Richiami teorici

Vogliamo trovare punti di massimo e minimo per una funzione:

che sia vincolata dall'equazione:
per .

  1. In primo luogo si esaminano i punti tali che la matrice che ha come righe i gradienti delle non ha rango massimo. Questi punti si dicono punti singolari per il vincolo e si studiano a parte.
  2. Sia un punto regolare per i vincoli. Se un punto è vincolato (di massimo o minimo), allora esistono numeri reali tali che:
    cioè i punti vincolati corrispondono ai punti critici della lagrangiana:


Esercizio 7.1

In un riferimento cartesiano ortogonale, si consideri l'ellisse data come intersezione dell'iperboloide di equazione:

con il piano . Trovare i punti di sul vincolo aventi quota minima e massima.

 


Il vincolo definisce un'ellisse ed è dato dal sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}G_1 = x^2+y^2-z^2=1 \\ G_2 = x+y+2z=0 \end{sistema}} L'ellisse è un insieme compatto ed è una funzione continua, allora ammette sicuramente massimi e minimi su .

La matrice che ha come righe i ,
ha rango massimo per ogni punto nel vincolo.


Non ci sono punti singolari, allora applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Se esistono un massimo e un minimo, allora esistono tali che:

con

Derivando parzialmente rispetto alle variabili : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}L_x = -2\lambda x-\mu=0 \\L_y = -2 \lambda y-\mu=0 \\L_z = 1+2\lambda z -2\mu=0 \\L_{\lambda} = -(x^2+y^2-z^2-1)=0 \\L_{\mu} = -(x+y+2z)=0\end{sistema}} Esplicitando le variabili nelle prime equazioni ottengo: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x = -\frac{\mu}{2\lambda} \\y = -\frac{\mu}{2 \lambda} \\z = \frac{2\mu-1}{2\lambda} \\-(x^2+y^2-z^2-1)=0 \\-(x+y+2z)=0\end{sistema}} Sostituendo le espressioni di nell'ultima equazione ottengo:

e sostituendo nelle espressioni precedenti: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x = -\frac{1}{2\lambda} \\y = -\frac{1}{2 \lambda} \\z = \frac{1}{2\lambda} \\x^2+y^2-z^2-1=0 \\x+y+2zs=0\end{sistema}} Sostituendo ora le espressioni di nella quarta equazione:
Allora esistono due possibilità per :
Ci sono quindi due punti critici vincolati per la funzione , , . Valuto nei due punti:
Allora è un punto di massimo e è un punto di minimo.


Esercizio 7.2

Determinare massimo e minimo della funzione:

sotto la condizione .

 


La funzione è vincolata a un ellissoide , cioè un insieme compatto. è continua su tutto , quindi è continua sull'ellissoide ed esistono massimo e minimo.

Calcoliamo le derivate parziali della lagrangiana: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}L_x = 2(x+y+z)-2 \lambda x=0 \\L_y = 2(x+y+z)-2 \lambda y=0 \\L_z = 2(x+y+z)-6 \lambda z \\L_\lambda = x^2+y^2+3z^2-1\end{sistema}} Le prime tre equazioni hanno in comune il blocco . Sottraendo la prima equazione alla seconda ottengo:
Sottraendo la prima alla terza ottengo:
Se posso dividere per :
cioè
e sostituendo le espressioni di nell'equazione del vincolo:
Quindi
Ottengo i punti:
Se invece le equazioni sono verificate e rimane il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+3z^2-1=0 \end{sistema}} e i punti che risolvono questo sistema, chiamati con , formano un'ellisse. Sia un punto appartenente alla curva: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x+y+z =1 \\ x^2+y^2+3z^2-1=0 \end{sistema}} Ricordando che dalla prima equazione segue che il valore di in questi punti è 0, e siccome è sempre positiva o nulla questi sono punti di minimo.


Valutiamo la funzione negli altri due punti critici:

cioè sono entrambi punti di massimo.


Esercizio 7.3

Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione

vincolata all'insieme .

 


Ponendo scrivo lo jacobiano:

e l'unica possibilità per cui la matrice non abbia rango massimo è che sia . Allora considero separatemente i punti della forma appartenenti al vincolo. Cerco questi punti: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}1/4+y^2-z=0 \\ z-2-1/2=0\end{sistema}} quindi , . Allora due possibili punti di minimo o massimo sono

Per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, gli altri possibili punti estremanti di vincolata all'insieme sono i punti stazionari della funzione:

Allora risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}G_x = 3x^2+2+2\lambda x+\mu=0 \\G_y = 2\lambda y=0 \\G_z = 2-\lambda z+\mu =0 \\G_\lambda = x^2+y^2-z =0 \\G_\mu = z-2+x=0\end{sistema}} La seconda equazione è verificata per o .

  1. Nel caso :Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}3x^2+2+\mu=0 \\ 2+\mu =0 \\x^2+y^2-z =0 \\ z-2+x=0\end{sistema}} Dalla seconda equazione si ricava , e sostituendo nella prima:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}3x^2=0 \\ x^2+y^2-z =0 \\ z-2+x=0\end{sistema}} Quindi , e sostituendo nelle altre:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y^2-z =0 \\ z=2\end{sistema}} allora
    Allora ottengo altri due possibili punti estremanti:
  2. Nel caso , ottengo il sistema:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}3x^2+2+2\lambda x+\mu=0 \\2-\lambda z+\mu =0 \\x^2-z =0 \\z-2+x=0\end{sistema}} Ponendo dall'ultima equazione e sostituendo nella quarta ottengo:
    cioè
    Risostituendo nell'espressione di :
    Quindi ottengo e .


Calcolo nei punti trovati:

Allora è un punto di minimo assoluto e è un punto di massimo assoluto.


Esercizio 7.4

Sia , . Si determini il versore (cioè il vettore con norma euclidea ) che massimizza

 


Il vincolo su è , e quindi .


La funzione di cui devo cercare il punto di massimo è:

e tenendo conto che :
e la funzione di cui devo cercare massimi e minimi è:
Definisco la funzione:
e risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}1+2\lambda x=0 \\ 2\lambda y=0 \\ -1+2\lambda z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{sistema}} In base alla seconda equazione oppure . Il primo caso non può verificarsi perché ottengo equazioni inconsistenti. Nel secondo caso: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y=0 \\ x=-\frac{1}{2\lambda} \\ z=\frac{1}{2\lambda} \\ x^2+z^2=1\end{sistema}} e sostituendo la seconda e la terza equazione nella quarta:
Allora
allora


Esercizio 7.5

Trovare i punti dell'insieme che sono più vicini all'origine .

 


Devo trovare il minimo della funzione distanza:

e in particolare posso considerare il quadrato della distanza e trovare il minimo di:
Cerco i punti di massimo e minimo nell'insieme:
Allora cerco punti stazionari della funzione:
Risolvo il sistema Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2x+2\lambda x+3y=0 \\ 2y+2\lambda y+3x=0 \\ x^2+y^2+3xy-2=0 \end{sistema}} Moltiplico la prima equazione per e la seconda per : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2xy+2\lambda xy+3y^2=0 \\ 2xy+2\lambda xy+3x^2=0 \\ x^2+y^2+3xy-2=0 \end{sistema}} e sottraendo membro a membro ottengo:
cioè
Se , sostituendo nella terza equazione ottengo:
invece se ottengo:
e l'equazione non ha soluzioni reali. Allora gli unici possibili punti di minimo per sono:
Allora
sono i punti più vicini all'origine e la loro distanza dall'origine è .


Esercizio 7.6

Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione

sull'insieme .

 


Considero prima la funzione sulla circonferenza applicando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Definisco la funzione

e risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}G_x=4x^3-16x+2\lambda x =0 \\ G_y=4y^3-16y+2\lambda y=0 \\ G_\lambda=x^2+y^2=9 \end{sistema}} Moltiplico la prima equazione per e la seconda per : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}4x^3 y-16xy+2\lambda xy =0 \\ 4y^3 x-16xy+2\lambda xy=0 \\ x^2+y^2=9 \end{sistema}} Sottraggo membro a membro le prime due equazioni:
Se , dividendo per :
e sostituendo nella terza equazione:
Allora ottengo quattro possibili punti stazionari:

Se invece , Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}4y^3-16y+2\lambda y=0 \\ y^2=9 \end{sistema}} Allora , e sostituendo nella prima equazione ottengo il corrispondente valore per . Allora anche e (per simmetria nel ruolo di e ) sono possibili punti stazionari.


Studio invece i punti stazionari di all'interno del cerchio con il metodo dell'hessiana.

allora la prima componente del gradiente si annulla per e la seconda per , e di tutti i possibili punti che annullano il gradiente, l'unico appartenente al cerchio è .


Valuto nei punti trovati:

Allora e sono punti di massimo, mentre sono punti di minimo.


Esercizio 7.7

Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione

sull'insieme .

 


Cerco punti di intersezione tra la retta e la parabola .

Allora i punti di intersezione sono e .


L'insieme è costituito da tutti i punti che si trovano a sinistra della retta verticale e a destra della parabola rivolta verso destra .


Cerco prima punti estremanti della funzione all'interno dell'insieme:

e l'unico punto stazionario è , che sta nell'insieme.


Cerco ora possibili punti estremanti sul bordo dell'insieme con il criterio dei moltiplicatori di Lagrange, separatamente sulle due parti del bordo. I vincoli sono:

e si tiene conto che .


Definisco prima la funzione:

per cercare i possibili punti estremanti di vincolati alla retta, risolvendo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y*e^{xy}+\lambda=0 \\x*e^{xy}=0 \\ x-3 =0\end{sistema}} ma questa funzione non ha punti stazionari, perché il sistema ha due equazioni inconsistenti.


Definisco poi:

e, per trovare i possibili punti estremanti vincolati alla parabola, risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y*e^{xy}+\mu=0 \\x*e^{xy}-2\mu y=0 \\ x+1-y^2=0\end{sistema}} Dalla prima equazione ricavo e sostituendo nella seconda equazione ottengo . Ci si riconduce al sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x=-2y^2 \\ x=y^2-1 \end{sistema}}
e quindi:
e ho due altri possibili punti di massimo e minimo:
Allora
e quindi è punto di massimo, è punto di minimo.


Esercizio 7.8

Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione

sull'insieme .

 


L'insieme considerato è la metà destra della sfera di raggio 1 e centro nell'origine. Cerco prima i punti che annullano il gradiente della funzione e che stanno all'interno della sfera:

e l'unico punto che annulla il gradiente è .


Negli altri casi applico il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, e devo cercare i punti estremanti della funzione sulla superficie della semisfera, e quindi separatamente sugli insiemi e su .

  1. Nel caso definisco la funzione:
    e risolvoErrore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2x+2\lambda x=0 \\ 2y+\mu=0 \\ -2z+2\lambda z=0 \\ x^2+z^2=1 \\ y=0\end{sistema}} implica .Se , ottengo:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}-2z+2\lambda z=0 \\ z^2=1\end{sistema}} cioè , e ho i punti .Se , ottengo i punti .Altrimenti divido per e per e ottengo:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}1+\lambda=0 \\ -1+\lambda=0 \\ x^2+z^2=1\end{sistema}} e ho due equazioni inconsistenti per , quindi non esistono altri punti stazionari.
  2. Nel caso dei punti che stanno sulla superficie della semisfera, definisco la funzione:
    e tengo conto che .Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}2x+2\mu x=0 \\ 2y+2\mu y=0 \\ 2z-2\mu z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1 \end{sistema}} Nei casi in cui ma si ottiene:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\mu=-2 \\ x^2+y^2=1 \end{sistema}} e tutti i punti della circonferenza , con , sono punti stazionari per . Invece nei casi oppure ma ottengo equazioni inconsistenti. Infine, nel caso e , ottengo i punti .


Valuto nei punti trovati:

allora i punti di e i punti e sono di massimo, mentre i punti sono di minimo.


Esercizio 7.9

Dato , si scriva come somma di tre addendi non negativi in modo tale che il prodotto dei tre addendi sia massimo.

 


Il vincolo è dato da:

e devo calcolare il massimo della funzione:

Cerco punti stazionari della funzione:

Risolvo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}g_x = yz+\lambda=0 \\ g_y = xz+\lambda=0 \\ g_z = xy+\lambda=0 \\ g_\lambda = x+y+z-a=0\end{sistema}} Se : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\lambda = \frac{-1}{yz} \\ \lambda=\frac{-1}{xz} \\ \lambda=\frac{-1}{xy} \\ x+y+z-a=0\end{sistema}} Eguagliando la prima e la seconda equazione:
cioè
e quindi . Analogamente si ricava , quindi .


Siccome si ha:

si ha

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