Richiami teorici

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#In primo luogo si esaminano i punti <math>x_0 \in \mathbb R^n</math> tali che la matrice che ha come righe i gradienti delle <math>G_j</math> non ha rango massimo. Questi punti  si dicono ''punti singolari per il vincolo'' e si studiano a parte.
 
#In primo luogo si esaminano i punti <math>x_0 \in \mathbb R^n</math> tali che la matrice che ha come righe i gradienti delle <math>G_j</math> non ha rango massimo. Questi punti  si dicono ''punti singolari per il vincolo'' e si studiano a parte.
 
#Sia <math>x_0</math> un punto regolare per i vincoli. Se un punto è vincolato (di massimo o minimo), allora esistono <math>m</math> numeri reali <math>\lambda_1, \dots, \lambda_m</math> tali che:<math display="block">\nabla F(x_1, \dots, x_n)+\sum_{i=1}^n \lambda_j G_j(x_1, \dots, x_n)=0</math>cioè i punti vincolati corrispondono ai punti critici della lagrangiana:<math display="block">L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = F(x_1, x_2, \dots, x_n)-\sum_{j=1}^m \lambda_j G_j(x_1, \dots, x_n)</math>
 
#Sia <math>x_0</math> un punto regolare per i vincoli. Se un punto è vincolato (di massimo o minimo), allora esistono <math>m</math> numeri reali <math>\lambda_1, \dots, \lambda_m</math> tali che:<math display="block">\nabla F(x_1, \dots, x_n)+\sum_{i=1}^n \lambda_j G_j(x_1, \dots, x_n)=0</math>cioè i punti vincolati corrispondono ai punti critici della lagrangiana:<math display="block">L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = F(x_1, x_2, \dots, x_n)-\sum_{j=1}^m \lambda_j G_j(x_1, \dots, x_n)</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.1|anchor=Esercizio7_1}}
 
In un riferimento cartesiano ortogonale, si consideri l'ellisse <math>\gamma</math> data come intersezione dell'iperboloide di equazione:
 
<math display="block">x^2+y^2-z^2 =1</math>
 
con il piano <math>x+y+2z=0</math>. Trovare i punti di <math>f=z</math> sul vincolo <math>\gamma</math> aventi quota minima e massima.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Il vincolo definisce un'ellisse ed è dato dal sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}G_1 = x^2+y^2-z^2=1 \\ G_2 = x+y+2z=0 \end{sistema}</math>
 
L'ellisse è un insieme compatto ed <math>f</math> è una funzione continua, allora ammette sicuramente massimi e minimi su <math>\gamma</math>.
 
<math display="block">\nabla G_1 = (2x,2y, -2z)</math><math display="block">\nabla G_2(x,y,z) = (1,1,2)</math>
 
La matrice che ha come righe i <math>G_j</math>,
 
<math display="block">\begin{array}{ccc}    2x & 2y & -2z \\    1 & 1 & 2  \end{array},</math>
 
ha rango massimo per ogni punto nel vincolo.
 
 
 
Non ci sono punti singolari, allora applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Se esistono un massimo e un minimo, allora esistono <math>\lambda,\mu</math> tali che:
 
<math display="block">\nabla L=0</math>
 
con
 
<math display="block">L(x,y,z,\lambda,\mu) = z-\lambda(x^2+y^2-z^2-1)-\mu(x+y+2z)</math>
 
 
Derivando parzialmente <math>L</math> rispetto alle variabili <math>x,y,z,\lambda,\mu</math>:
 
<math display="block">\begin{sistema}L_x = -2\lambda x-\mu=0 \\L_y = -2 \lambda y-\mu=0 \\L_z = 1+2\lambda z -2\mu=0 \\L_{\lambda} = -(x^2+y^2-z^2-1)=0 \\L_{\mu} = -(x+y+2z)=0\end{sistema}</math>
 
Esplicitando le variabili <math>x,y,z</math> nelle prime equazioni ottengo:
 
<math display="block">\begin{sistema}x = -\frac{\mu}{2\lambda} \\y = -\frac{\mu}{2 \lambda} \\z  = \frac{2\mu-1}{2\lambda} \\-(x^2+y^2-z^2-1)=0 \\-(x+y+2z)=0\end{sistema}</math>
 
Sostituendo le espressioni di <math>x,y,z</math> nell'ultima equazione ottengo:
 
<math display="block">-\frac{\mu}{2\lambda}-\frac{\mu}{2\lambda}+2\frac{2\mu-1}{2\lambda}=0</math><math display="block">\frac{-1+2\mu-\mu}{\lambda}=0</math><math display="block">\mu =1</math>
 
e sostituendo <math>\mu</math> nelle espressioni precedenti:
 
<math display="block">\begin{sistema}x = -\frac{1}{2\lambda} \\y = -\frac{1}{2 \lambda} \\z  = \frac{1}{2\lambda} \\x^2+y^2-z^2-1=0 \\x+y+2zs=0\end{sistema}</math>
 
Sostituendo ora le espressioni di <math>x,y,z</math> nella quarta equazione:
 
<math display="block">\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{4\lambda^2}-\frac{1}{4\lambda^2} = 1</math><math display="block">\frac{1}{4\lambda^2} = 1</math><math display="block">4\lambda^2 = 1</math><math display="block">\lambda = \pm 1/2</math>
 
Allora esistono due possibilità per <math>(x,y,z)</math>:
 
<math display="block">\mu=1, \lambda=1/2, \, x=-1, \, y=-1, \, z=1</math><math display="block">\mu=1, \, \lambda=-1/2, \, x=1, \, y=1, \, z=-1</math>
 
Ci sono quindi due punti critici vincolati per la funzione <math>f</math>, <math>P_1=(-1,-1,1)</math>, <math>P_2(1,1,-1)</math>.
 
Valuto <math>f=z</math> nei due punti:
 
<math display="block">f(P_1) = 1</math><math display="block">f(P_2) = -1</math>
 
Allora <math>P_1</math> è un punto di massimo e <math>P_2</math> è un punto di minimo.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.2|anchor=Esercizio7_2}}
 
Determinare massimo e minimo della funzione:
 
<math display="block">f(x,y,z) = (x+y+z)^2</math>
 
sotto la condizione <math>\boldsymbol{e} = x^2+y^2+3z^2=1</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
La funzione è vincolata a un ellissoide <math>\boldsymbol{e}</math>, cioè un insieme compatto. <math>f</math> è continua su tutto <math>\mathbb R^3</math>, quindi è continua sull'ellissoide ed esistono massimo e minimo.
 
<math display="block">L(x,y,z,\lambda) = (x+y+z)^2-\lambda*(x^2+y^2+3z^2-1)</math>
 
Calcoliamo le derivate parziali della lagrangiana:
 
<math display="block">\begin{sistema}L_x = 2(x+y+z)-2 \lambda x=0 \\L_y = 2(x+y+z)-2 \lambda y=0 \\L_z = 2(x+y+z)-6 \lambda z \\L_\lambda = x^2+y^2+3z^2-1\end{sistema}</math>
 
Le prime tre equazioni hanno in comune il blocco <math>x+y+z</math>.
 
Sottraendo la prima equazione alla seconda ottengo:
 
<math display="block">-2 \lambda x+2 \lambda y=0 \quad \hbox{equazione 1}</math>
 
Sottraendo la prima alla terza ottengo:
 
<math display="block">-2 \lambda x+6 \lambda z=0 \quad \hbox{equazione 2}</math>
 
Se <math>\lambda \neq 0</math> posso dividere per <math>\lambda</math>:
 
<math display="block">-2x+2y =0, \quad -2x+6z =0</math>
 
cioè
 
<math display="block">y=x, \, z=x/3</math>
 
e sostituendo le espressioni di <math>x,y,z</math> nell'equazione del vincolo:
 
<math display="block">x^2+y^2+3z^2-1 =0</math><math display="block">\longrightarrow \quad x^2+x^2+3x^2/9-1=0</math><math display="block">\longrightarrow \quad 2x^2+x^2/3-1=0</math><math display="block">\longrightarrow 7/3 x^2 =1</math><math display="block">x = \pm \sqrt{3/7}</math>
 
Quindi
 
<math display="block">y = \pm \sqrt{3/7}</math><math display="block">z= \pm 1/3 \sqrt{3/7}</math>
 
Ottengo i punti:
 
<math display="block">P_1 = (\sqrt{3/7}, \sqrt{3/7}, 1/3 \sqrt{3/7})</math><math display="block">P_2 = (-\sqrt{3/7}, -\sqrt{3/7}, -1/3 \sqrt{3/7})</math>
 
Se invece <math>\lambda=0</math> le equazioni <math>1,2</math> sono verificate e rimane il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+3z^2-1=0 \end{sistema}</math>
 
e i punti che risolvono questo sistema, chiamati con <math>P_{x,y,z}</math>, formano un'ellisse.
 
Sia <math>(x,y,z)</math> un punto appartenente alla curva:
 
<math display="block">\begin{sistema}x+y+z =1 \\ x^2+y^2+3z^2-1=0 \end{sistema}</math>
 
Ricordando che <math>f=(x+y+z)^2</math> dalla prima equazione segue che il valore di <math>f</math> in questi punti è 0, e siccome <math>f</math> è sempre positiva o nulla questi sono punti di minimo.
 
 
 
Valutiamo la funzione negli altri due punti critici:
 
<math display="block">f(P_1) = (\sqrt{3/7}+\sqrt{3/7}+1/3 \sqrt{3/7})^2 = (7/3 \sqrt{3/7})^2 = 7/3</math><math display="block">f(P_2)= 7/3</math>
 
cioè <math>P_1, P_2</math> sono entrambi punti di massimo.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.3|anchor=Esercizio7_3}}
 
Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione
 
<math display="block">f:\mathbb R^3\to\mathbb R,\quad f(x,y,z)=x^3+2x+2z,</math>
 
vincolata all'insieme <math>\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2-z=0\text{ e } z-2+x=0\}</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Ponendo <math>F(x,y,z)=(x^2+y^2-z, \, z-2+x)</math> scrivo lo jacobiano:
 
<math display="block">J_{F}(x,y,z) = \left(\begin{array}{ccc}  2x & 2y & -1 \\  1 & 0 & 1\end{array}\right)</math>
 
e l'unica possibilità per cui la matrice non abbia rango massimo è che sia <math>x=-1/2</math>. Allora considero separatemente i punti della forma <math>(-1/2,y,z)</math>
 
appartenenti al vincolo. Cerco questi punti:
 
<math display="block">\begin{sistema}1/4+y^2-z=0 \\ z-2-1/2=0\end{sistema}</math>
 
quindi <math>z=5/2</math>, <math>y = \pm 3/2</math>. Allora due possibili punti di minimo o massimo sono
 
<math display="block">P_{1,2} = (-1/2, \pm 3/2, -5/2)</math>
 
 
Per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, gli altri possibili punti estremanti di <math>f</math> vincolata all'insieme sono i punti stazionari della funzione:
 
<math display="block">G(x,y,z,\lambda,\mu) = x^3+2x+2z+\lambda*(x^2+y^2-z)+\mu(z-2+x)</math>
 
Allora risolvo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}G_x = 3x^2+2+2\lambda x+\mu=0 \\G_y = 2\lambda y=0 \\G_z = 2-\lambda z+\mu =0 \\G_\lambda = x^2+y^2-z =0 \\G_\mu = z-2+x=0\end{sistema}</math>
 
La seconda equazione è verificata per <math>\lambda=0</math> o <math>y=0</math>.
 
 
#Nel caso <math>\lambda=0</math>:<math display="block">\begin{sistema}3x^2+2+\mu=0 \\ 2+\mu =0 \\x^2+y^2-z =0 \\ z-2+x=0\end{sistema}</math>Dalla seconda equazione si ricava <math>\mu=-2</math>, e sostituendo nella prima:<math display="block">\begin{sistema}3x^2=0 \\ x^2+y^2-z =0 \\ z-2+x=0\end{sistema}</math>Quindi <math>x=0</math>, e sostituendo nelle altre:<math display="block">\begin{sistema} y^2-z =0 \\ z=2\end{sistema}</math>allora<math display="block">y = \pm \sqrt{2}</math>Allora ottengo altri due possibili punti estremanti:<math display="block">P_{3,4}= (0,\pm \sqrt{2},2), \quad \lambda =0, \mu =-2</math>
 
#Nel caso <math>y=0</math>, ottengo il sistema:<math display="block">\begin{sistema}3x^2+2+2\lambda x+\mu=0 \\2-\lambda z+\mu =0 \\x^2-z =0 \\z-2+x=0\end{sistema}</math>Ponendo <math>z=2-x</math> dall'ultima equazione e sostituendo nella quarta ottengo:<math display="block">x^2 =2-x</math><math display="block">x^2+x-2=0</math><math display="block">(x+2)(x-1)=0</math>cioè<math display="block">x_1 = -2, \vee x_2 = 1</math>Risostituendo nell'espressione di <math>z</math>:<math display="block">z_1 = 2-x_1 = 2+2 =4</math><math display="block">z_2 = 2-x_2 = 2-1 = 1</math>Quindi ottengo <math>P_5=(-2,0,4)</math> e <math>P_6 = (1,0,1)</math>.
 
 
 
Calcolo <math>f</math> nei punti trovati:
 
<math display="block">f(P_1) = -1/8-1 = -9/8</math><math display="block">f(P_2) = -1-2+6 = 3</math><math display="block">f(P_3) = 4</math><math display="block">f(P_4) = 4</math><math display="block">f(P_5) = -8-4+8 = -4</math><math display="block">f(P_6) = 1+2+2  =5</math>
 
Allora <math>P_5</math> è un punto di minimo assoluto e <math>P_6</math> è un punto di massimo assoluto.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.4|anchor=Esercizio7_4}}
 
Sia <math>F:\mathbb R^3\to\mathbb R</math>, <math>F(x,y,z)=3 e^x+z\cos y</math>.
 
Si determini il versore <math>\nu\in\mathbb R^3</math> (cioè il vettore <math>\nu\in\mathbb R^3</math> con norma euclidea <math>|\nu|=1</math>) che massimizza
 
<math display="block">\frac{\partial F}{\partial \nu}(-\log 3,\pi,10^5).</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Il vincolo su <math>\nu=(x,y,z)</math> è <math>\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1</math>, e quindi <math>x^2+y^2+z^2=1</math>.
 
 
 
La funzione di cui devo cercare il punto di massimo è:
 
<math display="block">f = \frac{\partial F}{\partial \nu}(-\log 3,\pi,10^5)</math>
 
e tenendo conto che <math>\frac{\partial F}{\partial \nu} = \nabla F \cdot \nu</math>:
 
<math display="block">= \nabla F(-\log 3\pi,10^5) \cdot \nu = (3e^x, -z\sin y, \cos y)(-\log 3,\pi, 10^5)\cdot (x,y,z)</math><math display="block">= (3*e^{-\log 3}, -10^5 \sin \pi, \cos \pi)  \cdot (x,y,z) =</math><math display="block">= (3*1/3, 0,-1) \cdot (x,y,z) = x-z</math>
 
e la funzione di cui devo cercare massimi e minimi è:
 
<math display="block">f = x-z</math>
 
Definisco la funzione:
 
<math display="block">G (x,y,z,\lambda) = x-z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)</math>
 
e risolvo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}1+2\lambda x=0 \\ 2\lambda y=0 \\ -1+2\lambda z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{sistema}</math>
 
In base alla seconda equazione <math>\lambda=0</math> oppure <math>y=0</math>. Il primo caso non può verificarsi perché ottengo equazioni inconsistenti. Nel secondo caso:
 
<math display="block">\begin{sistema}y=0 \\ x=-\frac{1}{2\lambda} \\ z=\frac{1}{2\lambda} \\ x^2+z^2=1\end{sistema}</math>
 
e sostituendo la seconda e la terza equazione nella quarta:
 
<math display="block">\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{4\lambda^2} = 1</math><math display="block">4\lambda^2 = 2</math><math display="block">\lambda^2 = 1/2</math><math display="block">\lambda = \pm \sqrt{2}/2</math>
 
Allora
 
<math display="block">\lambda = \sqrt{2}/2 \, \longrightarrow \, x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}/2, y=0, \, z=\sqrt{2}/2</math><math display="block">\lambda = -\sqrt{2}/2 \, \longrightarrow \, x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}/2, y=0, \, z=-\sqrt{2}/2</math>
 
allora
 
<math display="block">f(P_1) = -\sqrt{2}/2-\sqrt{2}/2 = -\sqrt{2} \quad P_1 \hbox{ versore minimo}</math><math display="block">f(P_2) = \sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2 = \sqrt{2} \quad P_2 \hbox{ versore massimo}</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.5|anchor=Esercizio7_5}}
 
Trovare i punti dell'insieme <math>\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2+3xy=2\}</math> che sono più vicini all'origine <math>(0,0)</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Devo trovare il minimo della funzione distanza:
 
<math display="block">f = \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2}</math>
 
e in particolare posso considerare il quadrato della distanza e trovare il minimo di:
 
<math display="block">f = x^2+y^2</math>
 
Cerco i punti di massimo e minimo nell'insieme:
 
<math display="block">Z_F = \{ (x,y) \, t.c. \, x^2+y^2+3xy-2=0 \}</math>
 
Allora cerco punti stazionari della funzione:
 
<math display="block">G = x^2+y^2+\lambda(x^2+y^2+3xy-2)</math>
 
Risolvo il sistema
 
<math display="block">\begin{sistema}2x+2\lambda x+3y=0 \\ 2y+2\lambda y+3x=0 \\ x^2+y^2+3xy-2=0  \end{sistema}</math>
 
Moltiplico la prima equazione per <math>y</math> e la seconda per <math>x</math>:
 
<math display="block">\begin{sistema}2xy+2\lambda xy+3y^2=0 \\ 2xy+2\lambda xy+3x^2=0 \\ x^2+y^2+3xy-2=0  \end{sistema}</math>
 
e sottraendo membro a membro ottengo:
 
<math display="block">3x^2 = 3y^2</math>
 
cioè
 
<math display="block">x^2 = y^2 \quad \longrightarrow x = \pm y</math>
 
Se <math>x=y</math>, sostituendo nella terza equazione ottengo:
 
<math display="block">x^2+x^2+3x^2-2=0</math><math display="block">5x^2 = 2</math><math display="block">x_{1,2} = \pm \sqrt{2/5}</math>
 
invece se <math>x=-y</math> ottengo:
 
<math display="block">x^2+x^2-3x^2-2=0</math><math display="block">x^2 = -2</math>
 
e l'equazione non ha soluzioni reali. Allora gli unici possibili punti di minimo per <math>f</math> sono:
 
<math display="block">P_1 = (\sqrt{2/5}, \sqrt{2/5})</math><math display="block">P_2 = (-\sqrt{2/5}, -\sqrt{2/5})</math>
 
Allora
 
<math display="block">f(P_1) = f(P_2) = 2/5+2/5 = 4/5</math><math>P_1,P_2</math> sono i punti più vicini all'origine e la loro distanza dall'origine è <math>\frac{2}{\sqrt{5}}</math>.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.6|anchor=Esercizio7_6}}
 
Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della
 
funzione
 
<math display="block">f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\quad f(x,y)=x^4+y^4-8(x^2+y^2),</math>
 
sull'insieme <math>\{(x,y)\in\mathbb R^2:\, x^2+y^2\leq 9\}</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Considero prima la funzione <math>f</math> sulla circonferenza <math>x^2+y^2=9</math> applicando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
 
Definisco la funzione
 
<math display="block">G(x,y,\lambda) = x^4+y^4-8(x^2+y^2)+\lambda*(x^2+y^2-9)</math>
 
e risolvo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}G_x=4x^3-16x+2\lambda x =0 \\ G_y=4y^3-16y+2\lambda y=0 \\ G_\lambda=x^2+y^2=9 \end{sistema}</math>
 
Moltiplico la prima equazione per <math>y</math> e la seconda per <math>x</math>:
 
<math display="block">\begin{sistema}4x^3 y-16xy+2\lambda xy =0 \\ 4y^3 x-16xy+2\lambda xy=0 \\ x^2+y^2=9 \end{sistema}</math>
 
Sottraggo membro a membro le prime due equazioni:
 
<math display="block">4x^3y-4y^3 x=0</math><math display="block">x^3y-y^3 x=0</math>
 
Se <math>x \neq 0, y \neq 0</math>, dividendo per <math>xy</math>:
 
<math display="block">x^2-y^2=0, \longrightarrow x^2=y^2</math>
 
e sostituendo nella terza equazione:
 
<math display="block">x^2+x^2=9 \, \longrightarrow \, x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm 3\sqrt{2}/2</math>
 
Allora ottengo quattro possibili punti stazionari:
 
<math display="block">P_1(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})</math><math display="block">P_2(\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}})</math><math display="block">P_3(-\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})</math><math display="block">P_4(-\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}})</math>
 
 
Se invece <math>x=0</math>,
 
<math display="block">\begin{sistema}4y^3-16y+2\lambda y=0 \\ y^2=9 \end{sistema}</math>
 
Allora <math>y=\pm 3</math>, e sostituendo nella prima equazione ottengo il corrispondente valore per <math>\lambda</math>.
 
Allora anche <math>P_{3,4=(0,\pm 3}</math> e <math>P_{5,6}=(\pm 3,0)</math> (per simmetria nel ruolo di <math>x</math> e <math>y</math>) sono possibili punti stazionari.
 
 
 
Studio invece i punti stazionari di <math>f</math> all'interno del cerchio con il metodo dell'hessiana.
 
<math display="block">\nabla f = (4x^3-16x, 4y^3-16y)</math>
 
allora la prima componente del gradiente si annulla per <math>x=0, x=\pm 2</math> e la seconda per <math>y=0, y=\pm 2</math>, e di tutti i possibili punti che annullano il gradiente, l'unico appartenente al cerchio è <math>P_7=(0,0)</math>.
 
 
 
Valuto <math>f</math> nei punti trovati:
 
<math display="block">f(P_1) = f(P_2) = 2(\frac{3}{\sqrt{2}})^4-16(9/2) = 2*81/4-72 = 81/2-144/2 = -63/2</math><math display="block">f(P_3) = f(P_4) = f(P_5) = f(P_6) = 81-8*9 = 81-72 =9</math><math display="block">f(P_7) = 0</math>
 
Allora <math>P_{3,4}</math> e <math>P_{5,6}</math> sono punti di massimo, mentre <math>P_{1,2}</math> sono punti di minimo.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.7|anchor=Esercizio7_7}}
 
Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della
 
funzione
 
<math display="block">f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\quad f(x,y)=e^{xy},</math>
 
sull'insieme <math>\{(x,y)\in\mathbb R^2:y^2-1\leq x\leq 3\}</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Cerco punti di intersezione tra la retta <math>x=3</math> e la parabola <math>x=y^2-1</math>.
 
<math display="block">y^2-1=3</math><math display="block">y^2=4 \, \longrightarrow \, y=\pm 2</math>
 
Allora i punti di intersezione sono <math>P_1=(3,2)</math> e <math>P_2=(3,-2)</math>.
 
 
 
L'insieme è costituito da tutti i punti che si trovano a sinistra della retta verticale <math>x=3</math> e a destra della parabola rivolta verso destra <math>x=y^2-1</math>.
 
 
 
Cerco prima punti estremanti della funzione all'interno dell'insieme:
 
<math display="block">f_{x} = y*e^{xy}, \, f_y = x*e^{xy}</math>
 
e l'unico punto stazionario è <math>P_1=(0,0)</math>, che sta nell'insieme.
 
 
 
Cerco ora possibili punti estremanti sul bordo dell'insieme con il criterio dei moltiplicatori di Lagrange, separatamente sulle due parti del bordo. I vincoli sono:
 
<math display="block">x-3=0, \, x+1-y^2=0</math>
 
e si tiene conto che <math>-2 \le y \le 2</math>.
 
 
 
Definisco prima la funzione:
 
<math display="block">G_1(x,y,\lambda) = e^{xy}+\lambda(x-3)</math>
 
per cercare i possibili punti estremanti di <math>f</math> vincolati alla retta, risolvendo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}y*e^{xy}+\lambda=0 \\x*e^{xy}=0 \\ x-3 =0\end{sistema}</math>
 
ma questa funzione non ha punti stazionari, perché il sistema ha due equazioni inconsistenti.
 
 
 
Definisco poi:
 
<math display="block">G_2(x,y,\mu) = e^{xy}+\mu(x+1-y^2)</math>
 
e, per trovare i possibili punti estremanti vincolati alla parabola, risolvo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}y*e^{xy}+\mu=0 \\x*e^{xy}-2\mu y=0 \\ x+1-y^2=0\end{sistema}</math>
 
Dalla prima equazione ricavo <math>\mu = -y*e^{xy}</math> e sostituendo nella seconda equazione ottengo <math>x*e^{xy}+2y^2 e^{xy}=0</math>. Ci si riconduce al sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}x=-2y^2 \\ x=y^2-1 \end{sistema}</math><math display="block">\longrightarrow \, -2y^2 = y^2-1</math><math display="block">3y^2=1 \, \longrightarrow y=\pm \sqrt{1/3}</math>
 
e quindi:
 
<math display="block">x = -2*1/3 = -2/3</math>
 
e ho due altri possibili punti di massimo e minimo:
 
<math display="block">P_{2,3}=(-2/3, \pm \sqrt{1/3})</math>
 
Allora
 
<math display="block">f(P_1) = e^0 = 1</math><math display="block">f(P_2) = e^{-2/3*\sqrt{1/3}} = e^{-2/3*\sqrt{3}/3} = e^{\frac{-2\sqrt{3}}{9}}</math><math display="block">f(P_3) = e^{\frac{2\sqrt{3}}{9}}</math>
 
e quindi <math>P_3</math> è punto di massimo, <math>P_2</math> è punto di minimo.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.8|anchor=Esercizio7_8}}
 
Si trovino i punti di massimo e di minimo assoluti della
 
funzione
 
<math display="block">f:\mathbb R^3\to\mathbb R,\quad f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2,</math>
 
sull'insieme <math>\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: \, x^2+y^2+z^2\leq 1,\,  y\geq 0\}</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
L'insieme considerato è la metà destra della sfera  di raggio 1 e centro nell'origine. Cerco prima i punti che annullano il gradiente della funzione e che stanno all'interno della sfera:
 
<math display="block">\nabla f = (2x,2y,-2z)</math>
 
e l'unico punto che annulla il gradiente è <math>P_1=(0,0,0)</math>.
 
 
 
Negli altri casi applico il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, e devo cercare i punti estremanti della funzione sulla superficie della semisfera, e quindi separatamente sugli insiemi <math>\{y=0, z^2+x^2=1 \}</math> e su <math>\{ x^2+y^2+z^2=1, y\ge 0 \}</math>.
 
 
#Nel caso <math>y=0</math> definisco la funzione:<math display="block">G_1(x,y,z,\lambda) = x^2+y^2-z^2+\lambda*(x^2+z^2-1)+\mu y</math>e risolvo<math display="block">\begin{sistema}2x+2\lambda x=0 \\ 2y+\mu=0 \\ -2z+2\lambda z=0 \\ x^2+z^2=1 \\ y=0\end{sistema}</math><math>y=0</math> implica <math>\mu=0</math>.Se <math>x=0</math>, ottengo:<math display="block">\begin{sistema}-2z+2\lambda z=0 \\ z^2=1\end{sistema}</math>cioè <math>z=\pm 1</math>, e ho i punti <math>P_{2,3}(0,0,\pm 1)</math>.Se <math>z=0</math>, ottengo i punti <math>P_{4,5}(\pm 1,0,0)</math>.Altrimenti divido per <math>x</math> e per <math>z</math> e ottengo:<math display="block">\begin{sistema}1+\lambda=0 \\ -1+\lambda=0 \\ x^2+z^2=1\end{sistema}</math>e ho due equazioni inconsistenti per <math>\lambda</math>, quindi non esistono altri punti stazionari.
 
#Nel caso dei punti che stanno sulla superficie della semisfera, definisco la funzione:<math display="block">G_2(x,y,z,\mu) = x^2+y^2-z^2+\mu*(x^2+y^2+z^2-1)</math>e tengo conto che <math>y > 0</math>.<math display="block">\begin{sistema}2x+2\mu x=0 \\ 2y+2\mu y=0 \\ 2z-2\mu z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1 \end{sistema}</math>Nei casi in cui <math>z=0</math> ma <math>x \neq 0, y \neq 0</math>  si ottiene:<math display="block">\begin{sistema}\mu=-2 \\ x^2+y^2=1 \end{sistema}</math>e tutti i punti della circonferenza <math>P^{\ast}=x^2+y^2=1</math>, con <math>y>0</math>, sono punti stazionari per <math>G</math>. Invece nei casi <math>x=0</math> oppure <math>y=0</math> ma <math>z \neq 0</math> ottengo equazioni inconsistenti. Infine, nel caso <math>y \neq 0</math> e <math>x=z=0</math>, ottengo i punti <math>P_{6,7}=(0,\pm 1,0)</math>.
 
 
 
Valuto <math>f</math> nei punti trovati:
 
<math display="block">f((0,0,0)) = 0</math>
 
<math display="block">f((0,0,\pm 1)) = -1</math>
 
<math display="block">f((0,\pm 1,0)) = 1</math>
 
<math display="block">f((\pm 1,0,0)) = 1</math>
 
<math display="block">E = \{(x,y,z) \, t.c. x^2+y^2=1, z=0 \} \, \longrightarrow \, f(E) = 1</math>
 
allora i punti di <math>E</math> e i punti <math>(0,\pm 1,0)</math> e <math>(\pm 1,0,0)</math> sono di massimo, mentre i punti <math>(0,0,\pm 1)</math> sono di minimo.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.9|anchor=Esercizio7_9}}
 
Dato <math>a\in(0,+\infty)</math>, si scriva <math>a</math> come somma
 
di tre addendi non negativi in modo tale che il prodotto dei tre
 
addendi sia massimo.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Il vincolo è dato da:
 
<math display="block">a = x+y+z, \, x>0, y>0, z>0</math>
 
e devo calcolare il massimo della funzione:
 
<math display="block">f = xyz</math>
 
 
Cerco punti stazionari della funzione:
 
<math display="block">G(x,y,z,\lambda) = xyz+\lambda(x+y+z-a)</math>
 
Risolvo il sistema:
 
<math display="block">\begin{sistema}g_x = yz+\lambda=0 \\ g_y = xz+\lambda=0 \\ g_z = xy+\lambda=0 \\ g_\lambda = x+y+z-a=0\end{sistema}</math>
 
Se <math>(x,y,z) \neq 0</math>:
 
<math display="block">\begin{sistema}\lambda = \frac{-1}{yz} \\ \lambda=\frac{-1}{xz} \\ \lambda=\frac{-1}{xy} \\ x+y+z-a=0\end{sistema}</math>
 
Eguagliando la prima e la seconda equazione:
 
<math display="block">\frac{1}{yz} = \frac{1}{xz}</math>
 
cioè
 
<math display="block">\frac{1}{y} = \frac{1}{x}</math>
 
e quindi <math>x=y</math>. Analogamente si ricava <math>y=z</math>, quindi <math>x=y=z</math>.
 
 
 
Siccome si ha:
 
<math display="block">xyz=a</math>
 
si ha
 
<math display="block">x=y=z=\sqrt[3]{a}</math>
 

Versione attuale delle 22:26, 11 set 2017

Vogliamo trovare punti di massimo e minimo per una funzione:

che sia vincolata dall'equazione:
per .

  1. In primo luogo si esaminano i punti tali che la matrice che ha come righe i gradienti delle non ha rango massimo. Questi punti si dicono punti singolari per il vincolo e si studiano a parte.
  2. Sia un punto regolare per i vincoli. Se un punto è vincolato (di massimo o minimo), allora esistono numeri reali tali che:
    cioè i punti vincolati corrispondono ai punti critici della lagrangiana:
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