno dell'origine.


Esercizio 3.4

Calcolare la distanza fra le rette Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle r_1 = \begin{sistema} x=0 \\ y=0 \end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle r_2 = \begin{sistema} x=3 \\ z=2y \end{sistema}}

 

Si ricorda che

Allora scrivo le equazioni parametriche delle rette: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle R_1 = \begin{sistema} x=0 \\ y=0 \\ z=s \end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle R_2 = \begin{sistema} x=3 \\ y=t \\ z=2t \end{sistema}} Allora il generico punto di è della forma mentre il generico punto della retta è .

La radice è somma di quantità positive, e siccome la funzione che a associa è crescente, allora
è punto di minimo, per ottengo
che è la distanza tra le due rette.


Esercizio 3.5

Data la funzione

Cercare tutti i punti critici in e studiarne la natura.

 


I punti critici risolvono l'equazione .

non si annulla mai, quindi ho il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x*(4x^2-x^4-y^4) =0 \\ y*(4y^2-x^4-y^4) =0 \end{sistema}} La prima equazione è soddisfatta se oppure se . Se , la seconda equazione diventa:
che ha le soluzioni , . Allora ho i punti critici , e, per simmetria dei ruoli di e nella definizione di , anche e sono punti critici.


Invece, se , si ha Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x^4 = 4x^2-y^^4} , e sostituendo l'espressione di nella seconda equazione ottengo:

Risostituendo nell'espressione di :
e Supponendo si ha:
Ci sono quindi anche i punti critici
Riassumendo i punti critici sono:
e devo studiarne la natura. Applico il criterio dell'hessiana:
è la matrice nulla, e non si può definire la natura di questo punto con il criterio dell'hessiana.
, quindi è un punto di massimo locale. coincide con perché compaiono elevati a potenze di ordine pari, allora anche è di massimo locale.


è uguale a ma con gli elementi sulla diagonale invertiti, quindi anche e sono altri punti di massimo locale.

il determinante dell'hessiana è negativo, allora ho un punto di sella (la matrice non è definita). Anche tutti gli altri casi sono riconducibili a questo, infatti:
quindi sono tutti punti di sella.


Per poter capire di che natura è l'origine, basta osservare che la funzione è sempre definita positiva, e si annulla solo in , allora l'origine è un punto di minimo assoluto.


Esercizio 3.6

Trovare massimo e minimo assoluto di

nell'insieme del piano

 


L'insieme è un triangolo nel primo quadrante, delimitato dalla retta , la funzione considerata è continua e per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo sul compatto .


Le derivate di non sono ben definite sul bordo dell'insieme. In questi casi, l'esercizio si divide in due parti: prima trovo i punti critici di che stanno all'interno del dominio , poi studio la funzione sul bordo dell'insieme.

  1. Punti critici all'interno dell'insieme:
    L'unico punto che annulla il gradiente è , e appartiene a .
  2. Punti critici sul bordo: il bordo ha tre componenti:
    Considero ristretto a . Devo trovare una parametrizzazione del segmento. Lo studio di sul bordo si riduce allo studio di una funzione in una variabile:
    Siccome è crescente in , il suo minimo è e il suo massimo è .La funzione ristretta a invece è , che è monotona crescente, il minimo è e il massimo è .Per la terza componente del bordo:
    ho l'equazione di una parabola, studiamo massimo e minimo.
    La concavità della parabola è rivolta versol'alto, quindi è un punto di minimo per la ristretta a , e il minimo di è

Confronto i valori della funzione nei possibili punti di massimo e minimo assoluto:


Punti stazionari: , , , , . allora è il massimo di in e è il minimo, allora il punto di massimo è e il punto di minimo .


Esercizio 3.7

Trovare tutti i punti critici della funzione

e determinarne la natura.

 

quindi i punti che annullano il gradiente si ottengono risolvendo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}3(x^2-1)*z^2=0 \\ -2*y*z^2=0 \\ 2z*(x^3-3x-y^2)+3z^2=0 \end{sistema}} Osserviamo che annulla tutte le equazioni, allora i punti della forma sono stazionari.


Invece nel caso divido per Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}3(x^2-1)=0 \\ -2*y=0 \\ 2/z*(x^3-3x-y^2)+3=0 \end{sistema}} Dalla prima equazione ricavo , dalla seconda , e sostituendo nella terza ottengo allora anche e sono punti critici.


Allora tutti i punti critici della funzione sono , con .


Applico il criterio dell'hessiana:

La matrice è già in forma diagonale, allora
allora è un punto di sella, infatti la matrice è indefinita.
Allora l'hessiana è definita negativa e è un punto di massimo.
La matrice è semidefinita e non ho nessuna conclusione.


Devo provare che oppure oppure che non vale nessuna delle due disuguaglianze.

invece
Supponiamo che allora per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno tale che
ma allora
(cioè vale la definizione di minimo locale).


Possiamo concludere che è punto di minimo locale per tali che:

Analogamente, se è tale che

, allora il punto è di massimo locale.


Rimangono i punti per cui

Siano tali che
allora e cambia segno per in ogni intorno di 0.


In particolare quest'espressione cambia segno per in ogni intorno del punto , allora se è tale che

allora è un punto di sella.


In questo caso i punti di massimo o di minimo non sono assoluti, perché il limite della funzione per tende a .


Esercizio 3.8

Sia

  1. Trovare i punti critici di e studiarne la natura.
  2. Sia , provare se esistono massimo e minimo della funzione f nella palla .
 


Punti critici:

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2x*(e^{x^2+y^2}+1)=0 \\ 2y*(e^{x^2+y^2}-1)=0\end{sistema}} La prima equazione si annulla solo per , nella seconda allora si ha:
e si ricava per .


Allora è l'unico punto critico.

L'hessiana è semidefinita e non possiamo concludere nulla.


Allora si considera il seguente teorema. Se una funzione è continua e il limite per tende a , allora ammette un minimo. Siccome ho trovato un unico punto critico, se questo teorema si può applicare, il punto sarà un minimo: Verifico quindi se

Passando alle coordinate polari e ponendo
, allora il minimo esiste, e siccome l'unico punto critico trovato è l'origine, allora è un punto di minimo assoluto.


Ricordare che:

Teorema 3.2

Una funzione f continua e tale che

ha un minimo, invece una funzione f continua tale che
ha un massimo

 


Punti critici in un compatto: Consideriamo ora la palla .


L'esistenza del massimo e minimo è assicurata dal teorema di Weierstrass. Studiamo i punti critici interni e poi analizziamo la funzione sul bordo. L'unico punto critico nell'interno è l'origine. Sappiamo che

perché l'origine è punto di minimo assoluto per su , allora questa relazione vale anche nella palla chiusa centrata nell'origine e di raggio R. è il minimo di nella palla.


Studio la funzione sul bordo della palla.


Parametrizziamo la circonferenza

allora
Considero
Studio la derivata:
Siccome le soluzioni sono , e studio il segno della derivata:

So già che il minimo assoluto è l'origine, allora considero solo i punti di massimo e verifico in quale di questi punti la funzione assume il valore maggiore.

e questo è il valore massimo della funzione.


Esercizio 3.9

Si determinino i punti di massimo e di minimo locale e globale della funzione definita come

 


Riscrivo la funzione come:

Questa funzione è della forma:

con tale che e tale che . Allora cerco i punti di massimo e minimo di .
Allora è un punto di minimo per , mentre non ha punti di massimo. Sostituendo si ottiene che tutti i punti di minimo della funzione data devono soddisfare l'equazione:
allora i punti di minimo sono della forma
quindi i punti di minimo trovati sono punti di minimo locale e la funzione non ha punti di minimo globali.


Esercizio 3.10

Si determinino i punti di massimo e di minimo (locale e globale) della funzione

sull'insieme .

 


Studio dell'insieme: Cerco i punti di intersezione tra le due circonferenze che compaiono nella definizione dell'insieme. Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x^2+y^2=4 \\ x^2+y^2-2x-2y=0\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x^2=4-y^2 \\ 4-y^2+y^2-2x-2y=0\end{sistema}} Dalla seconda equazione ricavo , e risostituendo nella prima:

Allora trovo i punti di intersezione e . I punti dell'insieme devono stare contemporaneamente all'interno delle due circonferenze, e sopra l'asse . Quindi ha tre componenti:

  1. l'asse tra i punti e
  2. un arco della circonferenza tra e ,
  3. un arco della circonferenza che congiunge e .


Studio prima la funzione all'interno dell'insieme:

Per determinare i punti critici risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y^2*(2x-2)=0 \\ y(4y^2+2x^2-4x)=0 \end{sistema}} Se , i punti che trovo stanno sulla frontiera dell'insieme e li studio in seguito. Allora suppongo e divido le equazioni per : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2x-2=0 \\ 4y^2+2x^2-4x=0 \end{sistema}} Allora dalla prima ricavo , e quindi dalla seconda ottengo ed entrambi i punti trovati, appartengono a . Applico a questi punti il criterio dell'hessiana:
quindi è un punto di minimo e vale lo stesso per .


Studio i punti critici sul bordo dell'insieme:

  1. Tra i punti e , i punti del bordo sono della forma e posso definire la funzione in una variabile , che è costante e non ha punti di massimo o minimo.
  2. Tra e , le componenti del bordo sono della forma , e definisco la funzione in una variabile:
    Allora potrebbe essere un punto di massimo, mentre potrebbe essere punto di mini
  3. Tra e i punti del bordo sono della forma: con , e definisco la funzione
    Osservo che, se il gradiente si annulla, quindi possibili punti di massimo o minimo sono quelli della forma .Dividendo per :
    Tra i punti che annullano il gradiente considero quindi anche .

Valuto nei possibili punti critici trovati:

Allora il massimo della funzione è e il minimo è .

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