Esistenza e unicità delle soluzioni

Richiami teorici

Teorema di esistenza locale
Sia una funzione continua, un aperto, , sia un intorno che contiene il punto, e sia lipschitziana, cioè esiste tale che:

allora il problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y' = f(x,y) \\y(x_0) = y_0 \end{sistema}} ha un'unica soluzione definita nell'intorno del punto

Teorema di Peano
considerando il teorema sopra, senza l'ipotesi di locale lipschitzianità, la continuità della funzione garantisce l'esistenza della soluzione.
teorema di esistenza e unicità globale
Sia una striscia verticale, e sia una funzione

che soddisfa su le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale. Supponiamo che esistano dipendenti da tali che

(la funzione f cresce al più linearmente in y) allora l'unica soluzione di ogni problema di Cauchy Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{sistema}} con nella striscia è definita in tutto .

Teorema dell'asintoto
sia una funzione definita da a valori reali, e supponiamo che sia derivabile. Supponiamo che esistano

Se è un limite finito, allora .

Dimostrazione

Siccome è finito:

e non c'è forma indeterminata, ma siccome è derivabile si ha che il limite sopra è anche uguale a
con e se il limite tende a per ipotesi, quindi .

 



Esercizio 4.12

Si consideri l'equazione differenziale:

si chiede di tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni.

 


Dobbiamo discutere esistenza e unicità della soluzione e capire come è fatta.


Esistenza e unicità locale
è localmente lipschitziana perché è di classe .

Per ogni punto esiste un'unica soluzione locale del problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{sistema}}

Esistenza globale
in questo caso le ipotesi del teorema di esistenza globale sono soddisfatte. Infatti considero:

e consideriamo una striscia del tipo .
e quindi la funzione è limitata in ogni striscia del tipo , in particolare esistono tali che
con e , allora per il teorema di esistenza globale la soluzione è definita in tutta la striscia . Posso ripetere il discorso per ogni . Prendo la successione . Per ogni ogni soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale nella striscia è definita in tutto . Passo al limite per e ricavo esistenza e unicità globale per le soluzioni dei problemi di Cauchy su tutto .

Soluzioni costanti
Determino le soluzioni costanti del tipo .

Supponiamo di avere una soluzione che in è maggiore di , allora per il teorema di esistenza e unicità questa soluzione dev'essere , altrimenti il problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y(0) = \sqrt{2} \\y' = f(x,y)\end{sistema}} non ammetterebbe un'unica soluzione. Quindi il grafico di ogni soluzione sta tutte sopra la retta , oppure tutto sotto la retta , oppure tra le due rette.

Soluzioni non costanti
Studio la derivata

I casi in cui sono
oppure se
Allora se
oppure se
Allora le soluzioni non costanti che si trovano tra le due rette sono crescenti per , e decrescenti per . Se le soluzioni sono sopra o sotto a una delle rette, sono crescenti prima di e decrescenti dopo.

Comportamento asintotico delle soluzioni
Siccome tutte le soluzioni sono definite globalmente, considero il valore che la soluzione assume per . determina univocamente la soluzione del problema di Cauchy. Considero tre casi:
  1. Chiamiamo la soluzione del problema di Cauchy con . Esiste:
    è finito, perché .Per monotonia, siccome per la soluzione è crescente, . Allora si ha o .Osserviamo che
    e il limite di questa quantità deve valere 0 perché la funzione ha un asintoto orizzontale.
    e quna condizione necessaria affinché questo limite valga 0 è che
    Allora tutte le soluzioni con tendono a per , e analogamente, per , la funzione è decrescente e c'è un asintoto orizzontale per .
  2. Nel caso in cui , esistono
    Per monotonia:
    è finito, e per il teorema dell'asintoto:
    e questo avviene se e solo se
    e quindi .
  3. Se si ha per monotonia della soluzione:
    Supponiamo che sia finito (in questo caso potrebbe essere anche ). Allora ha un asintoto orizzontale.
    (si ragiona come prima)e siccome , , si ha , e questo è un assurdo, allora non può essere finito, quindi si avrà, e allo stesso modo si dimostra che



Simmetria delle soluzioni: Sia l'unica soluzione del problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y'=x^3*(e^{2-y^2}-1) \\ y(0) = \alpha \end{sistema}} Pongo , allora

e , cioè per esistenza e unicità della soluzione , e quindi è pari.



Esercizio 4.13

Si consideri l'equazione:

Studiare esistenza e unicità locale e globale e tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni.

 
  1. Esistenza e unicità locale:
    In particolare la funzione non è definita su nessuna striscia verticale. è localmente lipschitziana in uiformemente in nel suo dominio, e questo implica che c'è esistenza e unicitàlocale della soluzione in tutto .
  2. Soluzioni costanti:Cerco tale che
    e questo è vero se e solo se allora la funzione identicamente nulla è una soluzione costante.Allora per il teorema di esistenza e unicità locale tutte le soluzioni sono di segno costante, perché le soluzioni o stanno sopra l'asse x, o stanno sotto, ma non lo possono intersecare.
  3. Monotonia delle soluzioni:Studio l'equazione
    e la derivata è maggiore di 0 se i fattori sono entrambi negativi o entrambi positivi, cioè se:
    oppure
    e quindi la soluzione è sempre monotona crescente, infatti per la prima condizione è crescente quando e per la seconda quando .
  4. Intervalli massimali di definizione della soluzione e comportamento asintotico:Divido due casi:Caso 1: .Sia il dominio massimale della soluzione. Per monotonia esiste
    e ho quattro casi:##
    La soluzione parte dal punto e arriva ad un punto finito . Allora se considero il problema di Cauchy:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y' = y^3*\log (y+1) \\ y(T) = L^+ \end{sistema}} Per unicità questa soluzione coincide con a sinistra di , e ma è prolungabile anche a destra di , e questo va contro la definizione di come sup dell'intervallo di prolungabilità della soluzione.## finito e infinitoQuesto significa che la soluzione sarebbe definita globalmente e che c'è un asintoto orizzontale. Allora per il teorema dell'asintoto:
    e questo è possibile se e solo se . Ma per monotonia si avrebbe e siccome si ha un assurdo, e questo caso non si può verificare.Allora di sicuro .## infinito e infinitoPer monotonia
    allora in particolare
    Allora posso dividere per :
    Integro la relazione: Prendo
    Allora il tempo che la soluzione impiega a passare da 0 a è dato dal membro di sinistra., pongo
    e passo al limite per . Ottengo:
    Questo è un integrale improprio:
    che converge perché è della forma con .Allora vale necessariamente il caso 4.## finito e infinito.Analogamente, esiste
    Per monotonia, , quindi è finito. La soluzione non può attraversare l'asse x, e dev'essere minore di .Si può avere oppure .Supponiamo . Allora oppure . Non può essere altrimenti si contraddirrebbe l'unicità della soluzione del problema di Cauchy, perché questa soluzione intersecherebbe quella costante.Come nel caso precedente si dimostra che non può essere e : infatti, se così fosse, il problema di Cauchy:Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y(\tau) = \ell^+ \\ y'=\log (y+1)*y^3 \end{sistema}} Allora per il teorema di esistenza e unicità la soluzione di questo problema di Cauchy coinciderebbe con , e sarebbe prolungabile anche a sinistra di e questo è assurdo.Quindi si ha necessariamente finito, cioè e .Possiamo determinare il valore di con il teorema dell0asintoto
    allora necessariamente e le soluzioni hanno un asintoto orizzontale e tendono a 0 per .Studio la concavità:
    quindi è sempre maggiore di 0.Riassumendo, per le soluzioni hanno l'asintoto orizzontale per , sono strettamente crescenti, passano per il punto e tendono a per .Caso 2: Studio le soluzioni per .Chiamo il dominio massimale della soluzione. Come prima si verifica che, per monotonia, .In ogni caso è finito. Supponiamo che , allora la soluzione ha un asintoto orizzontale.
    ma c'è una contraddizione perché e .Quindi si avrà finito, allora, per il teorema di prolungabilità delle soluzioni, la soluzione deve avvicinarsi al bordo di e quindi si avrà .Le soluzioni sono concave ed escono dal dominio della funzione. Invece e .


Esercizio 4.14

Consideriamo il problema di Cauchy Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}x' = \frac{1}{\sqrt{t+x}} \\x(0) = a, a \ge 1 \end{sistema}}

  • Discutere esistenza e unicità locale al variare di
  • studiare la monotonia delle soluzioni.
  • Studiare la convessità delle soluzioni.
  • discutere la prolungabilità delle soluzioni e tracciarne un grafico qualitativo.
 

è di classe nel dominio della soluzione, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale per ogni .

  1. Monotonia:Le soluzioni sono tutte monotone crescenti, infatti
  2. convessità:
    Infatti , . In ogni istante appartiene al dominio della soluzione.Allora le soluzioni sono concave.
  3. Prolungabilità.Chiamo il dominio massimale della soluzione. Per monotonia esiste
    Il dominio della funzione non contiene nessuna striscia del tipo .Allora dobbiamo discutere i quattro casi:#* finiti. Questo non può verificarsi, perché altrimenti avrei una soluzione che vale nell'istante , cresce e in si arresta nel punto . Se considero il problema di Cauchy centrato in posso prolungare la soluzione a destra, Affinché la soluzione sia prolungabile a destra devo verificare che appartenga al dominio della funzione.
    e questo è vero perché
    , quindi si va contro alla definizione di estremo massimale di definizione.#*Il caso infinito e finito non si può verificare. Infatti, siccome , . In particolare:
    .
    Passando al limite per ottengo:
    con finito, e non può verificarsi.Allora sicuramente .#*Supponiamo finito, allora
    Passo al limite per :
    , in contradizione con il fatto che è finito.#*Allora vale il quarto caso: e .Chiamo l'estremo inferiore del dominio, allora esiste
    Allora .e .
    quindi l'estremo di definizione è finito e è infinito e la soluzione ha un asintoto verticale.Supponiamo di avere una soluzione definita per . nQuesta soluzione cambia convessità, inoltra incrocia tutte quelle definite in precedenza.


Esercizio 4.15

Considero il problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y' = x^2*\cos y \\y(0) = a, \, a \in \mathbb R \end{sistema}} Discutere esistenza e unicità globale delle soluzioni e tracciarne un grafico qualitativo.

 


La funzione è di classe quindi c'è esistenza e unicità locale.


Verifico se c'è esistenza e unicità globale della soluzione.

Ogni striscia del tipo è contenuta nel dominio della funzione.
allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza globale delle soluzioni nella striscia , in particolare l'ipotesi
è verificata con e . Questo vale per ogni , allora c'è esistenza globale in tutto della soluzione.


Cerco tale che , e ottengo la soluzione costante:

Se è soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale allora .


Dim. Pongo .

allora è soluzione dell'equazione differenziale che sto considerando.
Considero ora il problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema} y' = x^2 \cos y \\y(0) = a+2\pi \end{sistema}} Allora è soluzione per definizione.


Anche è soluzione per quanto dimostrato precedentemente, allora per unicità le soluzioni coincidono.


Studio il problema di Cauchy per . Le altre soluzioni si trovano per traslazione.


Per ci sono tre soluzioni costanti:

Studio la monotonia delle soluzioni:

Allora le soluzioni sono monotone non decrescenti quando stanno in , mentre sono non crescenti per .


L'asse y è luogo di punti stazionari per le soluzioni.


Ora studio il comportamento asintotico: in questo caso si sa già che le soluzioni sono definite globalmente.

Per monotonia esiste
, e per monotonia . Allora, per il teorema dell'asintoto:
allora , ma per monotonia.


Analogamente .


Usando il teorema dell'asintoto si può dimostrare che se la soluzione è definita per , quando la soluzione tende a e quando il limite è . La soluzione ha un flesso in 0.

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