Serie generiche

Richiami teorici

  1. Consideriamo una successione di funzioni . Possiamo allora considerare la serie associata a tale successione, inidcata col simbolo
    tale che
    Siccome la serie è la successione delle somme parziali, i risultati validi per le successioni valgono anche per le serie.
  2. Per studiare serie numeriche a segni alterni si può applicare il criterio di Leibniz: consideriamo una successione a valori reali e supponiamo che (condizione necessaria per la convergenza),e tale che definitivamente valgano le due proprietà: e , cioè esiste tale che per ogni la serie è positiva e decrescente. Allora la serie converge.
  3. In uno spazio di Banach, una serie converge uniformemente a se
    che implica
  4. Se considero una serie a segni alterni della forma , a cui è applicabile il criterio di Leibniz, e la cui somma è , è sempre vero che
    dove è il primo termine che non compare nel termine -esimo della serie.
  5. Per le serie numeriche può essere utile applicare il Criterio del rapporto: Suppiniamo di avere una serie a termini positivi e considero il rapporto
    Se questo rapporto ha un limite per , allora se il limite è minore di 1 la serie converge, se il limite è uguale a 1 non si può determinare a propri il carattere della serie, se il limite è maggiore di 1 la serie diverge.
  6. Criterio di Weierst rass: Sia una successione di funzioni limitate . Se esiste una successione numerica a valori in tale che
    e tale che converge, allora la serie converge totalmente e uniformemente.


Esercizio 13.1

Considero la serie di funzioni:

  • Studiare la convergenza puntuale
  • Studiare la convergenza uniforme
  • studiare la convergenza assoluta della serie
  • Studiare la convergenza della serie delle derivate per .
 


Convergenza puntuale: Fisso e ottengo una serie numerica a segni alterni. Verifico se è applicabile il criterio di Leibniz:

  1. Per , , allora
  2. La successione ha termini positivi.
  3. Per provare che la successione è decrescente, definisco una funzione ausiliaria
    Voglio provare che questa funzione è decrescente per abbastanza grande, allora calcolo la derivata parziale rispetto a , per fissato.
    La derivata è positiva se
    Per abbastanza grande e dipendente da x (), la quantità è definitivamente decrescente, infatti esiste un indice tale che . Il fatto che l'indice dipende da x indica che il criterio di Leibniz dà solo informazioni sulla convergenza puntuale, e non su quella uniforme.


Sono soddisfatte le ipotesi del criterio di Leibniz, e quindi per ogni c'è convergenza puntuale.


Convergenza uniforme: sappiamo che converge a una certa e che per le proprietà delle serie a segni alterni,

Quindi

Allora si ha convergenza uniforme


Convergenza assoluta: considero la serie dei moduli:

Per fissato, , allora il termine -esimo della serie è asintotico a , e la serie non converge.


Convergenza puntuale della serie delle derivate: Derivo il termine -esimo della serie:

Verifico se posso applicare Leibniz alla serie :

  1. tende a 0 ed è una successione di funzioni positive.
  2. Per dimostrare che la successione è definitivamente decrescente definisco la funzione ausiliaria
    Derivo rispetto a .
    Per è definitivamente decrescente in . Allora il termine -esimo è definitivamente decrescente in .

Quindi Leibniz è applicabile e c'è convergenza puntuale per .


Per la convergenza uniforme, uso la stima del resto -esimo, valida per le serie a segni alterni, e chiamo la somma della serie: per ogni

quindi

Studio la funzione per determinarne il sup:


è una costante positiva, allora studio la derivata rispetto a della quantità

Allora la funzione è crescente per e assume il suo massimo in , sostituisco questo valore nella funzione per calcolare il massimo:
Allora il resto -esimo della serie si può maggiorare indipendentemente da con una quantità che tende a 0, e quindi c'è convergenza uniforme della serie delle derivate.



Esercizio 13.2

Consideriamo la seguente successione di funzioni:

  • trovare l'insieme di convergenza puntuale della successione e verificare se c'è anche convergenza uniforme.
  • calcolare

  • Considerare la serie

e discuterne convergenza puntuale, uniforme e totale.

 


Convergenza della successione: Il limite puntuale di questa successione è la funzione nulla, inoltre osservo che

quindi
e quindi la funzione converge uniformemente su .


Calcolo dell'integrale: Siccome converge uniformemente per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si ha che il limite da calcolare

è uguale all'integrale del limite, e quindi a
essendo l'integrale della funzione nulla.


Convergenza della serie:

è una serie a termini positivi.


Suddividiamo l'esercizio in tre casi:

  1. Se , allora e si ha:
    e ha lo stesso carattere della serie armonica che non converge.La serie non converge nemmeno in .
  2. Supponiamo che , allora , e siccome per è una funzione crescente, si ha:
    Allora la serie che stiamo considerando è maggiore della serie che non converge, e quindi per il criterio del confronto non c'è convergenza puntuale nemmeno per .
  3. Nel caso , usiamo il criterio della radice -esima.
    Siccome , tende a 0, e allora l'arcotangente è asintotica al suo argomento, quindi
    allora la serie converge puntualmente per il criterio della radice, per .



Commento: Dimostriamo che

e


Convergenza totale della serie: Studio la convergenza totale cioè, verifico che la serie

converge.


Non c'è convergenza totale, infatti l'arcotangente è crescente, e quindi per il sup è e ottengo quindi una serie non convergente.


Però c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo con . Infatti, siccome l'arcotangente è crescente in , essa assume il sup in nell'intervallo , allora

e allora applicando il criterio della radice come nel caso sopra, siccome la serie converge.


Esercizio 13.3

Considerare la serie

  1. Studiare la convergenza puntuale.
  2. Studiare la convergenza totale della serie.
 


Convergenza puntuale: Ho una serie a termini positivi, uso il criterio del rapporto e considero il limite:

Osservo che quindi

Considero i tre casi seguenti:

  1. Se , la serie converge, infatti l'esponente vale 1 e si ottiene:
  2. Se la serie non converge, infatti
  3. Per si ha convergenza, infatti


Per concludere, la serie converge puntualmente nell'insieme .


Convergenza totale: si può avere convergenza uniforme in sottoinsiemi di .

Osservo che assume il suo sup in perché , quindi è una funzione crescente in . Di conseguenza la serie delle norme è
e da quanto detto prima la serie converge (criterio del rapporto, limite ). Quindi la serie converge totalmente e uniformemente in .


Esercizio 13.4

Considerare la serie:

(si nota subito che la serie è telescopica con termine generale , con ) Dimostrare che questa serie è derivabile termine a termine, anche se la serie delle derivate non converge uniformemente.

 


Convergenza puntuale:


Consideriamo la successione

Allora la ridotta -esima della serie si può scrivere esplicitamente come:
è una costante. Allora calcolo
Se , . Se , , allora , ma il denominatore prevale, perché c'è una quantità lineare che tende a infinito, mentre il numeratore ha ordine logaritmico, allora il limite vale 0. Quindi la successione delle ridotte -esime converge puntualmente alla funzione limite .


Serie delle derivate: La somma della serie è derivabile, e

Invece la serie delle derivate è

e ottengo nuovamente una serie telescopica con termine -esimo , . Allora si può esplicitare la somma della successione delle ridotte -esime .
Per studiare la convergenza puntuale, calcolo:
Per il limite vale 0, perché . Se ottengo
e la serie converge puntualmente a , che è la derivata della somma della serie originaria.


Convergenza uniforme della somma della serie delle derivate:


Bisogna verificare che la serie delle derivate non converge uniformemente, cioè che

Siccome converge a basta valutare

Siccome dobbiamo dimostrare che la serie non converge uniformemente, cerchiamo una minorante di questa quantità:

Quindi scelgo un qualsiasi: ad esempio, per l'estremo superiore del resto -esimo è , e non tende a 0 e quindi non c'è convergenza uniforme.


Esercizio 13.5

Si determinino gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni , dove , .

 


Convergenza puntuale: osservo che

Per si ha , e ottengo la serie geometrica di ragione minore di , che converge. Al di fuori di questo intervallo non si ha convergenza puntuale.


Studio la convergenza uniforme in sottointervalli contenuti in . In questo caso è applicabile il criterio di Weierstrass, perché per ogni , il termine generale della serie è minorato dalla serie numerica , che converge essendo la serie geometrica di ragione per . Allora si ha convergenza uniforme in ogni intervallo del tipo con .

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