Esercizi difficili

Esercizio 9.20

Calcolare

con

 


L'insieme è un sottoinsieme del primo quadrante, e è compresa tra due rami di iperbole e due rami di parabola. Integrare con la formula di riduzione in questo caso non conviene, perché bisognerebbe spezzare il dominio in tre parti.


Osservo che con la sostituzione , , il dominio

si riscrive come

Verifico che il cambio di variabile scelto sia invertibile. Ponendo e , la corrispondenza che associa a la coppia è suriettiva per definizione. Dobbiamo verificare che è iniettiva: siano e due punti in . Supponiamo che e e ci chiediamo se questo implica e .

Sostituisco nella disuguaglianza:
ottengo:
se e solo se , e risostituendo nell'altra relazione si ottiene anche . Allora l'iniettività è verificata e la trasformazione è invertibile.


In genere non è possibile trovare le inverse di in forma esplicita, però vale il seguente risultato: ponendo , si ha:

Applico questa formula per trovare senza dover calcolare esplicitamente l'inversa di :

Allora applico la formula del cambio di variabili:


Esercizio 9.21

Calcolare

 


Calcolo l'integrale per i primi valori di :

  1. Ponendo
    Per additività:
    Analogamente
    Quindi
  2. Il dominio si divide in sei sottoinsiemi del tipo:
    con permutazione di , e tali permutazioni sono sei.Calcolo l'integrale su ciascuno di questi sottoinsiemi.
    bisogna tenere sempre l'integrale con la variabile massima per ultimo. Il valore di questo integrale non dipende da , allora l'integrale sul cubo si spezza in 6 integrali che hanno tutti lo stesso valore.
    Poniamo
    Quindi
  3. La successione ha termini
    e facciamo la congettura:
    Osservo che l'integrale triplo:
    equivale a
    Inoltre, il dominio si divide in sottoinsiemi della forma
    e di conseguenza
    si spezza nella somma di integrali, che hanno tutti lo stesso valore.
    In base all'osservazione precedente posso cambiare l'ordine di integrazione in questo modo:
    con massimo nell'insieme. Allora può essere portato fuori da tutti gli integrali tranne dall'ultimo.
    Dimostro per induzione la proprietà , cioè:
    Passo base: per ,
    Passo induttivo: supponiamo che la proprietà valga per , e la dimostriamo per .
    Questo completa la dimostrazione induttiva, la proprietà è verificata per ogni n.Complessivamente:
  4. Infine, il limite richiesto vale
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