Equazioni differenziali miste

Esercizio 4.7

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

che passa per il punto , specificando qual e' il suo intervallo massimale di definizione.

 


Devo trovare la soluzione del problema di Cauchy: Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y'(x)=-\frac{(1+y^2(x))^2}{2 y(x)} \\y(1) = 1 \end{sistema}} E' un'equazione a variabili separabili, con .

definita per
Intervallo massimale di esistenza:


Esercizio 4.8

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

che passa per il punto , specificando qual e' il suo intervallo massimale di definizione.

 

Pongo , quindi
Quest'equazione ha le soluzioni costanti:
Per ottengo:

Voglio scrivere l'integranda come combinazione lineare di frazioni nella forma:

Eguagliando i coefficienti di primo e ultimo membro:
Sostituisco nell'integrale:
Soluzione del problema di Cauchy:
allora il dominio massimale di esistenza coincide con .


Esercizio 4.9

Al variare di , si risolva il seguente problema di Cauchy, determinando, per ogni , l'intervallo massimale di esistenza della soluzione:

 


L'equazione è a variabili separabili e non ammette soluzioni costanti. La funzione è continua e localmente lipschitziana, quindi si ha esistenza e unicità locale della soluzione. Per le soluzioni sono decrescenti, mentre per sono crescenti.

Calcolo
Pongo , quindi ,
e tornando all'equazione differenziale ottengo:
Per
e la soluzione è definita se e solo se

Per risolvere il problema di Cauchy:

Le soluzioni sono definite per:
Per ,
quindi per l'intervallo di esistenza massimale della soluzione è .


In generale, l'equazione di secondo grado ha delta:

e si ha se e solo se

In particolare, l'intervallo massimale di esistenza si riduce al crescere di nell'intervallo , e si riduce ad un solo punto per . Per la soluzione non esiste.


Esercizio 4.10

Si determinini l'integrale generale dell'equazione differenziale

Esistono soluzioni illimitate dell'equazione?

 

Questa è un'equazione lineare con e , quindi applico la formula:
Risolvendo l'integrale per sostituzione pongo , quindi .

Alternativamente, se risolvo l'equazione separando le variabili ottengo:

e se pongo ottengo:

L'equazione ha come soluzione illimitata la soluzione costante .


Esercizio 4.11

Si determini la soluzione dell'equazione differenziale

che verifica la condizione , specificando su quale intervallo massimale e' definita.

 

L'equazione è a variabili separabili. , quindi divido per .
Per ottengo:
Cerco i coefficienti tali che
Quindi .
Quindi nell'equazione differenziale si ottiene:
La condizione del problema di Cauchy è verificata se
Intervallo massimale di esistenza:

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