Verifica dell'esattezza e calcolo di primitive

Esercizio 8.4

Date le forme differenziali:

con definita su , verificare se sono esatte. In caso affermativo trovarne una primitiva.

 


Prima forma differenziale: Siccome è definita su un aperto stellato, se è esatta, allora è anche chiusa. Verifichiamo quindi se è chiusa:

Deve valere:
cioè , e siccome la prima condizione per la chiusra non vale non è chiusa quindi non è nemmeno esatta.


Seconda forma differenziale: Analogamente, verifico che è chiusa.

allora tutte e tre le condizioni di chiusura sono soddisfatte quindi è chiusa in , inoltre è un insieme stellato rispetto a qualsiasi suo punto, allora la forma differenziale è anche esatta.


Cerco una primitiva per usando i tre procedimenti descritti sopra:

  1. Procedimento 1: Sia una primitiva di , allora cioè deve risolvere il sistema:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\phi_x = 3x^2 y \\\phi_y = x^3 \\\phi_z = -1/z\end{sistema}} e integrando la prima equazione:
    Derivo rispetto a l'espressione di :
    ma dalla seconda equazione, , ed eguagliando le due diverse espressioni per la derivata parziale:
    e questo è vero se e solo se:
    cioè
    e risostituendo nell'espressione di l'espressione trovata per :
    e derivando rispetto a :
    e integrando:
    quindi
  2. Procedimento 2: Scelgo il punto in . Allora
  3. Procedimento 3: Parametrizzo la curva che unisce a :
    Calcoliamo:


Esercizio 8.5

Si determinino tali che la forma differenziale

sia esatta in . Per tali valori di determinino le primitive di .

 


è un aperto stellato, quindi è esatta se e solo se è chiusa.


Determino affinché sia chiusa. Ponendo si ha:

è chiusa se e solo se
e l'equazione è soddisfatta se , quindi ottengo la forma differenziale:
Cerco la primitiva risolvendo il sistema: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\frac{\partial \phi}{\partial x} = f_1 = 2\sin x \cos y+\cos x \sin y \\\frac{\partial \phi}{\partial y} = f_2 = 2 \cos x \sin y+\sin x \cos y\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\phi = -2\cos x \cos y+\sin x \sin y+k_1(y) \\\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2 \cos x \sin y+\sin x \cos y = 2\cos x \sin y+\sin x \cos y+\frac{\partial k_1(y)}{\partial y}\end{sistema}}


Esercizio 8.6

Trovare una funzione tale che la forma differenziale:

abbia una primitiva definita nel semipiano e tale che .

 
  1. Il semipiano è stellato, quindi è esatta e ammette una primitiva se e solo se è chiusa, quindi cerco tale che sia chiusa.
    è chiusa se e solo se:
    e per :
  2. Per determinare , risolvo l'equazione differenziale che ho ottenuto:
    Scelgo per semplicità :
  3. sostituisco l'espressione di nella forma differenziale e ottengo:
  4. Cerco una primitiva della forma differenziale, scelgo come punto base
  5. Determino in modo che la primitiva soddisfi la condizione .
    quindi
  6. Come verifica finale, posso derivare la primitiva e verificare che si ottiene .


Esercizio 8.7

Si determini una funzione tale che la forma differenziale

sia esatta in . Si determini quindi una primitiva di .

 


Determinazione della funzione : L'esattezza della forma differenziale equivale alla sua chiusura. Quindi impongo:

ed eguagliando le derivate ottengo:
e poniamo , e sostituendo nella forma differenziale:

Ricerca della primitiva: integro a partire dal punto base .


Esercizio 8.8

Si determini una funzione Errore del parser (funzione sconosciuta '\inC'): {\displaystyle g\inC^1(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} tale che e la forma differenziale

sia esatta in . Si calcoli inoltre una primitiva di in .

 


è un aperto stellato, quindi chiusura ed esatteszza sono equivalenti. Dopo aver calcolato le derivate parziali:

impongo che la forma differenziale sia chiusa e ottengo l'equazione differenziale:
Voglio quindi risolvere il problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} g(0)=0 \\2x g'(y)+g'(y) = (g^2(y)+1)*(2x+1)\end{sistema}} Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} g(0)=0 \\g'(y) (2x+1) = (g^2(y)+1)*(2x+1)\end{sistema}} e per : Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} g(0)=0 \\g'(y) = (g^2(y)+1)\end{sistema}} E risolvo l'equazione a variabili separabili:
e siccome , si pone . Sostituendo nell'espressione di :


Sostituendo nell'espressione di ottengo:

L'insieme è stellato rispetto al punto . Allora una primitiva di è data da:

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