Richiami teorici

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con <math>(x,y) \in A \subset \mathbb R^2</math>, cioè una superficie che è il grafico di una funzione di due variabili, vale la formula:
 
con <math>(x,y) \in A \subset \mathbb R^2</math>, cioè una superficie che è il grafico di una funzione di due variabili, vale la formula:
 
<math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{1+|\nabla f(u,v)|^2}.</math>
 
<math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{1+|\nabla f(u,v)|^2}.</math>
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.1|anchor=Esercizio10_1}}
 
Si calcoli l'area della superficie
 
<math>\phi:[0,\pi]\times[0,1]\to\mathbb R^3</math>, <math>\phi(u,v)=(\cos u,\sin u, v)</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
Chiamando <math>K</math> il dominio parametrico della superficie, l'area di <math>\phi</math> è definita come:
 
<math display="block">A = \int_K \vert \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v} \vert \, du \, dv</math><math display="block">\frac{\partial \phi}{\partial u} = (-\sin u, \cos u,0)</math><math display="block">\frac{\partial \phi}{\partial v} = (0,0,1)</math><math display="block">\phi_u \times \phi_v = (\cos u,\sin u, 0)</math><math display="block">\vert \phi_u \times \phi_v \vert = \sqrt{\cos^2 u+\sin^2 u} = 1</math><math display="block">A = \int_0^{\pi} [\int_0^1 1\, dv] \, du</math><math display="block">A = \int_0^{\pi} 1 \, du = \pi</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.2|anchor=Esercizio10_2}}
 
Calcolare l'integrale di <math>f = \frac1{z^2}</math> sulla superficie
 
<math display="block">\Sigma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \, t.c. \, z = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, \, 1 \le z \le 2 \}.</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Parametrizzo la superficie come:
 
<math display="block">\Sigma = \{ x=u, \, y = v, \, z = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \}</math>
 
Il dominio di <math>\Sigma</math> è dato da:
 
<math display="block">E_ = \{ (u,v) \, t.c. \, 1 \le \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \le 2 \}</math>
 
Deve quindi essere
 
<math display="block">1/2 \le \sqrt{u^2+v^2}^{1/2} \le 1</math><math display="block">1/4 \le u^2+v^2 \le 1</math>
 
questa è una superficie di rotazione, nella quale <math>z=f(x,y)</math>.
 
<math display="block">\Sigma_u = \frac{\partial \Sigma}{\partial u} = (1,0,-u*(u^2+v^2)^{-3/2})</math><math display="block">\Sigma_v = \frac{\partial \Sigma}{\partial v} = (0,1, -v(u^2+v^2)^{-3/2})</math><math display="block">\Sigma_u \times \Sigma_v = [u*(u^2+v^2)^{-3/2},(u^2+v^2)^{-3/2} v,1]</math><math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{(u^2+v^2)^{-3}*u^2+(u^2+v^2)^{-3}*v^2+1}</math><math display="block">= \sqrt{\frac{u^2+v^2}{(u^2+v^2)^3}+1}</math><math display="block">= \sqrt{1+\frac{1}{(u^2+v^2)^2}}</math><math display="block">f=\frac{1}{z^2} \, \longrightarrow \, f = (u^2+v^2)^2</math>
 
Applicando la definizione, l'integrale di <math>f</math> sulla superficie è:
 
<math display="block">\int_E (u^2+v^2)^2 \sqrt{1+\frac{1}{(u^2+v^2)^2}} \, du \, dv</math><math display="block">E = \{ (u,v) \in \mathbb R^2 \, t.c. 1/4 \le u^2+v^2 \le 1 \}</math>
 
Per calcolare l'integrale doppio passo a coordinate polari:
 
<math display="block">u = \rho \cos \theta, \, v= \rho \sin \theta</math><math display="block">T^{-1} E = \{ (\rho, \theta) \, t.c. \, 1/2 \le \rho \le 1, \, 0 \le \theta \le 2\pi \}</math><math display="block">\det J_T = \rho</math><math display="block">\int_{T^{-1} E} \rho^4 \sqrt{1+\frac{1}{\rho^4}} \rho \, d\rho \, d\theta</math><math display="block">=\int_0^{2\pi} \int_{1/2}^1 \rho^4 \sqrt{1+\frac{1}{\rho^4}} \rho \, d\rho \, d\theta</math><math display="block">2\pi \int_{1/2}^1 \rho^5 \sqrt{1+\frac{1}{\rho^4}} \, d\rho</math><math display="block">2\pi \int_{1/2}^1 \rho^5*\frac{1}{\rho^2} \sqrt{\rho^4+1} \, d\rho</math><math display="block">2\pi \int_{1/2}^1 \rho^3 \sqrt{\rho^4+1} \, d\rho</math>
 
Integro per sostituzione ponendo <math>\rho^4+1=t</math>, <math>4 \rho^3 \, d\rho = dt</math>,
 
<math display="block">\rho=1 \, \longrightarrow \, t = \rho^4+1 = 2</math><math display="block">\rho = 1/2 \, \longrightarrow \, t=\rho^4+1 = 17/16</math><math display="block">2\pi \int_{17/16}^2 1/4 \sqrt{t} \, dt =</math><math display="block">1/2 \pi [2/3 t^{3/2}]_{17/16}^2  =</math><math display="block">= \pi/3 [\sqrt{8}-\sqrt{(17/16)^3}]</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.3|anchor=Esercizio10_3}}
 
Calcolare l'integrale:
 
<math display="block">\int_{\Sigma} \frac{x^2+y^2}{z^3} \, d\Sigma</math>
 
con
 
<math display="block">\Sigma = x=\sin (uv), \, y = \cos (uv), \, z = u</math>
 
il cui dominio è:
 
<math display="block">E = \{ 1/2 \le  u \le v, \quad v < 1 \}.</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
Calcolo:
 
<math display="block">\Sigma_u (u,v) = (\cos (uv)*v, -\sin (uv)*v, 1)</math><math display="block">\Sigma_v (u,v) =  (\cos (uv) u, -u*\sin (uv), 0)</math><math display="block">\Sigma_u \times \Sigma_v = (\sin (uv)*u, \cos (uv)*u, -\cos (uv)*\sin (uv)*uv+\sin (uv)*\cos (uv)*uv) = (\sin (uv)*u, \cos (uv)*u, 0)</math><math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{\sin^2(uv)*u^2+\cos^2(uv)*u^2} = \sqrt{u^2} = |u|</math>
 
Calcolo l'integrale:
 
<math display="block">\int_E \frac{\cos^2 (uv)+\sin^2 (uv)}{u^3}*|u| \, du \, dv</math><math display="block">\int_E \frac{|u|}{u^3} \, du \, dv</math><math display="block">E = \{ 1/2 \le u \le v, \, v \le 1 \}</math>
 
In <math>E</math><math>u>0</math>, quindi <math>u=|u|</math>.
 
<math display="block">\int_E \frac{1}{u^2} \, du \, dv</math>
 
Il dominio, definito da:
 
<math display="block">1/2 \le u \le v \le 1</math>
 
è una regione <math>v</math>-semplice, infatti <math>u \le v \le 1</math>, invece <math>1/2 \le u \le 1</math>, quindi integro prima in <math>dv</math>.
 
<math display="block">\int_{1/2}^1 [\int_u^1 \frac{1}{u^2} \, dv] \, du</math><math display="block">\int_{1/2}^1 \frac{1-u}{u^2}  \, du</math><math display="block">\int_{1/2}^1 \frac{1}{u^2} \, du-\int 1/u \, du</math><math display="block">[-1/u-\log u]_{1/2}^1 = -1+2-\log 1+\log 1/2 = 1+\log 1/2</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.4|anchor=Esercizio10_4}}
 
Calcolare l'area della superficie
 
<math display="block">\Sigma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \, t.c. \, z=1/2 (x^2+2y^2) \}</math>
 
il cui dominio parametrico è dato da
 
<math display="block">x^2+4y^2 \le 8</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
Il dominio parametrico è un'ellisse centrata nell'origine. Inoltre
 
<math display="block">\Sigma(u,v) = \{ x=u, \, y=v, \, z=(1/2*u^2+2v^2) \}</math>
 
è una superficie cartesiana, quindi uso la formula per determinarne l'elemento d'area <math>d\Sigma</math>:
 
<math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{1+|\nabla z|^2}</math><math display="block">z_u = u, \quad z_v = 2v</math><math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{1+u^2+4v^2}</math>
 
L'area si calcola quindi come:
 
<math display="block">A_\Sigma = \int_{\{ u^2+4v^2 \le 8 \}} \sqrt{1+u^2+4v^2} \, du \, dv</math>
 
Introduco le coordinate ellittico-polari, e riscrivo il dominio come:
 
<math display="block">\{ (u,v) \, t.c. \, u^2/8+v^2/2 \le 1 \}</math>
 
Pongo:
 
<math display="block">u = 2 \sqrt{2} \rho \cos \theta, \, v = \sqrt{2} \rho \sin \theta</math>
 
Con il cambio di variabili l'equazione che definisce il dominio diventa:
 
<math display="block">u^2/8+v^2/2 = \rho^2 \le 1</math>
 
quindi
 
<math display="block">T^{-1}(D) = \{ (\rho,\theta) \, t.c. \, 0<\theta<2\pi, \, 0\le \rho \le 1 \}</math>
 
Calcolo il determinante jacobiano della trasformazione:
 
<math display="block">J_T = \left(\begin{array}{cc}2\sqrt{2} \cos \theta & -2\sqrt{2} \rho \sin \theta  \\\sqrt{2} \sin \theta & \sqrt{2} \rho \cos \theta \end{array} \right)</math><math display="block">\det J_T =  2\sqrt{2}\cos \theta \sqrt{2} \rho \cos \theta+2\sqrt{2} \sqrt{2} \rho \sin^2 \theta = 4 \rho</math><math display="block">\int_0^{2\pi} [\int_0^1 4\rho \sqrt{1+8\rho^2 \cos^2 \theta+8\rho^2 \sin^2 \theta}\, d\rho] \, d\theta</math><math display="block">\int_0^{2\pi} [\int_0^1 4\rho \sqrt{1+8\rho^2}\, d\rho] \, d\theta</math>
 
Risolvo l'integrale per sostituzione:
 
<math display="block">t = 8\rho^2+1, \, \longrightarrow \, dt = 16 \rho d\rho</math><math display="block">\rho =1 \, \longrightarrow \, t =9</math><math display="block">\rho =0 \, \longrightarrow \, t = 1</math><math display="block">1/4*2\pi \int_1^9  \sqrt{t}\, dt</math><math display="block">\pi/2 2/3 [t^{3/2}]_1^9 =</math><math display="block">\pi/3 [9^{3/2}-1] = \pi/3*(27-1) = 26\pi/3</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.5|anchor=Esercizio10_5}}
 
Calcolare l'integrale:
 
<math display="block">\int_\Sigma \frac{x}{\sqrt{4z+1}} \, d\Sigma</math>
 
dove
 
<math display="block">\Sigma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \, t.c. \,  z=x^2+y^2, \wedge x^2+y^2-y \le 0, \, y \ge 1/2 \vee x \ge 0 \}.</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
La disuguaglianza <math>x^2+y^2-y \le 0</math> definisce l'interno di un cerchio. Con il metodo del completamento dei quadrati ottengo:
 
<math display="block">x^2+y^2-y+1/4 \le 1/4</math><math display="block">x^2+(y-1/4)^2 \le 1/4</math>
 
cioè il dominio parametrico <math>A</math> della superficie è dato da un cerchio di raggio <math>1/2</math> e centro in <math>(0,1/2)</math>, a cui tolgo lo spicchio in cui <math>x \le 0</math> e <math>y \le 1/2</math>.
 
 
 
La superficie ha equazioni parametriche:
 
<math display="block">\begin{sistema}x=u \\ y=v \\ z=u^2+v^2\end{sistema}</math>
 
ed è una superficie cartesiana, con <math>f(x,y) = x^2+y^2</math>, allora vale la formula:
 
<math display="block">\vert \Sigma_u \times \Sigma_v \vert = \sqrt{1+(|\nabla f|)^2} = \sqrt{1+4x^2+4y^2}</math>
 
Allora integrando, e scrivendo <math>\frac{x}{\sqrt{1+4z}} = \frac{u}{\sqrt{1+4(u^2+v^2)}}</math> ottengo:
 
<math display="block">\int_A \frac{u}{\sqrt{4u^2+4v^2+1}}* \sqrt{4u^2+4v^2+1} \, du \, dv</math><math display="block">= \int_A u \, du \, dv</math>
 
Spezzo <math>A</math> in due parti e lo scrivo come:
 
<math display="block">A_1 = \{ (u,v) \, t.c. u^2+v^2-v \le 0, \quad, v \ge 1/2 \}</math><math display="block">A_2 = \{ u^2+v^2-v \le 0, \quad u \ge 0, \, v \le 1/2\}</math><math>A_1</math> è un dominio simmetrico rispetto alla variabile <math>u</math> ed è la metà superiore del cerchio, allora l'integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico è nulla, e rimane da calcolare:
 
<math display="block">\int_{A_2} u \, du \, dv =</math>
 
Scrivo le disuguaglianze che definiscono <math>A_2</math>:
 
<math display="block">u^2 \le v-v^2</math><math display="block">\longrightarrow -\sqrt{v-v^2} \le u \le \sqrt{v-v^2}</math><math display="block">0 \ge 0 \longrightarrow \, 0 \le u \le \sqrt{v-v^2}</math>
 
Inoltre si ha <math>0 \le v \le 1/2</math>:
 
<math display="block">\int_0^{1/2} \, \int_0^{\sqrt{v-v^2}} u \, du \, dv =</math><math display="block">\int_0^{1/2} \, [u^2/2]_0^{\sqrt{v-v^2}} dv =</math><math display="block">1/2 \int_0^{1/2} v-v^2 dv =</math><math display="block">1/2 [v^2/2-v^3/3]_0^{1/2} =</math><math display="block">1/2 [1/8-\frac1{24}] = 1/24</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.6|anchor=Esercizio10_6}}
 
Si calcoli
 
<math display="block">\iint_{\Sigma}(z+y^2)\,d\sigma</math>
 
dove <math>\Sigma</math> è la  semisfera superiore di centro l'origine e raggio <math>R</math>.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
La semisfera si parametrizza con le coordinate:
 
<math display="block">x \mapsto R \sin \phi \cos \theta, \, y \mapsto R \sin \phi \sin \theta, \, z \mapsto R \cos \phi</math><math display="block">f = z+y^2 = R \cos \phi+R^2 \sin^2 \phi \sin^2 \theta</math>
 
Quindi
 
<math display="block">\int_\Sigma f \, d\sigma = \int_{K} \vert S_\theta \times S_\phi \vert f(S(\phi,\theta)) \, d\theta \, d\phi</math><math display="block">S_\theta = (-R \sin \phi \sin \theta, R \sin \phi \cos \theta, 0)</math><math display="block">S_\phi = (R \cos \phi \cos \theta, R \cos \phi \sin \theta, -R \sin \phi)</math><math display="block">S_\theta \times S_\phi = [-R^2 \sin^2 \phi \cos \theta, \, -R^2 \sin \theta \sin^2 \phi , \, -R^2 \sin \phi \cos \phi \sin^2 \theta-R^2 \sin \phi \cos \phi \cos^2 \theta ]</math><math display="block">S_\theta \times S_\phi = [-R^2 \sin^2 \phi \cos \theta, \, -R^2 \sin^2 \phi \sin \theta, \, -R^2 \sin \phi \cos \phi ]</math><math display="block">\vert S_\theta \times S_\phi \vert =</math><math display="block">\sqrt{R^4 \sin^4 \phi \cos^2 \theta+R^4 \sin^4 \phi \sin^2 \theta+R^4 \sin^2 \phi \cos^2 \phi}</math><math display="block">\sqrt{R^4 \sin^4 \phi+R^4 \sin^2 \phi \cos^2 \phi}</math><math display="block">\sqrt{R^4 \sin^2 \phi} = R^2 \sin \phi</math><math display="block">K = [0,2\pi] \times [0,\pi/2]</math><math display="block">\int_0^{2\pi} [\int_0^{\pi/2} R^2 \sin \phi (R \cos \phi+R^2 \sin^2 \phi \sin^2 \theta ) \, d\phi]  \, d\theta</math><math display="block">\int_0^{2\pi} [\int_0^{\pi/2} R^2  (R \cos \phi \sin \phi+R^2 \sin^3 \phi \sin^2 \theta ) \, d\phi]  \, d\theta</math><math display="block">[\int_0^{2\pi} R^3 \, d\theta][\int_0^{\pi/2} 1/2 \sin 2\phi\, d\phi] +[R^4\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta ]*[\int_0^{\pi/2} \, \sin^3 \phi d\phi]=</math>
 
Calcolo i quattro integrali:
 
 
#<math display="block">\int_0^{2\pi} R^3 \, d\theta = 2\pi R^3</math>
 
#<math display="block">\int_0^{\pi/2} 1/2 \sin (2\phi)\, d\phi=</math><math display="block">[-1/4 \cos (2\phi)]_0^{\pi/2}= -1/2</math>
 
#<math display="block">R^4\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta=</math><math display="block">R^4 [\theta/2+1/4 \sin (2\theta)]_0^{2\pi}=2R^4 \pi</math>
 
#Integro per parti <math>\sin^3 \phi</math>:<math display="block">\int \sin^3 \phi \, d\phi = \int \sin^2 \phi \sin \phi \, d\phi=</math><math display="block">f(x) = \sin^2 \phi, f'(x) = 2 \sin \phi \cos \phi, g(x) =-\cos \phi, \, g'(x) = \sin \phi</math><math display="block">\sin^2 \phi \cos \phi-\int 2 \sin \phi \cos \phi \cos \phi \, d\phi=</math><math display="block">\sin^2 \phi \cos \phi-2\int \sin \phi+2\int  \sin^3 \phi \, d\phi=</math>ed eguagliando al primo membro:<math display="block">\int \sin^3 \phi \, d\phi = -\sin^2 \phi \cos \phi+2\int \sin \phi \, d\phi =</math>Quindi si ha<math display="block">\int_0^{\pi/2} \sin^3 \phi \, d\phi = [-\sin^2 \phi \cos \phi-2 \cos \phi]_0^{\pi/2}= 2</math>
 
 
Quindi complessivamente si ottiene:
 
<math display="block">-2\pi R^3*1/2+2*2\pi R^4 = \pi R^3 (2R-1)</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=10.7|anchor=Esercizio10_7}}
 
Si calcoli l'area della superficie regolare di sostegno
 
<math display="block">\Sigma=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:\, x^2+y^2+z^2=1,\,  \sqrt{x^2+y^2}\leq\frac 12,\,  z\geq 0\}.</math>
 
{{FineEsercizio}}
 
 
Parametrizzo la superficie come:
 
<math display="block">x = \sin \phi \cos \theta, \, y =\sin \phi \sin \theta, \, z = \cos \phi</math>
 
Determino il dominio su cui <math>\Sigma</math> è definita:
 
<math display="block">\sqrt{x^2+y^2} \le 1/2 \, \longrightarrow \, \sqrt{\sin^2 \phi \cos^2 \theta+\sin^2 \phi \sin^2 \theta} \le 1/2</math><math display="block">\longrightarrow \sqrt{\sin^2 \phi} \le 1/2, \, \sin \phi \le 1/2</math>
 
quindi
 
<math display="block">0 \le \phi \le \pi/6 \vee 5\pi/6 \le \phi \le 2\pi</math>
 
Inoltre:
 
<math display="block">z \ge 0 \, \longrightarrow \, \cos \phi \ge 0</math><math display="block">0 \le \phi \le \pi/2 \vee 3\pi/2 \le \phi \le 2\pi</math>
 
Quindi in conclusione:
 
<math display="block">0 \le \theta \le 2\pi, \, 0 \le \phi \le \pi/6, \vee 3\pi/2 \le \phi \le 2\pi</math>
 
e quindi
 
<math display="block">-\pi/2 \le \phi \le \pi/6</math>
 
Come già calcolato precedentemente:
 
<math display="block">\vert \sigma_\phi \times \sigma_\theta \vert= \sin \phi</math>
 
Quindi l'area di questa superficie è:
 
<math display="block">\int_0^{2\pi} \, d\theta [\int_{-\pi/2}^{\pi/6} \sin \phi \, d\phi] =</math><math display="block">= 2\pi*[-\cos \phi]_{-\pi/2}^{\pi/6} = -2\pi*\sqrt{3}/2 = \sqrt{3} \pi</math>
 

Versione delle 22:26, 11 set 2017

Consideriamo una superficie parametrizzata regolare, cioè un'applicazione regolare, e consideriamo continua. Allora, supponendo che si può definire l'integrale di superficie:

come
In particolare, se considero una SUPERFICIE CARTESIANA della forma:
con , cioè una superficie che è il grafico di una funzione di due variabili, vale la formula:

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