Forme differenziali definite su aperti non stellati e formule di Gauss-Green

Richiami teorici

  1. Sia un aperto connesso, e supponiamo che sia unione di curve chiuse e semplici regolari e supponiamoche sia decomponibile in un numero finito di insiemi semplici rispetto agli assi. Un dominio che soddisfa questi requisiti è un dominio ammissibile per il teorema di Gauss-Green.
  2. Nelle ipotesi precedenti valgono le formule di Gauss-Green:
    dove è la frontiera di orientata positivamente.


Esercizio 8.9

Considerando la forma differenziale

dimostrare che è esatta in senza calcolare esplicitamente una primitiva.

 


è esatta in se e solo se

per ogni cammino chiuso e semplice con .


Facciamo le seguenti considerazioni:

  1. La forma differenziale è definita in , ed è chiusa, infatti:
    Sia un cammino chiuso e semplice che non avvolge l'origine, cioè la parte interna a non contiene l'origine. Allora posso circondare con un aperto che non contiene l'origine, e che posso scegliere stellato. Allora siccome è esatta:
    per ogni tale che l'origine non appartenga alla parte interna della curva.
  2. Dobbiamo invece dimostrare che
    per le curve che avvolgono l'origine. Allora cerco una famiglia di curve di questo tipo su cui l'integrale di è nullo.Consideriamo le curve:
    cioè equazioni di circonferenze centrate nell'origine percorse in senso antiorario.
  3. Presa una curva qualsiasi che circonda l'origine, allora esiste un punto sulla curva che ha distanza minima rispetto all'origine, e la chiamo . Considero la circonferenza centrata nell'origine e di raggio che non interseca la curva esterna. Percorro in senso antiorario e la circonferenza in senso orario ed ottengo una curva chiusa, allora se consideroErrore del parser (funzione sconosciuta '\mathaccent'): {\displaystyle \mathaccent23{ } \{ \gamma \smallsetminus C(0, \rho/2) \}} ottengo un dominio ammissibile per il teorema di Gauss-Green.Quindi:
    ma l'integrando al terzo membro è nullo perché la forma differenziale è chiusa, e quindi anche .
  4. Si conclude scrivendo che:
    quindi
    ma per l'osservazione precedente e quindi per ogni curva chiusa in .


Esercizio 8.10

Si discutano chiusura ed esattezza della forma differenziale

definita come
Nel caso in cui sia esatta, se ne determini una primitiva.

 


Verifico prima la condizione di chiusura:

Invece
allora la forma differenziale è chiusa.


Siccome non è un aperto stellato, chiusura ed esattezza della forma differenziale non sono equivalenti. L'integrale di su una qualsiasi curva che non avvolge l'origine è nulla, perché posso restringere a un aperto contenente il sostegno della curva ma non contenente l'origine, che sia stellato, e in questo caso, siccome la forma differenziale è chiusa, è anche esatta.


Considero invece una famiglia di curve che avvolgono l'origine, ad esempio considero le circonferenze di raggio r e calcolo l'integrale di su curve di questo tipo.

allora l'integrale è nullo su tutte le circonferenze che avvolgono l'origine.


Considero una qualsiasi curva che avvolge l'origine e che sia chiusa: allora esisterà una circonferenza tale che il sostegno di contenga quello della circonferenza, e tale che l'intersezione tra l'esterno della circonferenza e l'interno di sia un dominio ammissibile per il teorema di Green. Allora:

ma il primo integrale è nullo quindi l'integrale su ogni curva chiusa che avvolge l'origine è nullo. Segue quindi che è esatta.


Esercizio 8.11

Considero la forma differenziale :

trovare la primitiva di definita nel quadrato e tale che .

 


Se pongo

allora posso riscrivere come:
e trovare una primitiva di equivale a trovare primitive di .


è definita su un aperto non stellato , è chiusa ma non è esatta, quindi non ha una primitiva globale.


Considero nei quattro semipiani , , , .

  1. Nel sempiiano , si ha:
    Allora una primitiva si trova integrando a partire dal punto base e ponendo:
  2. Nel semipiano la primitiva di coincide con , e l'unica differenza è che non si può integrare a partire da ma da .
  3. Nel semipiano , integro partendo da e ottengo:
    e questa è l'espressione della primitiva di nel semipiano .
  4. nel semipiano la primitiva di coincide con .


Riassumendo, la primitiva di è definita come:



Osservazione 8.1

Nel primo quadrante, pongo e vogliamo dimostrare che:

Definiamo

Osserviamo che mentre la derivata
è sempre nulla, allora è costante e vale sempre , cioè

 



Per trovare le primitive di basta sostituire a le espressioni corrispondenti:

  1. ha come punto singolare nel semipiano , e la sua primitiva è
  2. ha come punto singolare nel semipiano e ha come primitiva .
  3. ha come punto singolare nel semipiano , e ha come primitiva .
  4. ha come punto singolare nel semipiano e ha come primitiva .

Quindi, riassumendo:

siccome cerco la primitiva che si annulla nell'origine, si pone .

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