Integrali tripli

Richiami teorici

integrazione per fili
Sia un sottoinsieme limitato. Supponiamo che

Se è integrabile su , allora:

Integrazione per strati
in questo caso si calcola prima un integrale doppio e poi uno semplice.

Considero l'insieme limitato. Supponiamo di sapere che

(compreso tra due iperpiani).


Definisco gli insiemi

ottenuti intersecando l'insieme con un iperpiano di altezza .


Allora

cambio variabili
Sia un aperto misurabile di e sia una funzione. Sia tale che con , .

Supponiamo che sia di classe su tutto con derivate parziali limitate, che sia invertibile tra e l'immagine , e supponiamo che il determinante jacobiano della trasformazione indicato con sia diverso da 0. Se è integrabile in , allora:

A parte in casi noti del cambio di variabile, non è facile ricavare le relazioni e .


Esercizio 9.10

Calcolare l'integrale triplo:

con

 


Studio del dominio: è contenuto nell'intersezione tra i due cilindri:

Siccome compare in tutte e due le equazioni, scelgo come ultima variabile di integrazione; si possono esprimere e in funzione di attraverso le equazioni:

Per determinare l'intervallo in cui varia , osservo che:

e si ha quindi .


Calcolo dell'integrale:

Integro prima rispetto a :
Integro rispetto a :
Integro rispetto a :


Esercizio 9.11

Si consideri il cono . Calcolare

 

La scrittura del dominio e dell'integranda diventano più semplice se passo a coordinate cilindriche, infatti ottengo che

Inoltre, implica , con , integro quindi sul dominio:
e tengo come prima variabile di integrazione. Tenendo conto che il determinante jacobiano della trasformazione scelta è , l'integrale da calcolare
diventa:
Spezzo in due l'integrale, ponendo con
Integro per parti:
Quindi


Esercizio 9.12

Si calcoli il volume di .

 


Studio del dominio: Dalla disuguaglianza che definisce , si deduce e con il metodo del completamento del quadrato:

e tutti i punti dell'insieme stanno all'interno della circonferenza di centro e raggio .


In questo caso, passare alle coordinate cilindriche centrate nell'origine non porta a semplificazioni nella scrittura del dominio, allora scelgo le coordinate cilindriche centrare in , ponendo

in modo che tutti i punti del dominio stanno all'interno della circonferenza , mentre l'intervallo in cui varia si scrive come:

Calcolo dell'integrale:


Esercizio 9.13

Si calcoli

dove .

 


Studio del dominio: I punti stanno all'interno della sfera di raggio definita dall'equazione , inoltre

quindi i punti stanno all'interno del cilindro di centro e di raggio .


E' conveniente passare alle coordinate cilindriche:

in modo da poter scrivere il dominio in una forma più semplice: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} \rho^2 \cos^2 \theta+\rho^2 \sin^2 \theta+2\rho \sin \theta+1+z^2 \le 4 \\ \rho^2 \cos^2 \theta+\rho^2 \sin^2 \theta+1+2\rho \sin \theta-2 \rho \sin \theta -2 \le 0 \end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \longrightarrow \, \begin{sistema}\rho^2+2\rho \sin \theta+z^2 \le 3 \\ \rho^2 \le 1 \end{sistema}} Si possono quindi determinare gli intervalli in cui variano e : si ha , , mentre
e quindi bisogna integrare prima in .


Calcolo dell'integrale:

Sto integrando una funzione pari su un dominio simmetrico rispetto a 0, quindi:


Esercizio 9.14

Si calcoli il baricentro di una calotta sferica riempita di materiale omogeneo, definita dalle equazioni:

dove è il raggio della sfera e il raggio della calotta.

 


La prima disequazione che descrive la calotta indica che i punti devono stare all'interno della sfera di raggio , la seconda disequazione esclude dal dominio la parte di sfera al di sotto della sezione circolare di raggio .


Supponiamo di avere un corpo con una densità di massa . Le coordinate del baricentro sono:

Dobbiamo calcolare il volume di , e i tre integrali tripli per le coordinate.


Osservo che il dominio è simmetrico rispetto all'asse e dimostro che , questo equivale a dimostrare che

in modo che la somma dei due integrali sia nulla. Introduco il cambio di variabili:
La matrice associata a questo cambio di variabili è:
e quindi la trasformazione è invertibile ed è un diffeomorfismo.


Se , allora (perché il dominio è simmetrico rispetto all'asse x). Allora

e quindi, avendo dimostrato la formula , .


Analogamente si dimostra che .


Per calcolare integro per strati, infatti, intersecando la calotta con un piano orizzontale si ottengono tanti strati a forma di cerchio, definiti come:

Per determinare l'intervallo in cui varia , osservo che , inoltre,
quindi si conclude:

Ottengo:

è un cerchio di raggio e ha area , e sostituendo quest'espressione nell'integrale da calcolare:

Calcolo il volume della calotta.

quindi


Esercizio 9.15

Calcolare il volume di:

 


Studio del dominio: Per determinare l'intervallo in cui varia , osservo che:

Si può quindi integrare per strati, dove le sezioni di rispetto all'asse sono definite come:

Calcolo dell'integrale:

Calcolo l'area di ogni strato : siccome nella definizione compare il termine e è fissato, è conveniente passare alle coordinate polari.

Con il cambio di coordinate, l'equazione che definisce in termini di e è:
Non ci sono restrizioni su , che varia in .


Se chiamo la trasformazione nelle coordinate polari, allora , con

quindi

Per calcolare la misura di :

e posso porre .
Siccome
segue che


Esercizio 9.16

Considerando l'esercizio precedente, trovare lo stesso risultato usando le coordinate cilindriche e integrando prima in .

 

Utilizzo il cambio di variabili :

In questo caso, per poter integrare prima in , voglio esprimere in funzione di partendo dall'equazione:

Determino gli intervalli in cui variano e .

e questo è vero se e solo se , mentre .
L'integrale più esterno dà solo il contributo .
Pongo . Se . Se
e questo vale perché l'ultimo termine è l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico.


Esercizio 9.17

Calcolare

con

 

La prima disuguaglianza che definisce rappresenta una sfera, la seconda si può riscrivere come:

dove l'equazione descrive un cono con la superficie circolare, rivolto verso l'alto, mentre descrive un cono rivolto verso il basso.


è l'insieme dei punti che stanno dentro la sfera, e che sono compresi tra le superficie dei due coni.


Uso le coordinate sferiche:

Il dominio si trasforma in
Dev'essere quindi
e per la disuguaglianza è verificata per .


Nelle nuove coordinate il dominio è

Siccome la funzione è continua e limitata su un insieme limitato è possibile passare a coordinate sferiche:
e siccome l'integrando non dipende da


Esercizio 9.18

Considerare l'integrale

che si riduce integrando per fili rispetto a a
dove

  1. Impostare il calcolo dell'integrale per strati rispetto a
  2. Trasformare l'esercizio in coordinate cilindriche e ridurre l'integrale a tre integrali successivi.
 


Studio del dominio: descrive un cono rivolto verso l'alto, mentre descrive un paraboloide circolare con vertice nel punto e con concavità rivolta verso il basso. I punti del solido sono compresi tra le superfici del paraboloide (in alto) e quella del cono (in basso).


Determino per via analitica la curva in cui si intersecano il cono e il paraboloide:

Pongo
Allora la curva di intersezione è la circonferenza che ha come proiezione sull'asse z. Si osserva che questa è La circonferenza di raggio massimo nel solido, infatti tutti i punti del dominio sono definiti dall'equazione:
.


Integrazione per strati: Definiamo l'insieme:

Quindi il calcolo dell'integrale si imposta in questo modo:

Passaggio alle coordinate cilindriche:

L'integrale si imposta come:


Esercizio 9.19

Calcolare:

con

 


La prima equazione del dominio descrive un cono di sezione ellittica centrato in , cioè, intersecando il cono con un piano del tipo ottengo gli insiemi:

Quindi è conveniente integrare per strati rispetto a :

Il dominio non è a simmetria cilindrica quindi in questo caso usare le coordinate cilindriche non dà buoni risultati, introduco invece le coordinate ellittico-polari: pongo

in modo che l'equazione che definisce il dominio, , si possa riscrivere come
e in modo che seno e coseno non compaiano più.


Calcolo il determinante jacobiano di questo cambio di variabili:

Calcolo prima l'integrale su :

Complessivamente ottengo l'integrale:
Integro per sostituzione:
Spezzo l'integrale in due addendi:
con
Prima calcolo e integro per parti :
Osservo che , quindi:
Si ha quindi:
Invece
Pongo , in modo che .
Quindi complessivamente:

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