Richiami teorici

Consideriamo una superficie parametrizzata regolare, cioè un'applicazione regolare, e consideriamo continua. Allora, supponendo che si può definire l'integrale di superficie:

come
In particolare, se considero una SUPERFICIE CARTESIANA della forma:
con , cioè una superficie che è il grafico di una funzione di due variabili, vale la formula:


Esercizio 10.1

Si calcoli l'area della superficie , .

 

Chiamando il dominio parametrico della superficie, l'area di è definita come:


Esercizio 10.2

Calcolare l'integrale di sulla superficie

 


Parametrizzo la superficie come:

Il dominio di è dato da:
Deve quindi essere
questa è una superficie di rotazione, nella quale .
Applicando la definizione, l'integrale di sulla superficie è:
Per calcolare l'integrale doppio passo a coordinate polari:
Integro per sostituzione ponendo , ,


Esercizio 10.3

Calcolare l'integrale:

con
il cui dominio è:

 

Calcolo:

Calcolo l'integrale:
In , quindi .
Il dominio, definito da:
è una regione -semplice, infatti , invece , quindi integro prima in .


Esercizio 10.4

Calcolare l'area della superficie

il cui dominio parametrico è dato da

 


Il dominio parametrico è un'ellisse centrata nell'origine. Inoltre

è una superficie cartesiana, quindi uso la formula per determinarne l'elemento d'area :
L'area si calcola quindi come:
Introduco le coordinate ellittico-polari, e riscrivo il dominio come:
Pongo:
Con il cambio di variabili l'equazione che definisce il dominio diventa:
quindi
Calcolo il determinante jacobiano della trasformazione:
Risolvo l'integrale per sostituzione:


Esercizio 10.5

Calcolare l'integrale:

dove

 


La disuguaglianza definisce l'interno di un cerchio. Con il metodo del completamento dei quadrati ottengo:

cioè il dominio parametrico della superficie è dato da un cerchio di raggio e centro in , a cui tolgo lo spicchio in cui e .


La superficie ha equazioni parametriche: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x=u \\ y=v \\ z=u^2+v^2\end{sistema}} ed è una superficie cartesiana, con , allora vale la formula:

Allora integrando, e scrivendo ottengo:
Spezzo in due parti e lo scrivo come:
è un dominio simmetrico rispetto alla variabile ed è la metà superiore del cerchio, allora l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico è nulla, e rimane da calcolare:
Scrivo le disuguaglianze che definiscono :
Inoltre si ha :


Esercizio 10.6

Si calcoli

dove è la semisfera superiore di centro l'origine e raggio .

 


La semisfera si parametrizza con le coordinate:

Quindi
Calcolo i quattro integrali:

  1. Integro per parti :
    ed eguagliando al primo membro:
    Quindi si ha

Quindi complessivamente si ottiene:


Esercizio 10.7

Si calcoli l'area della superficie regolare di sostegno

 

Parametrizzo la superficie come:

Determino il dominio su cui è definita:
quindi
Inoltre:
Quindi in conclusione:
e quindi
Come già calcolato precedentemente:
Quindi l'area di questa superficie è:

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