Richiami teorici

  1. Definiamo forma differenziale lineare una funzione del tipo:
    con di classe .
  2. Sia una curva regolare parametrizzata come , e supponiamo che . Si definisce
  3. si dice esatta in se esiste una funzione tale che:
  4. Vale il seguente teorema: Sia di classe con aperto connesso, allora:#*se è esatta, cioè per una certa regolare, allora per ogni curva regolare (a tratti) vale la formula:
    dove le equazioni parametriche della curva sono date da .#* è esatta se e solo se per ogni curva chiusa regolare (a tratti) con sostegno contenuto in , si ha
  5. si dice chiusa seErrore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\frac{\partial f_3}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial z} \\\frac{\partial f_1}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{ \partial x} \\\frac{\partial f_2}{\partial x} = \frac{\partial f_1}{\partial y}\end{sistema}}
  6. Centre data una forma differenziale nel piano, essa è chiusa se
  7. Se è chiusa in un insieme stellato rispetto a un punto, allora è esatta in .
  8. Se è esatta esistono tre metodi per determinarne una primitiva:;Metodo 1:si tiene conto che, siccome , si ha:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}\frac{\partial \phi}{\partial x} = f_1 \\ \frac{\partial \phi}{\partial y}=f_2 \\ \frac{\partial \phi}{\partial z}=f_3\end{sistema}} e si risolve il sistema per derivazioni successive.;Secondo metodo:Supponiamo che esista un punto tale che ogni punto si possa connetteere ad percorrendo tre segmenti contenuti in paralleli agli assi , allora una primitiva è data dalla formula:
    ;Terzo metodo:per definizione di insieme stellato esiste un punto che può essere collegato ad ogni altro punto dell'insieme attraverso un segmento parametrizzato come , allora una primitiva di si calcola come:
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