Integrali doppi

Esercizio 9.1

Calcolare l'integrale doppio su della funzione

con

 


Studio del dominio :

Questo significa che il dominio è delimitato ai lati dalle rette verticali , si trova sotto la parabola rivolta verso l'alto di vertice e sopra la retta passante per e parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.


Non ci sono punti di intersezione tra la retta e la parabola. Invece, la retta interseca la parabola in e la retta in , e la retta interseca la parabola in e la retta in .


Il denominatore si annulla se e solo se

ma questa retta, parallela a , non interseca il dominio .


Allora è continua e integrabile su .


Calcolo dell'integrale:

Calcolo prima l'integrale interno, e cerco una primitiva di considerando come variabile:


Esercizio 9.2

Calcolare, dopo aver invertito l'ordine di integrazione,

 


Osservo che

allora la funzione è continua e integrabile.


Studio del dominio: Per poter invertire l'ordine di integrazione, è necessario riscrivere il dominio dato

come una regione -semplice nella forma:
Determino quindi .


Dalla definizione di ricavo che:

quindi, siccome , la disuguaglianza può essere soddisfatta solo per negative.


Inoltre dev'essere:

e per si ha:
per l'argomento della radice è positivo, e posso elevare al quadrato:
e il dominio è delimitato dalla semicirconferenza di raggio 1 e centro nell'origine.


Riassumendo, l'insieme sta nel secondo quadrante ( negative), ed è delimitato dal basso dalla retta e dall'alto dalla semicirconferenza .


Quindi , e siccome

si ha .


Gli estremi e dell'intervallo in cui varia sono le ascisse dei punti di intersezione tra la retta e la semicirconferenza, . Quindi .


Quindi si scrive come

Calcolo dell'integrale:

Integro per parti :

e quindi sostituendo nell'integrale da calcolare:


Esercizio 9.3

Calcolare l'area dell'insieme

 


Studio del dominio:


L'area di un insieme limitato di è data da:

Le disuguaglianze che definiscono sono
Si ricava inoltre , quindi
La prima equazione ha soluzioni , e la seconda ha soluzione .


In conclusione è delimitato dalle due rette verticali , ed è formato da quattro spicchi, uno in ogni quadrante, delimitati da un arco di parabola e dalla retta .


Siccome il dominio è simmetrico, basta calcolare l'area di uno spicchio e moltiplicarla per 4: la simmetria di si deduce anche dalla definizione, infatti implica , , .


Lo spicchio nel primo quadrante si può scrivere come regione -semplice:

Calcolo dell'integrale:


Esercizio 9.4

Calcolare

con

 


Studio del dominio: L'equazione implica che è un sottoinsieme di un cerchio di centro nell'origine e di raggio . Invece

Usando i metodi del completamento del quadrato:
cioè i punti dell'insieme stanno all'esterno della circonferenza di centro e raggio 1, che interseca l'asse in e .


Siccome considero solo l'intersezione tra il dominio e il primo quadrante.


Spezzo il dominio in due parti: per , il dominio è compreso tra gli archi di e , mentre per il dominio è compreso tra la retta e un arco di . In particolare è unione disgiunta di e con:

Calcolo dell'integrale: per la proprietà di additività dell'integrale:

Calcolo i due integrali separatamente:
L'integrale è ben definito perché il denominatore non si annulla in .
Eseguo la divisione:
allora


Esercizio 9.5

Calcolare l'integrale doppio

dove è il trapezio di vertici , , e .

 


Studio del dominio: Il dominio è una regione x-semplice, in cui , mentre è delimitata da due rette: dal basso è delimitata da:

mentre dall'alto è delimitato da .


Calcolo dell'integrale:

Integro i due addendi per parti:
quindi tornando all'integrale di partenza

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